Індекс рубрикатора НБУВ: В161.626.61,0 + В192.162.213,0

Рубрики:

Системи еліптичного типу

Наближене розв'язання диференціальних рівнянь еліптичного типу

Шифр НБУВ: ВА666126 Пошук видання у каталогах НБУВ 

Висвітлено теоретичні аспекти методу барицентричного усереднення як прискореного методу розв'язання диференціальних рівнянь в частинних похідних еліптичного типу. Описано методи побудови базисних функцій обчислювальних шаблонів методу барицентричного усереднення, моделі випадкових блукань в дискретних елементах.

Освещены теоретические аспекты метода барицентрического усреднения как ускоренного метода решения дифференциальных уравнений в частичных производных элиптического типа. Описаны методы построения базисных функций вычислительных шаблонов метода барицентрического усреднения, модели случайных блуждений в дискретных элементах.

Ключ. слова: вариационное неравенство, метод штрафа, метод фиктивных областей, разностная схема, усредняющий оператор
Індекс рубрикатора НБУВ: В192.162.213

Рубрики:

Наближене розв'язання диференціальних рівнянь еліптичного типу

Шифр НБУВ: Ж29144 Пошук видання у каталогах НБУВ 

Індекс рубрикатора НБУВ: В192.162.213

Рубрики:

Наближене розв'язання диференціальних рівнянь еліптичного типу

Шифр НБУВ: Ж23887 Пошук видання у каталогах НБУВ 

Індекс рубрикатора НБУВ: В192.162.213

Рубрики:

Наближене розв'язання диференціальних рівнянь еліптичного типу

Шифр НБУВ: Ж23887 Пошук видання у каталогах НБУВ 

Предложен метод построения высокоточных приближенных решений краевых задач для уравнения Лапласа и областях с угловыми точками. Рассмотрены краевые задачи для трехмерного уравнения Лапласа в областях, имеющих форму тела вращения, с меридиональным сечением, имеющим угловые точки. Решения задач построены с помощью вариационных методов, для численной реализации которых построены специальные решения уравнения Лапласа, которые сами или их частные производные претерпевают разрыв на некотором луче с началом в угловой точке и направленном за пределы области. В качестве иллюстрации предложенного метода построены решения задачи Неймана и задачи о собственных колебаниях идеальной жидкости в сферической полости.

Створено та програмно реалізовано автоматизовану систему діалогового моделювання прямих і обернених задач для систем, що описуються еліптичними та параболічними диференціальними рівняннями у тривимірному просторі. За допомогою розробленої системи розв'язано модельні приклади та практичні задачі. Загальну методику математичного моделювання прямих і обернених задач динаміки систем з розподіленими параметрами поширено на задачі моделювання процесів, що зводяться до розв'язання прямих і обернених задач для еліптичних систем. Побудовано множини функцій, якими з середньоквадратичною точністю описуються розв'язки прямих і обернених задач щодо досліджуваних процесів. Установлено критерії точності й однозначності цих розв'язків.

Дисертацію присвячено дослідженню швидкості збіжності різницевих схем для змішаних граничних задач на власні значення (рівняння із змінними коєфіцієнтами в прямокутнику та система рівнянь лінійної теорії пружності в тривимірному брусі). Доведено збіжність дискретних розв'язків до відповідних їм диференціальних. Порядок точності різницевих аналогів при обчисленні власних значень з'ясовано за допомогою одержаних в дисертації головних доданків в розкладах за степенями кроку рівномірної сітки для похибок власних чисел обох задач. Показано, що певні умови опуклості для коефіцієнтів еліптичного оператора визначають характер наближення різницевих власних значень до відповідних їм точних. Паралельно із встановленням асимптотичної оцінки точності для рівняння із змінними коефіцієнтами вивчається питання про диференціальні властивості власних функцій та доведено достатню умову неперервності їх похідних потрібного порядку. Швидкість збіжності схем при обчисленні власних функцій обох задач характеризується оцінками в різних сіткових метриках при послаблених припущеннях щодо гладкості розв'язків. Одержані в дисертації результати теоретично обгрунтовують застосовність методів прискорення збіжності, дають можливість уточнити власні значення без побудови різницевих аналогів високих порядків точності та проілюстровані чисельними прикладами.

  Скачати повний текст

Мета роботи - побудова апостеріорних оцінок похибок (АОП) частинами лінійних апроксимацій методу скінченних елементів (МСЕ) для розв'язків двовимірних крайових задач з еліптичними рівняннями другого порядку. Шуканий АОП сконструйовано із незалежних частин на кожному трикутнику поділу у вигляді квадратичного полінома, який набуває нульових значень у вершинах і є розв'язком задачі про лишок апроксимації МСЕ на цьому скінченному елементі. За допущення, що дані рівняння дифузії-адвекції-реакції є сталими на кожному трикутнику, знайдено розподіли точкових значень в центрах ваг та енергетичних норм АОП на розрахункових тріангуляціях. Характеристики запропонованого АОП доповнено результатами обчислювальних експериментів.

Розглянуто нестаціонарні крайові задачі за неявною схемою методу Роте, в цьому разі відповідні еліптичні рівняння досліджено за допомогою методу скінченних елементів. Визначено взаємозв'язок формул оцінок наближених розв'язків еліптичних рівнянь з оцінкою наступного дискретизованого моменту часу. Запропоновано алгоритм відшукання апріорної оцінки наближеного розв'язку нестаціонарних крайових задач, шляхом використання відомих оцінок відповідних еліптичних рівнянь на попередніх часових ярусах.

Індекс рубрикатора НБУВ: В192.162.213

Рубрики:

Наближене розв'язання диференціальних рівнянь еліптичного типу

Шифр НБУВ: Ж23887 Пошук видання у каталогах НБУВ 

Запропоновано спосіб числового диференціювання розв'язку крайової задачі еліптичного типу за параметрами розміщення носіїв джерел фізичного поля. З точки зору практичного застосування, можливість одержання зазначених часткових похідних дозволяє використати методи умовної оптимізації першого порядку до задач оптимального синтезу систем з розподіленими параметрами. Викладену ідею диференціювання можна просто адаптувати і до інших крайових задач, які виникають у ході оптимізації технічних систем з дискретними джерелами фізичних полів.

Рассмотрен ряд обратных задач для эллиптических уравнений, моделирующих состояние многокомпонентных сплошных сред. Для дискретизации задач состояния систем используется метод конечных элементов. Для численного решения полученных в работе дискретных обратных задач предлагается использовать псевдообращение матриц.

Для числового розв'язування внутрішньої задачі Неймана для еліптичного рівняння зі змінними коефіцієнтами запропоновано підхід, який призводить до системи граничних інтегральних рівнянь з сингулярними та гіперсингулярними ядрами. Дискретизацію інтегральних рівнянь здійснено за допомогою методу квадратур із використанням тригонометричних квадратурних формул інтерполяційного типу. Наведено приклади числових експериментів.

Построен апостериорный оценщик погрешности аппроксимации по схеме Сьярле - Равьярта смешанного метода конечных элементов задачи Дирихле для бигармонического оператора. Получены апостериорные оценки сверху погрешности конечно-элементного решения краевой задачи.

Розглянуто нелокальну задачу з інтегральною умовою для еліптичного диференціального рівняння з необмеженим операторним коефіцієнтом в банаховому просторі. Побудовано та обгрунтовано експоненційно збіжний числовий метод для наближеного розв'язку в припущенні, що операторний коефіцієнт A - секторіальний та виконані умови існування та єдиності розв'язку. Цей алгоритм базується на зображенні операторних функцій за допомогою інтеграла Данфорда-Коші вздовж гіперболи, що охоплює спектр A та використанні відповідної квадратурної формули, що містить невелику кількість резольвент. Ефективність запропонованого алгоритму демонструється на числовому прикладі.

The technology of development of computational algorithms used to solve inverse boundary problems for multicomponent elliptic distributed systems with main and natural heterogeneous conjugation conditions is presented. Explicit formulas of the Frechet derivatives for gradient computational algorithms are obtained.

Досліджено метод побудови точних розв'язків еліптичних крайових задач для областей складної форми. В основі методу лежать оператори сплайн-інтерлінації функцій двох змінних на системі прямих інтерлінації, паралельних осям координат.

Розглянуто крайову задачу для системи еліптичних рівнянь спеціального виду в частково необмежених областях. Використання техніки функцій Гріна надає можливість одержати інтегральне подання розв'язку з невідомими функціями на поверхні обмеженої області. Розглянуто прямий і непрямий варіанти методу граничних інтегральних рівнянь.