У дисертацiйнiй роботi основним об'єктом дослiдження є клас аналiтичних в одиничному полiкрузi функцiй обмеженого L-iндексу за сукупнiстю змiнних.Отримано критерiї обмеженостi L-iндексу за сукупнiстю змiнних для аналiтичних у полiкрузi функцiй, зокрема, у термiнах: оцiнок поводження максимуму модуля функцiї на полiкругах рiзного радiуса, локального поводження максимуму модуля частинних похiдних на полiкругах рiзного радiуса. Знайдено умови обмеженостi L-iндексу за сукупнiстю змiнних розв'язкiв деяких систем диференцiальних рiвнянь з частинними похiдними. Дослiджено властивостi степеневого розвинення цiлих i аналiтичних у бiкрузi функцiй обмеженого L-iндексу за сукупнiстю змiнних, а також описано зростання логарифма максимума модуля на бiкрузi для функцiй з цього класу через поводження вектор-функцiї L. Встановлено, що у довiльнiй компактно вкладенiй у одиничний бiкруг областi аналiтична у цьому бiкрузi функцiя матиме обмежений L-iндекс за сукупнiстю змiнних для довiльної додатної неперервної функцiї L, бiльшої за певну сталу, залежну вiд областi. Усi результати дисертацiї, якi виносяться на захист, є новими, вони мають теоретичний характер та можуть бути використанi як в багатовимiрному комплексному аналiзi, так i в аналiтичнiй теорiї диференцiальних рiвнянь.Ключовi слова: цiла функцiя, аналiтична функцiя, полiкруг, обмежений L- iндекс за сукупнiстю змiнних, системи лiнiйних рiвнянь з частинними похiдними.^UThe dissertation consists of an introduction, 4 chapters, conclusions to each secti- on and general conclusions, list of sources used. The introduction substantiates the relevance of the research topic, formulates the purpose, task, subject, object and methods of the research, presents the scientific novelty, the practical significance of the results obtained, the relationship of work with scientific themes and the personal contributions of the author of the dissertation, a list of conferences and scientific semi- nars, on which the results of the dissertation research are tested; List of publications in which the main results of the dissertation are published.In the dissertation, the main object of investigations is a class of analytic functions in the unit polydisc — so-called functions of bounded L-index in joint variables.There were obtained the criteria of boundedness of L-index in joint variables for analytic functions in a polydisc. Particularly, the statements describe estimates of the behavior of the maximum modulus of the function on polydiscs of various radii, local behavior of the maximum modulus of partial derivatives on polydiscs of various radii. We found sufficient conditions of boundedness of the L-index in joint variables for the solutions of some higher-order linear systems of partial differential equations with analytic coefficients in the polydisc. The properties of the power expansion for entire functions in complex plane and analytic functions in the unit bidisc of bounded L-index in joint variables are investigated. We also indicate growth estimates of logarithm of maximum modulus on a bidisc for this class of analytic functions. The logarithm behave as some integral from the vector-function L in the worst case. In any compact embedding domain in the unit bidisc an analytic functions in the bidisc has bounded L-index in joint variables for every positive continuous vector-function L, which is greater than some constant depending of the domain. All results of the thesis are new. They have theoretical meaning and can be used both in multidimensional complex analysis and in the analytic theory of differential equations.Keywords: entire function, analytic function, polydisc, bounded L-index in joint variables, system of linear partial differential equations.

Побудованi новi нетривiальнi оцiнки повних чистих або твiстовихсум з многочленом в показнику над кiльцем цiлих елементiв уявного квадратичного розширення поля рацiональних чисел. Дослiдженi спецiальнi тригонометричнi суми Клостерманiвського типу над кiльцем цiлих чисел уявного квадратичного розширення поля рацiональних чисел. Побудованi iнверснi конгруентнi генератори за модулем степенi простого рацiонального числа p, наведенi узагальнення iнверсного конгруентного генератора. Побудовано новий тип генераторiв, для яких рекурсiя генерування основана на властивостях елементiв так званої норменої групи, яка є пiдгрупою мультиплiкативної групи класiв лишкiв кiльця Z[i] за модулем p^m, де p - просте рацiональне число, яке не розпадається в полi Q(√(-d)), d>0. Розглядаються оцiнки тригонометричних суми на послiдовностях ПВЧ, черезякi оцiнюється дескрiпантна функцiя послiдовностей ПВЧ. Отриманi оцiнки дескрiпансiї узагальнених послiдовностей ПВЧ, породжених iнверсними генераторами, покращують результати Нiдерайтера i Шпарлiнського. Побудованi асимптотичнi формули суматорних функцiй для спецiальних арифметичних функцiй над кiльцями цiлих рацiональних або цiлих чисел уявного квадратичного розширення поля рацiональних чисел. Також отриманi оцiнки залишковихчленiв для суматорних функцiй, пов'язаних з розподлiлом значень τ_3 (α). Побудована асимптотична формула для кiлькостi цiлих гаусових чисел у вузькому секторi кола радiусу x^(1/2) , норми яких належать арифметичнiй прогресiї, рiзниця якої росте з зростанням i не перевищує x^(2/3), а розмiр кутового сектору прямує до нуля. Подiбнi оцiнки були отриманi нами в проблемi елiпсу на арифметичнiй прогресiї. Знайдено аналiтичний вираз перетворення Лапласа добутку пар -функцiй Геке Z_m (s;δ_1/γ,0) Z_m (s ̅;0,δ_2/γ). Дослiджена проблема зображення натуральних чисел квадратичними формами вiд n змiнних, яка узагальнює проблему Варинга. Побудована нова асимптотична формула для кiлькостi точок всерединi елiпса на арифметичнiй прогресiї.^UThis thesis is devoted to investigation the generating problems of the sequences of pseudorandom numbers using a competitive recursion of the prime power modulus, as well as the problems of analytical number theory that arise with constructing the asymptotic formulas for summatory functions associated with the distribution of divisor functions τ_k, k = 2,3 over the rings of rational integers or Gaussian integers. We introduced the construction of new non-trivial estimates of purely completed or twisted exponential sums with a polynomial in the exponent over the ring of Gaussian integers. In addition, there are investigated the special exponential sums of Klosterman type over the ring of integers of an imaginary quadratic expansion of the field of rational numbers. The studied norm Klosterman sums have no analogue in the rational case, and their estimates are used to obtain the estimates of an error terms in problems of analytic number theory such as the problem of circle (or ellipse) in arithmetic progression and in the coding theory with Klosterman code problems etc. The obtained estimates of the norm Klosterman sums are related to the results of P. Deligne and E. Bombieri on the Riemann hypothesis for algebraic varieties. R. Evans, G. Perelmuter, S. Stepanov, R. Dabrovsky, V. Fischer, H. Ivanets and others were engaged in the development of methods for estimating of such sums. The significance of the obtained results on estimates of completed exponential sums is that the asymptotic formulas for estimates of the distribution of arithmetic functions on arithmetic progressions are based on such estimates. The second part of thesis is devoted to construction the inversive congruential generators modulo the power of prime rational number p. We gave the generalizations of the inversive congruential generator. We also investigated the inversive congruential generator of second order. Here also we constructed a new type of generators for which the relative recursion is based on the properties of elements from so-called the norm group, which is a subgroup of the multiplicative group of residue classes of the ring Z[θ] modulo the p^m. We used the constructed exponential sums to obtain the non-trivial estimates for discrepancy function of sequences of PRN's. The obtained estimates of discrepant function improve the results of Niederreiter and Shparlinskii. The last part of thesis was being devoted to the problems of analytical number theory.

Дисертацiя на здобуття наукового ступеня кандидата фiзико-математичних наук (доктора фiлософiї) за спецiальнiстю 01.01.04 — геометрiя i топологiя. — Львiвський нацiональний унiверситет iменi Iвана Франка, Львiв, 2021.У дисертацiйнiй роботi дослiджуються топологiзацiї напiвгруп, алгебраїчнi властивостi яких близькi до бiциклiчного моноїда, а також структури замикання таких напiвгруп i груп у напiвтопологiчних i топологiчних напiвгрупах. Зокрема розглядаються розширена бiциклiчна напiвгрупа, бiциклiчне розширення B(A) непорожньої трансляцiйної множини A лiнiйно впорядкованої групи та варiанти бiциклiчного моноїда та розширеної бiциклiчної напiвгрупи.У дисертацiї доведено, що довiльний варiант Cm,n бiциклiчного моноїда допускає лише дискретну гаусдорфову трансляцiйно неперервну топологiю, i якщо напiвтопологiчна напiвгрупа S мiстить Cm,n як щiльну власну пiднапiвгрупу, то S \ Cm,n є iдеалом у S. Це узагальнює результати Ебергарта i Селдена, отриманi для бiциклiчного моноїда. Також доведено дихотомiю: довiльна гаусдорфова локально компактна трансляцiйно неперервна топологiя на кожномуварiантi бiциклiчного моноїда з приєднаним нулем є або компактною, або дискретною. Описано приєднання компактного iдеала до довiльного варiанта бiциклiчної напiвгрупи Cm,n у локально компактнiй напiвтопологiчнiй напiвгрупi.Доведено, що група автоморфiзмiв розширеної бiциклiчної напiвгрупи CZ iзоморфна адитивнiй групi цiлих чисел, всi варiанти напiвгрупи CZ є попарно iзоморфними, а також, що напiвгрупа CZ i всi її варiанти не є скiнченно породженими. Описано гаусдорфовi трансляцiйно неперервнi топологiї на варiантах напiвгрупи CZ, а також показано, що на варiантах напiвгрупи CZ, на вiдмiну вiд варiантiв бiциклiчного моноїда, iснують недискретнi гаусдорфовi напiвгруповiтопологiї.Наведено конструкцiю, з якої випливає, що на вiдмiну вiд бiциклiчного моноїда, для гаусдорфової локально компактної напiвтопологiчної розширеної бiциклiчної напiвгрупи з приєднаним нулем C0Z =CZ U {0} не виконується дихотомiя: iснує континуум рiзних гаусдорфових недискретних некомпактних локально компактних трансляцiйно неперервних топологiй на C0Z. Однак кожна гаусдорфова локально компактна напiвгрупова топологiя на напiвгрупi C0Z є дискретною.Доведено, що для довiльної злiченної лiнiйно впорядкованої групи G та її непорожньої трансляцiйної множини A, кожна берiвська трансляцiйно неперервна T1-топологiя на бiциклiчному розширеннi B(A) дискретна, а також для довiльної лiнiйної нещiльно впорядкованої групи G кожна трансляцiйно неперервна гаусдорфова топологiя на B(A) дискретна.Доведено, що кожна гаусдорфова трансляцiйно неперервна локально компактна топологiя на дискретнiй електорально гнучкiй нескiнченнiй групi з приєднаним нулем G0 є або дискретною, або компактною. Наведено приклад, який показує, що на кожнiй вiртуально циклiчнiй групi з приєднаним нулем G0iснують недискретнi некомпактнi локально компактнi трансляцiйно неперервнi топологiї, якi iндукують на групi G дискретну топологiю.Ключовi слова: напiвгрупа, iнтерасоцiативнiсть напiвгрупи, напiвтопологiчна напiвгрупа, топологiчна напiвгрупа, бiциклiчний моноїд, локально компактний простiр, дискретний простiр, бiциклiчне розширення, простiр Бера, варiант напiвгрупи, розширена бiциклiчна напiвгрупа, група, електоральна гнучка група, електоральна стiйка група, вiртуально циклiчна група.^UThesis for a Candidate Degree in Mathematics (PhD): Speciality 01.01.04 – Geometry and Topology. – Ivan Franko National University of Lviv, the Ministry of Education and Science of Ukraine, Lviv, 2021.In the PhD thesis we study topologizations of semigroups, whose algebraic properties are closed to the bicyclic monoid and the structure of the closure of such semigroups and groups in semitopological and topological semigroups. In particular, we consider the extended bicyclic semigroup, the bicyclic extension B(A) of a non-empty shift-set A of a linearly ordered group and variants of the bicyclic monoid and the extended bicyclic semigroup.We prove that any variant Cm,n of the bicyclic monoid admits only the discrete Hausdorff shift-continuous topology, and if a semigroup S contais Cm,n as a dense proper subsemigroup, then S \Cm,n is an ideal of S. This is a generalization of well-known Eberhart's and Selden's results obtained for the bicyclic monoid. Also we show the following dichotomy: every Hausdorff locally compact shift-continuous topology on the bicyclic monoid with an adjoined zero is either compact or discrete. We describe the adjoining of a compact ideal to an arbitrary variant of the bicyclic monoid Cm,n in a locally compact semitopological semigroup.It is proved that the group of automorphisms of the extended bicyclic semigroup CZ is isomorphic to the additive group of integers, all variants of CZ are pairwise isomorphic, and the semigroup CZ and all its variants are not finitely generated. We describe Hausdorff shift-continuous topologies on variants of CZ, and show that there exist non-discrete Hausdorff semigroup topologies on variants of the extended bicyclic semigroup CZ. We present the construction which implies that there exists a continuum of distinct Hausdorff non-discrete non-compact locally compact shift-continuous topologies on the extended bicyclic semigroup with an adjoined zero C0Z = CZ U {0}. However, we show that every Hausdorff locally compact semigroup topology on C0Z is discrete.It is shown that for any countable linearly ordered group G and its non-empty shift-set A every Baire shift-continuous T1-topology on B(A) is discrete, and for any linearly non-dense ordered group G every shiftcontinuous Hausdorff topology on B(A) is discrete as well.We prove that every Hausdorff locally compact shift-continuous topology on a discrete electorally flexible infinite group with an adjoined zero G0 is either compact or discrete. Also we show that on any virtually cyclic group with an adjoined zero G0 there exist non-discrete non-compact locally compact shift-continuous topologies which induce the discrete topology on G.Keywords: semigroup, interassociate of a semigroup, semitopological semigroup, topological semigroup, bicyclic monoid, locally compact space, discrete space, bicyclic extension, Baire space, variant of a semigroup, extended bicyclic semigroup, group, electorally flexible group, electorally stable group, virtually cyclic group.