О локальном поведении одного класса обратных отображений

Рассмотрен некоторый класс гомеоморфизмов областей евклидового пространства, более общих, чем пространственные квазиконформные отображения. Для указанных гомеоморфизмов получены теоремы о локальном поведении соответствующих им обратных отображений в заданной области. В частности, доказано, что семейства отображений, обратные к которым удовлетворяют неравенству типа Полецкого, равностепенно непрерывны в заданной области, если мажоранта, относящаяся к этому неравенству, интегрируема.

Взаимосвязи между пересечением, объединением и другими сигнатурными операциями в табличных алгебрах

В настоящее время реляционные базы данных, математическая модель которых была предложена Э. Коддом, остаются наиболее распространенными. Табличные алгебры построены на основе реляционных алгебр Э. Кодда, существенно их развивают и составляют теоретический фундамент языков запросов современных табличных баз данных. В реляционных и табличных алгебрах актуальной является задача эквивалентного преобразования выражений с целью их минимизации или приведения к стандартному виду; она является одним из этапов оптимизации запросов, ее решение может значительно уменьшить время обработки информации в реляционных системах управления базами данных. Для решения этой задачи используются взаимосвязи между табличными операциями. На сегодня установлено значительное количество таких взаимосвязей, большинство из которых для общего случая выполняются в виде включений. Автором были найдены критерии перехода некоторых таких включений в равенства. В настоящей работе рассмотрены взаимосвязи пересечения и объединения таблиц с другими сигнатурными операциями табличных алгебр: разностью, селекцией, проекцией, насыщением, активным дополнением, соединением, переименованием атрибутов.

О регуляризации линейной нетеровой краевой задачи для системы разностных уравнений

Предложены оригинальные условия регуляризации, а также схема нахождения решений линейной нетеровой краевой задачи для системы разностных уравнений, при этом существенно использована техника псевдообращения матриц по Муру - Пенроузу. Поставленная в работе задача продолжает исследование условий регуляризации линейных нетеровых краевых задач, приведенных в монографиях А. Н. Тихонова, В. Я. Арсенина, С. Г. Крейна, А. М. Самойленко, Н. В. Азбелева, В. П. Максимова, Л. Ф. Рахматуллиной и A. A. Бойчука. Исследован общий случай, когда линейный ограниченный оператор, соответствующий однородной части линейной нетеровой краевой задачи, не имеет обратного. В работе построен обобщенный оператор Грина и найден вид линейного возмущения регуляризованой линейной краевой задачи для системы разностных уравнений. Предложенные условия регуляризации, а также схема нахождения решений линейных нетеровых краевых задач для системы разностных уравнений подробно проиллюстрированы на примерах. В отличие от более ранних статей авторов, задача о регуляризации линейной краевой задачи для системы разностных уравнений решена конструктивно, причем получены достаточные условия существования решения задачи о регуляризации.

О непрерывности по Гёльдеру решений уравнений Бельтрами на границе

Найдены условия на комплексную коэффициент уравнений Бельтрами с вырождением условия равномерной эллиптичности в единичном круге, при которых обобщенные гомеоморфные решения непрерывны по Гёльдеру на границе. Результаты имеют прикладное значение при исследовании различных краевых задач для уравнений Бельтрами.

Про спрощення частотного рівняння власних осесиметричних коливань ідеальної рідини в жорсткому циліндричному резервуарі з пружними основами

Проведено спрощення раніше одержаного частотного рівняння власних вісесиметричних коливань важкої ідеальної нестисливої рідини в жорсткому циліндричному резервуарі з пружними основами у вигляді тонких кругових пластин. Усунено особливість в частотному рівнянні у разі збігу масових характеристик пластин. Розглянуто довільні способи закріплення контурів пластин і різні граничні випадки виродження пластин в мембрани та абсолютно жорсткі, випадок відсутності верхньої пластини (рідина з вільною поверхнею), а також випадок невагомості. Показано, що частотний спектр сумісних вісесиметричних коливань пружних основ та ідеальної рідини складається з двох наборів частот, що відповідають коливанням верхньої та нижньої пружних основ, і додаткової частоти коливань стовпа рідини як одного цілого.

Нелинейные краевые задачи для невырожденных дифференциально-алгебраических систем

В работе предложены оригинальные условия разрешимости, а также схема нахождения решений нелинейной нетеровой дифференциально-алгебраической краевой задачи. При этом существенно использована техника псевдообращения матриц по Муру - Пенроузу. Поставленная задача продолжает исследование условий разрешимости, а также схем нахождения решений нелинейных нетеровых краевых задач, приведенных в монографиях А. Пуанкаре, А. М. Ляпунова, И. Г. Малкина, Дж. Хейла, Ю. А. Рябова, А. М. Самойленко, Н. В. Азбелева, В. П. Максимова, Л. Ф. Рахматуллиной и A. A. Бойчука. Исследован общий случай, когда линейный ограниченный оператор, соответствующий однородной части линейной нетеровой дифференциально-алгебраической краевой задачи, не имеет обратного. Найдены достаточные условия приводимости дифференциально-алгебраического уравнения к системе, объединяющей дифференциальное и алгебраическое уравнение. Таким образом, дифференциально-алгебраическая краевая задача приводится к нелинейной нетеровой краевой задаче для системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Изучен случай наличия простых корней уравнения для порождающих амплитуд. Для нахождения решений поставленной задачи в критическом случае получены конструктивные необходимые и достаточные условия существования, а также построена сходящаяся итерационная схема. Предложенные условия разрешимости, а также схема нахождения решений нелинейной нетеровой дифференциально-алгебраической краевой задачи подробно проиллюстрированы на примере нелинейной нетеровой дифференциально-алгебраической краевой задачи для уравнения типа Дюффинга. Для контроля скорости сходимости итерационной схемы к точному решению дифференциально-алгебраической краевой задачи для уравнения типа Дюффинга использованы невязки полученных приближений в уравнении типа Дюффинга в пространстве непрерывных функций.

Интегральные представления уклонений прямоугольных линейных средних рядов Фурье на классах периодических дифференцируемых функций

Расмотрены вопросы приближения в равномерной метрике периодических функций многих переменных тригонометрическими полиномами, которые порождаются линейными методами суммирования рядов Фурье. Рассмотрены классы <$Epsi bar>-дифференцируемых периодических функций многих переменных, которые позволяют по-отдельности учитывать свойства обычных и смешанных частных производных, и задающиеся по аналогии с классами <$Epsi bar>-дифференцируемых периодических функций одной переменной. Получены интегральные представления прямоугольных линейных средних рядов Фурье на классах <$Epsi bar>-дифференцируемых периодических функций многих переменных. Полученные формулы могут быть полезными для дальнейшего исследования аппроксимативных свойств различных линейных прямоугольных методов на классах <$Epsi bar>-дифференцируемых периодических функций многих переменных с целью получения решения соответствующих задач Колмогорова - Никольского.

Analogs of Fricke's theorems for analytic vector-valued functions in the unit ball having bounded L-index in joint variables = Аналоги теорем Фріке для аналітичних у кулі векторнозначних функцій обмеженого L-індексу за сукупністю змінних

Одержано необхідні та достатні умови обмеженості L-індексу за сукупністю змінних для векторнозначних функцій, аналітичних в одиничній кулі, де <$Eroman bold L ~=~(l sub 1 ,~l sub 2 )> - додатна неперервна векторнозначна функція, що визначена у внутрішності одиничній кулі з двовимірного комплексного простору і кожна компонента задовольняє деяку умову в цій кулі. Точніше, за підходу до межі одиничної кулі кожна компонента зростає швидше, ніж 1/(1 - |z|), де |z| - евклідова норма у двовимірному комплексному просторі. Доведено аналоги теорем Фріке для цього класу функцій, які надають оцінку максимуму норми на кістяку бікруга. Перша теорема стосується достатніх умов. Згідно з цими умовами для обмеженості L-індексу за сукупністю змінних досить вимагати існування деяких радіусів, для яких максимум норми аналітичної векторнозначної функції на кістяку бікруга з більшим радіусом не перевищує максимуму норми векторнозначної функції на кістяку бікруга з меншим радіусом помноженого на деяку сталу, залежну лише від радіусів. Доведення першої теореми подібне до доведення відповідного твердження для аналітичних в одиничній кулі функцій та використовує властивості максимального члена, центрального індексу та коефіцієнтів степеневого розвинення в околі довільної точки з внутрішності двовимірної одиничної кулі. У другій теоремі стверджується, що з обмеженості L-індексу за сукупністю змінних для векторнозначної аналітичної у двовимірній одиничній кулі функції випливає справедливість згаданої оцінки для всіх радіусів. Доведення другої теореми базується на інтегральній формулі Коші та пов'язаній з нею нерівності Коші. Основою для такого доведення слугує критерій обмеженості L-індексу за сукупністю змінних для векторнозначних функцій, аналітичних в одиничній кулі, якого раніше було одержано одним із співавторів. Цей критерій описує локальне поводження максимумів норм частинних похідних на кістяках бікруга. З одержаних нарізно достатніх умов та необхідних умов обмеженості L-індексу за сукупністю змінних для векторнозначних аналітичних в одиничній кулі функцій легко одержується критерій обмеженості L-індексу за сукупністю змінних, який полягає у можливості оцінки максимуму норми векторнозначної функції на кістяку бікруга з більшим радіусом через максимум норми векторнозначної функції на кістяку бікруга з меншим радіусом, помножений на деяку сталу, залежну лише від радіусів і незалежну від центрів бікруга.

Задача про добуток внутрішніх радіусів чотирьох неперетинних областей, деякі з яких симетричні відносно одиничного кола

Розглянуто достатньо загальну проблему геометричної теорії функцій про екстремальне розбиття комплексної площини, а саме задача про знаходження максимуму добутку внутрішніх радіусів неперетинних областей {<$EB sub k } sub k=1 sup n>, симетричних відносно одиничного кола, і степеня <$Egamma> внутрішнього радіуса області {<$EB sub 0>}, яка містить точку нуль. Дана задача розглядалася в роботах В. М. Дубініна, Л. B. Ковальова, Г. П. Бахтіної та інших, у 1994 р. була виставлена В. М. Дубініним у списку нерозв'язаних проблем. В 2000 р. для <$Egamma~=~1> і для всіх <$En~symbol У~2> цю проблему розв'язав Л. B. Ковальов. У даній роботі розглянуто випадок трьох симетричних неперетинних областей, причому степінь внутрішнього радіуса області {<$EB sub 0>} знаходиться в межах <$E0~<<~gamma~symbol Г~1,233> і для даного випадку знайдено повний розв'язок без додаткових обмежень.

Неперервність слабких розв'язків нелінійних рівнянь четвертого порядку з підсиленою еліптичністю через потенціали Вольфа

Розглянуто нелінійні дивергентні рівняння четвертого порядку з L<^>1 правими частинами і умовою підсиленої еліптичності на коефіцієнти. Основним результатом роботи є теорема про оцінку коливання в кулі узагальнених розв'язків розглянутих рівнянь через потенціали Вольфа їх правих частин. Як наслідок одержано новий результат про внутрішню неперервність розв'язків рівнянь з правими частинами з класу Като, який характеризується рівномірною збіжністю до нуля відповідних потенціалів Вольфа. Розглянуто окремі важливі випадки виконання цієї умови: права частина рівняння належить до простору Морі з показником більше певного граничного значення, тоді розв'язки є локально неперервними за Гельдером; права частина належить до граничних класів Лоренца - Зігмунда, розв'язки є локально неперервними, але не Гельдер-неперервними, всередині області. У разі, коли сумовність правих частин розглянутих рівнянь характеризується показниками, меншими зазначених граничних значень, існують приклади необмежених розривних розв'язків. Встановлені факти є точними аналогами відповідних результатів в теорії еліптичних рівнянь другого порядку.

Георгій Дмитрович Суворов (до сторіччя від дня народження)

17 травня 2019 р. виповнилося 100 років від дня народження видатного математика, члена-кореспондента Академії наук України, Суворова Георгія Дмитровича. Г. Д. Суворов (1919 - 1984) був засновником відділу теорії функцій ІПММ НАН України та, практично одночасно, з 1966 р. організатором і першим завідувачем кафедри математичного аналізу і теорії функцій Донецького державного університету. Під його безпосереднім керівництвом виник і регулярно (раз у два роки) проходив Донецький Колоквіум з теорії квазіконформних відображень та їх узагальнень, який мав широку популярність в колишньому Союзі. Праці Колоквіуму акумулювали в собі найновіші досягнення з теорії відображень в СРСР. Вони мали найвищий світовий рівень.

Апріорні оцінки типу Келлера - Оссермана для двічі нелінійних анізотропних параболічних рівнянь з абсорбцією

Одержано поточкові оцінки зверху для розв'язків двічі нелінійних анізотропних параболічних рівнянь з абсорбційним членом, які виражені у термінах відстані до межі. Оцінки такого типу беруть свій початок в роботах Дж. Б. Келлера, Р. Оссермана і мають значення для так званих великих розв'язків.

Гіперкомплексний метод розв'язування лінійних диференціальних рівнянь з частинними похідними

Запропоновано процедуру побудови нескінченної кількості сімейств розв'язків заданих лінійних диференціальних рівнянь з частинними похідними зі сталими коефіцієнтами. При цьому використовуються моногенні (тобто неперервні і диференційовні в сенсі Гато) функції, що визначені на певних послідовностях комутативних асоціативних алгебр над полем комплексних чисел. Для досягнення цієї мети, спочатку вивчаються розв'язки, так званого, характеристичного рівняння на заданій послідовності алгебр. Далі вивчаються моногенні функції на послідовності алгебр та досліджується їх зв'язок з розв'язками рівняннь в частинних похідних. Запропонований метод застосовано до побудови розв'язків деяких рівнянь математичної фізики. Зокрема, для тривимірних рівняння Лапласа та хвильового рівняння, для рівняння поперечних коливань пружного стержня та спряженого з ним, узагальненого бігармонічного рівняння та двовимірного рівняння Гельмгольца.

Оценка скорости колебаний осцилляторных сетей

Рассмотрена задача наблюдения для системы взаимосвязанных осцилляторов, совершающих нелинейные колебания. В качестве математической модели каждого осциллятора сети используются уравнения Льенара - общая модель нелинейных колебаний материальной точки. Такие системы возникают при упрощенном моделировании многих биологических, физических процессов, имеющих циклический характер. Предложена схема решения задачи наблюдения, обеспечивающая получение экспоненциальных оценок скорости каждого из осцилляторов по информации об их положении. Для построения соответствующего нелинейного наблюдателя использован метод синтеза инвариантных соотношений, позволяющий синтезировать выражения, определяющие искомые неизвестные как функции от известных величин.

Синхронизация колебаний связанных осцилляторов Ван дер Поля по неполной информации

Ряд задач автоматического управления, в частности, синхронизация траекторий, задача слежения (tracking) связаны с синтезом алгоритмов управления динамическими системами, которые представляют собой совокупность связанных между собой активных подсистем. В работе рассмотрена задача синхронизации колебаний для двух связанных осцилляторов Ван дер Поля. Предполагается, что одна из подсистем зависит от внешнего управляющего воздействия. Приведено решение задачи в виде обратной связи по состоянию. Во многих практических приложениях теории управления полный вектор состояния системы неизвестен, а измерению доступны лишь некоторые функции переменных состояния - выходы системы. Поэтому основная цель работы - изучить возможность решения исходной задачи с помощью управления, в котором состояние системы заменено на его оценку, полученную с помощью наблюдателя. Построен нелинейный наблюдатель, гарантирующий получение экспоненциальных оценок неизвестных компонент фазового вектора. Показано, что исходное управление совместно с уравнениями наблюдателя решает задачу локальной синхронизации.

О направленном перемещении графоходного автомата без компаса на бесконечной цепи

Решена задача организации направленного перемещения графоходного автомата без компаса на бесконечной цепи (т. е. бесконечном связном 2-регулярном графе). Получены необходимые и достаточные условия в виде ограничений на свойства автомата и разметку цепи, при которых автомат сохраняет направление перемещения на цепи. Предложены два типа вершинной разметки цепи, допускающие направленное перемещение автомата: так называемые детерминированная и слабо детерминированная разметки. Разработаны методы и алгоритмы обхода автоматом конечных и бесконечных помеченных цепей. Для обоих типов разметки разработаны алгоритмы разметки цепей, все вершины которых не помечены или помечены одной и той же меткой. Полученные результаты закладывают основы для изучения навигации автоматов без компаса и их коллективов в стационарных однородных дискретных средах.

Нелинейная периодическая задача для уравнения Дюффинга в критическом случае

Исследована задача о нахождении условий существования и построении решений периодической задачи для нелинейного уравнения Дюффинга. При этом исследованная нелинейная периодическая задача для уравнения Дюффинга не является слабонелинейной, в отличие от наиболее изученных краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений. Изучен случай наличия простых корней уравнения для порождающих амплитуд. Для нахождения решений поставленной задачи в критическом случае получены конструктивные необходимые и достаточные условия существования, а также построена сходящаяся итерационная схема. Актуальность изучения нелинейного уравнения Дюффинга связана с многочисленными применениями уравнения Дюффинга в теории колебаний, механике, электронике, кардиологии. Для промежуточного вычисления корней нелинейных вещественных уравнений построена оригинальная итерационная техника с кубической сходимостью. Предложенная итерационная техника определяет на каждом шаге точное выполнение условий разрешимости, гарантирующее отсутствие вековых (или секулярных) членов, при этом приближения к решениям периодической задачи для уравнения Дюффинга являются периодическими функциями. Для контроля скорости сходимости итерационной схемы к точному решению периодической задачи для уравнения Дюффинга использованы невязки полученных приближений в уравнении Дюффинга в пространстве непрерывных функций, определенных на отрезке, длина которого определяется на каждом шаге итерационной схемы. Заметим также, что итерационная схема с кубической сходимостью применима для нахождения приближенных решений автономных краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений, для которых каждое приближение в точности удовлетворяет краевому условию.

Оператор Гріна матричної інтегрально-диференціальної крайової задачі

Знайдено умови розв'язку, а також конструкцію узагальненого оператора Гріна лінійної крайової задачі для матричної інтегрально-диференціальної системи типу Фредгольма з виродженим ядром. Актуальність вивчення теорії крайових задач для лінійних інтегрально-диференціальних рівнянь пов'язана з численними застосуваннями в задачах механіки, аеродинаміки, відновлення параметрів, а також теорії коливань. Для розв'язання матричної інтегрально-диференціальної крайової задачі застосовано оригiнальні умови розв'язності, а також конструкцію загального розв'язку матричного рівняння типу Сильвестра. У роботі суттєво використовується апарат псевдообернення (за Муром - Пенроузом) матриць, конструкції узагальнених операторiв Гріна, побудовані в роботах А. М. Самойленка і О. А. Бойчука [1] та методи розв'язання матричних рівнянь Ляпунова та Сильвестра, побудовані в роботах О. А. Бойчука, С. А. Кривошеї [6] та С. М. Чуйка [7, 12]. Запропоновані умови розв'язку, а також конструкція узагальненого оператора Гріна крайової задачі для матричної інтегрально-диференціальної системи типу Фредгольма з виродженим ядром узагальнюють умови розв'язку і конструкцію узагальненого оператора Гріна інтегрально-диференціальної крайової задачі [2, 8], а також матричної крайової задачi [9]. Крім того, аналогічні умови розв'язку, а також конструкція узагальненого оператора Гріна матричної інтегрально-диференціальної системи типу Фредгольма з виродженим ядром можуть бути одержані для аналогічної крайової задачі в абстрактних просторах [1, 10]. Запропонована схема дослідження крайових задач матричної інтегрально-диференціальної системи типу Фредгольма з виродженим ядром (1) аналогічно [8] може бути перенесена на нелінійні інтегрально-диференціальні системи типу Фредгольма з виродженим ядром, а також аналогічно [11, 12, 13, 14, 15, 16, 17] - на матричні крайові задачі для інтегрально-диференціальних систем типу Фредгольма з виродженим ядром, що містять диференціально-алгебричний оператор. З іншого боку, у разі нерозв'язності матричні крайові задачі для інтегрально-диференціальних систем типу Фредгольма з виродженим ядром можуть бути регуляризовані аналогічно [18, 19].

On the boundary behavior of conjugate harmonic functions = Про граничну поведінку пов'язаних гармонійних функцій

Доведено, що якщо гармонійна функція u, що задана в одиничному колi D комплексної площинi C, має кутові межі на вимірної множині E одиничного кола, то її сполучена гармонiйна функція nu в D також має кутові межі п.в. на E і обидві граничні функцiї п.в. кінцеві та вимірні на E. Потім цей результат поширюється на довільні жорданова області з границями, що спрямляються в термінах кутових меж щодо природного параметра. Результат суттєво грунтується на теоремі Фату про кутові межі обмежених аналітичних функцій і конструкції Лузіна і Привалова до їх теореми єдиності для аналітичних і мероморфних функцій. Результат буде мати цікаві додатки до вивчення різних інтегралів Стілтьєса в теорії гармонійних і аналітичних функцій і, зокрема, інтеграла Гільберта - Стілтьєса.

Об уточнении условий устойчивости колебаний мембраны, разделяющей идеальные жидкости в прямоугольном канале с жесткими основаниями

В линейной постановке выведено уточненное, на случай осесимметричных колебаний, частотное уравнение собственных совместных колебаний прямоугольной мембраны и жидкости. Мембрана горизонтально разделяет идеальные несжимаемые жидкости разной плотности в прямоугольном канале с жесткими основаниями. Частотное уравнения для симметричных и несимметричных совместных колебаний мембраны и жидкости представлено в единой форме. Уточнены ранее полученные приближенные условия устойчивости колебаний мембраны и жидкости. Показано, что для несимметричных частот приближенное значение критического натяжения является заниженным в 4/5 раза, а для симметричных - в 0,818 раз.