Analogs of Fricke's theorems for analytic vector-valued functions in the unit ball having bounded L-index in joint variables = Аналоги теорем Фріке для аналітичних у кулі векторнозначних функцій обмеженого L-індексу за сукупністю змінних

Одержано необхідні та достатні умови обмеженості L-індексу за сукупністю змінних для векторнозначних функцій, аналітичних в одиничній кулі, де <$Eroman bold L ~=~(l sub 1 ,~l sub 2 )> - додатна неперервна векторнозначна функція, що визначена у внутрішності одиничній кулі з двовимірного комплексного простору і кожна компонента задовольняє деяку умову в цій кулі. Точніше, за підходу до межі одиничної кулі кожна компонента зростає швидше, ніж 1/(1 - |z|), де |z| - евклідова норма у двовимірному комплексному просторі. Доведено аналоги теорем Фріке для цього класу функцій, які надають оцінку максимуму норми на кістяку бікруга. Перша теорема стосується достатніх умов. Згідно з цими умовами для обмеженості L-індексу за сукупністю змінних досить вимагати існування деяких радіусів, для яких максимум норми аналітичної векторнозначної функції на кістяку бікруга з більшим радіусом не перевищує максимуму норми векторнозначної функції на кістяку бікруга з меншим радіусом помноженого на деяку сталу, залежну лише від радіусів. Доведення першої теореми подібне до доведення відповідного твердження для аналітичних в одиничній кулі функцій та використовує властивості максимального члена, центрального індексу та коефіцієнтів степеневого розвинення в околі довільної точки з внутрішності двовимірної одиничної кулі. У другій теоремі стверджується, що з обмеженості L-індексу за сукупністю змінних для векторнозначної аналітичної у двовимірній одиничній кулі функції випливає справедливість згаданої оцінки для всіх радіусів. Доведення другої теореми базується на інтегральній формулі Коші та пов'язаній з нею нерівності Коші. Основою для такого доведення слугує критерій обмеженості L-індексу за сукупністю змінних для векторнозначних функцій, аналітичних в одиничній кулі, якого раніше було одержано одним із співавторів. Цей критерій описує локальне поводження максимумів норм частинних похідних на кістяках бікруга. З одержаних нарізно достатніх умов та необхідних умов обмеженості L-індексу за сукупністю змінних для векторнозначних аналітичних в одиничній кулі функцій легко одержується критерій обмеженості L-індексу за сукупністю змінних, який полягає у можливості оцінки максимуму норми векторнозначної функції на кістяку бікруга з більшим радіусом через максимум норми векторнозначної функції на кістяку бікруга з меншим радіусом, помножений на деяку сталу, залежну лише від радіусів і незалежну від центрів бікруга.

Boundary value problems for the generalized analytic and harmonic functions = Крайові задачі для узагальнених аналітичних і гармонічних функцій

Вивчення задачі Діріхле з довільними вимірними даними для гармонічних функцій сходить до знаменитої дисертації Лузіна. Пізніше, відома монографія Вєкуа була присвячена крайовим задачам (тільки з неперервними по Гельдеру граничними даними) для узагальнених аналітичних функцій, а саме для неперервних комплекснозначних функцій комплексної змінної з узагальненими першими частинними похідними по Соболєву, які задовольняють лінійним рівнянням першого порядку, чиї коефіцієнти інтегровані порядку більше 2 у відповідних областях комплексної площини. Дана робота є продовженням статей авторів, присвячених крайовим задачам Рімана, Гільберта, Діріхле, Пуанкаре і, зокрема, Неймана для квазіконформних, аналітичних, гармонічних і, так званих, A-гармонічних функцій з крайовими умовами, вимірними відносно логарифмічної ємності. В даній роботі поширено відповідні результати на узагальнені аналітичні функції з витоками інтегрованими порядку більше 2, а також на узагальнені гармонічні функції з витоками інтегрованими порядку більше 2. Також надано відповідні визначення з необхідними посиланнями на згадані статті та коментарі до попередніх результатів. Робота містить різноманітні теореми існування некласичних розв'язків крайових задач Гільберта та Рімана з довільними вимірними відносно логарифмічної ємності даними для узагальнених аналітичних функцій з витоками. Підхід авторів грунтується на геометричній (теоретико-функциональной) інтерпретації граничних значень у порівнянні з класичним операторним підходом в теорії диференційних рівнянь з частинними похідними. На цій основі встановлено відповідні теореми існування для задачі Пуанкаре про похідні за напрямами і, зокрема, для задачі Неймана до рівняння Пуасона з довільними крайовими умовами, вимірними відносно логарифмічної ємності. Ці результати також можуть бути застосовані для напівлінійних рівнянь математичної фізики в анізотропних та неоднорідних середовищах.

Caratheodory theorem about prime ends on Riemann surfaces = Теорема Каратеодорі про прості кінці на ріманових поверхнях / V. Ryazanov, S. Volkov

Дана робота є продовженням дослідження авторів, що присвячене теорії граничної поведінки відображень на ріманових поверхнях. Тут розвинуто теорію граничної поведінки відображень класу FLD (відображення зі скінченним спотворенням довжини), що вперше були введені для евклідових просторів в роботі Мартіо - Рязанов - Сребро - Якубов 2004 р., а потім включені в їх відому монографію з сучасної теорії відображень 2009 р. Як було показано в нещодавніх роботах Ковтонюка - Петкова - Рязанова в 2017 р., такі відображення не є відображеннями класу Соболева, оскільки їх перші частинні похідні можуть бути локально неінтегрованими. В той же час цей клас є природнім узагальненням відомих класів ізометрій та квазіізометрій. В даній роботі, в термінах дилатацій, одержано ряд критеріїв для гомеоморфного продовження відображень зі скінченним спотворенням довжини між областями на ріманових поверхнях по простим кінцям Каратеодорі. Тут розпочато із загального критерію леми 1 в термінах особливих функціональних параметрів, а потім виводяться на цій основі багато інших критеріїв. Зокрема, з леми 1 випливає теорема 1 з критерієм типу Лехто та наслідка 1 показує, що висновок має місце, якщо дилатація зростає не швидко, ніж логарифм гіперболічної відстані у кожній точці межі. Наступний наслідок у теоремі 2 надає інтегральний критерій типу Орліча і наслідок 2 говорить про прості інтегральні умови експоненціального типу. Далі, Теорема 3 та зауваження 2 містять критерії з особливими інтегралами типу Кальдерона - Зигмунда. Інший критерій в теоремі 4 - існування домінанти для дилатації в класі РМО (функції з скінченним середнім коливанням), тобто мають скінченне середнє відхилення від його середнього значення щодо нескінченно малих дисків з центрами у точках межи. Іншими словами, останнє означає, що така домінанта має скінченну дисперсію над такими нескінченно малими дисками. Зокрема, остання призводить до наслідку 3 за домінантою у відомому класу ВМО (функцій з обмеженим середнім коливанням) по Джону - Ніренбергу і до простого критерію в наслідку 4 на скінченність середнього значення дилатації над нескінченно малими дисками з центрами у точках межі.

Collectives of automata on infinite grid graph with deterministic vertex labeling = Колективи автоматів на детермінованому нескінченому графі решітки

Автомати, які пересуваються по графах, є математичною формалізацією автономних мобільних агентів з обмеженою пам'яттю, що функціонують у дискретних середовищах. В межах цієї моделі виникла та інтенсивно розвивається велика область досліджень поведінки автоматів в лабіринтах (лабіринти є орієнтованими графами спеціального виду, які укладено на двовимірній цілочисловій решітці). Дослідження з цього напрямку одержали великий спектр застосувань, наприклад, в задачах аналізу зображень і навігації мобільних роботів. Автомати, що функціонують у лабіринтах, можуть розрізняти напрямки, тобто вони мають компас. У даній роботі розглянуто вершинну розмітку графа квадратної решітки, завдяки якій скінчений автомат без компаса може пересуватися по графі у довільному напрямку. Автомат одержує на свій вхід позначки усіх вершин із замкненого околу поточної вершини та пересувається поміж суміжними вершинами, обираючи цільову вершину за її позначкою. У роботі запропоновано так звану мінімальну детерміновану прохідну розмітку, яка задовольняє шуканій властивості. Розмітка називається детермінованою, якщо усі вершини із замкненого околу будь-якої вершини графа мають різні позначки. Доведено, що мінімальна детермінована прохідна вершинна розмітка графу квадратної решітки потребує п'ять різних типів позначок. Також мінімальні детерміновані прохідні розмітки підграфів графу квадратної решітки, ступінь яких менше чотирьох. Основною задачею про автомати та лабіринти є задача про побудову скінченого автомата, який обходить заданий клас лабіринтів. Запропоновано умову, що автомат обходить нескінчений граф, якщо він відвідує будь-яку довільно обрану вершину графа за скінчений час. Доведено, що колектив, який складається з одного автомата та трьох каменів, обходить нескінчений граф квадратної решітки з заданою на ньому мінімальною детермінованою прохідною розміткою, а ніякий колектив з меншим числом каменів цього зробити не може. Каміння розглядається як автомати найпростішого виду, пересування яких цілком визначається іншими автоматами колективу. Результати стосовно обходу нескінченого позначеного графа квадратної решітки збігаються з результатами A. B. Анджана стосовно обходу нескінченого мозаїчного лабіринту без дірок. Таким чином граф квадратної решітки після побудови на ньому мінімальної детермінованої прохідної розмітки та фіксації двох пар протилежних напрямків стає аналогом нескінченого мозаїчного лабіринту без дірок.

Dirichlet problem for Poisson equations in Jordan domains = Задача Дірихле для рівнянь Пуасона у жорданових областях

Вивчено задачу Дірихле для рівнянь Пуасона <$EDELTA u(z)~=~g(z)> з <$Eg~symbol <174>~L sup p>, p >> 1, та неперервними граничними даними <$Ephi~:~del D~symbol О~roman bold R> в довільних жорданових областях <$ED~symbol <172>~roman bold C> та доведено існування неперервних рішень u цієї задачі в класі <$EW sub loc sup 2,p>. Крім цього, <$Eu~symbol <174>~W sub loc sup 1,q> для деякого q >> 2 та u локально неперервні за Гельдером. Більш того, <$Eu~symbol <174>~C sub loc sup {1, alpha }> з <$Ealpha~=~(p~-~2) "/" p>, якщо p >> 2. Потім, на цій основі, застосовуючи підхід Лере - Шаудера, одержано аналогічні результати для задачі Дірихле з неперервними граничними даними в довільних жорданових областях для квазілінійних рівнянь Пуасона виду <$EDELTA u(z)~=~h(z)~cdot~f(u(z))> з тими же припущеннями про функції h як вище для g та неперервних функцій <$Esymbol Ж~:~roman bold R ~symbol О~roman bold R>, які або обмежені, або з неспадним |<$Esymbol Ж>| від |t|, таких, що <$Esymbol Ж (t) "/" t~symbol О~0> за <$Et~symbol О~inf>. Також наведено додатки до математичної фізики, які відносяться до задач дифузії з абсорбцією, плазмі та горінню. На додаток, розглянуто задачу Дірихле для рівнянь Пуасона в одиничному колі <$Eroman bold D~symbol <172>~roman bold C> з довільними граничними даними <$Ephi~:~del roman bold D ~symbol О~roman bold R>, які вимірні відносно логарифмічної ємності. Тут встановлено існування некласичних рішень цієї проблеми у термінах кутових границь у <$Eroman bold D> п.в. на <$Edel roman bold D> відносно логарифмічної ємності з тими ж локальними властивостями, як і вище. Нарешті, поширено ці результати на майже гладкі жорданові області D в <$Eroman bold C> з квазігіперболічною граничною умовою за Герингом - Мартіо.

Energetic effects analysis of shear waves and their second harmonics in a waveguide with non-ideal component contact = Аналіз енергетичних ефектів зсувних хвиль та їх других гармонік при неідеальному контакті складових хвилеводу / N. V. Zhogoleva

Проведено дослідження енергетичних і кінематичних ефектів, що виникають у разі поширення локалізованої пружної зсувної хвилі та її других гармонік. Хвилевод складається з кристалічного шару класу m3m кубічної системи, розташованого з умовою ковзного контакту проміж двома однотипними кристалічними півпросторами класу m3m кубічної системи. Дослідження грунтуються на моделі геометричної та фізичної нелінійності в динамічних деформаційних процесах. Це надає змогу використовувати пружний потенціал з квадратичними та кубічними компонентами деформацій та деформації з нелінійними членами. Використовується підхід розкладання нелінійних пружних хвильових характеристик в ряди за малим параметром. Завдяки такому підходу, в першу чергу, розв'язується задача по знаходженню компонентів вектору переміщення локалізованої зсувної хвилі (задача першого наближення). На другому етапі, з використанням дезультатів задачі першого наближення, одержуються в аналітичній формі представлення компонентів вектора переміщень для других гармонік локалізованих пружних хвиль (задача другого наближення). За допомогою одержаних кінематичних результатів проведено оцінку енергетичних ефектів у вигляді вектора середнього за період потоку потужності. Конкретні результати дослідження амплітудно-частотних та енергетичних характеристик пружних хвиль локалізованого типу зсуву в даній хвилеводній структурі одержано за допомогою методів комп'ютерної алгебри. Розрахунки кінематичних та енергетичних характеристик (які на відміну від лінійної гармоніки SH типу є хвилями P-SV типу) було проведено для хвилевода у вигляді шару хлориду натрію та півпросторів з германію.

Finite Lipschitz mappings on Finsler manifolds = Конечно липшицевы отображения на финслеровых многообразиях

Рассмотрены кольцевые Q-гомеоморфизмы относительно p-модуля на финслеровых многообразиях, n - 1 << p << n, установлены достаточные условия конечной липшицевости этих отображений.

First Baire class functions in the pluri-fine topology = Функции первого класса Бэра в топологии, порожденной плюрисубгармоническими функциями

Пусть B₁(OMEGA, R) - множество функций первого класса Бэра в топологии, порожденной плюрисубгармоническими функциями на открытом множестве OMEGA c_ Cⁿ, и пусть H₁^*(OMEGA, R) - первый функциональный класс Лебега вещественнозначных функций в той же топологии. Доказано равенство B₁(OMEGA, R) = H₁^*(OMEGA, R) и показано, что для всякой f є B₁(OMEGA, R) существует раздельно непрерывная функция g : OMEGA² ->> R в топологии, порожденной плюрисубгармоническими функциями и такая, что f является диагональю g.

Identification of van der Pol oscillator parameters = Ідентифікація параметрів осцилятора ван дер Поля / I. S. Baraniukova, V. F. Shcherbak

У прикладних застосуваннях фізики, біології та інших наук побудова наближеної моделі багатьох процесів заснована на концепції модельних рівнянь. В основі цієї концепції лежить припущення, що невелика кількість характерних рухів простих математичних моделей надає ключ до розуміння та дослідження величезної кількості різних складних явищ. При цьому апріорі передбачається, що все фізичне різноманіття природних явищ може бути представлено у вигляді комбінації досить простих модельних рівнянь. Це сприяє якісному вивченню складних систем різної фізичної природи, оскільки такі базові моделі, як правило, добре вивчені та їх параметри мають ясну фізичну інтерпретацію. Зокрема, коливальний рух різних систем зі стабільним граничним циклом в багатьох випадках моделюється системою, що складається з одного або декількох зв'язаних осциляторів ван дер Поля. Тому, в задачах моделювання та керування коливними процесами, визначення в режимі реального часу стану та параметрів таких систем за результатами вимірювання вихідних сигналів є актуальною проблемою. Одну з таких проблем, а саме задачу ідентифікації сталих параметрів осцилятора ван дер Поля, розглянуто в даній роботі. Запропоновано метод одержання асимптотичних оцінок параметрів, що повністю визначають природу таких коливань за інформацією про рух системи. Перший з невідомих параметрів характеризує нелінійний член рівняння та визначає порогове значення для амплітуди відхилень, за яких значення демпфування в системі змінює знак. Другий, у випадку відсутності дисипації, співпадає з частотою власних коливань осцилятора. Для розробки відповідного алгоритму ідентифікації використовується метод синтезу інваріантних співвідношень. Основна ідея методу полягає в одержанні додаткових рівнянь відносно невідомих параметрів. З цією метою проводиться динамічне розширення вихідної системи та синтезуються інваріантні співвідношення спеціального виду, які пов'язують на її траєкторіях відомі та невідомі величини. Остаточний синтез здійснюється за умови одержання асимптотичних оцінок невідомих параметрів. Проведене числове моделювання підтверджує працездатність запропонованої схеми розв'язання задач ідентифікації.

Minimal deterministic traversable vertex labelling of infinite square grid graph = Мінімальна детермінована прохідна вершинна розмітка нескінченного графа квадратної решітки / S. V. Sapunov

Автомати, які пересуваються по графах, є математичною формалізацією автономних мобільних агентів з обмеженою пам'яттю, що функціонують у дискретних середовищах. В межах цієї моделі інтенсивно розвиваються дослідження поведінки автоматів на орієнтованих графах спеціального виду, так званих лабіринтах. Дослідження з цього напрямку одержали великий спектр застосувань, наприклад, в задачах аналізу зображень та навігації мобільних роботів. Автомати, які функціонують у лабіринтах, розрізняють напрямки, тобто вважається, що вони мають компас. Зроблено припущення, що автомат не має такого компаса, тобто він не має прямих засобів розрізнення напрямків та взаємного розташування вершин. Тоді він потребує якихось додаткових засобів для пересування по графу. Такими засобами можуть бути, наприклад, позначки на структурних елементах графа, тобто на вершинах, ребрах, інциденторах тощо. При цьому автомат одержує можливість читати такі позначки та використовувати їх під час свого пересування. У даній роботі розглянуто задачу побудови на нескінченному графі квадратної решітки вершинної розмітки, завдяки якій автомат без компасу може пересуватися на цьому графі у довільному напрямку. Автомат одержує на свій вхід позначки усіх вершин із замкненого околу поточної вершини та пересувається поміж суміжними вершинами, обираючи цільову вершину за її позначкою. У роботі запропоновано так звану мінімальну детерміновану прохідну розмітку, яка задовольняє шуканій властивості. Розмітка називається детермінованою, якщо усі вершини із замкненого околу будь-якої вершини графа мають різні позначки. Розмітка називається мінімальною, якщо вона мінімізує кількість типів використаних позначок. Раніше автором було доведено, що мінімальна детермінована прохідна вершинна розмітка графу квадратної решітки потребує п'ять різних типів позначок. У даній роботі доведено, що колектив, який складається з одного автомата та трьох каменів, спроможний побудувати таку розмітку на початково непозначеному графі квадратної решітки. Кожен камінь розглядається як автомат найпростішого виду, пересування якого цілком визначається іншими автоматами колективу.

On a connection between some classes of mappings on Riemannian manifolds = Про взаємозв'язок між деякими класами відображень на ріманових многовидах / O. Afanas'eva, V. Bilet

Вивчено взаємозв'язок між <$Eeta>-квазісиметричними гомеоморфізмами та K-квазіконформними відображеннями на n-вимірному гладкому зв'язному рімановому багатовиді. Квазісиметричні гомеоморфізми природно поширюють липшицеві відображення через перехід від двох до трьох точок, зберігаючи у визначенні метричний підхід. Більш того, за своїми властивостями вони близькі до квазіконформних відображень. Такі відображення мають цікаві застосування до питань на ріманових поверхнях (Альфорс), модулів ріманових поверхонь (Тейхмюллер), класифікацій простих однозв'язних ріманових поверхонь (Волковиський), тощо. Загальний результат доведено за допомогою методу розбиття одиниці, підпорядкованого локально скінченному атласу багатоговиду та використовуючи паракомпактність простору. Метод розбиття одиниці надаэ змогу поширювати локальні властивості на глобальні об'єкти простору. Однак, ця теорема в глобальній формі не може бути кількісною (див. доведення теореми 3.1). Також, з огляду на вищезазначені зв'язки, одержано ряд теорем про граничну поведінку <$Eeta>-квазісиметричних гомеоморфізмів. Досліджено проблему неперервного та гомеоморфного продовження на межі зазначених відображень між областями квазіекстремальної довжини за Герінгом - Мартіо, рівномірними областями та областями, що мають слабо плоскі межі та компактні замикання на ріманових багатовидах. Відзначено, що гранична поведінка є однією з класичних проблем комплексного аналізу та теорії відображень. Такі дослідження мають важливі застосування до теорії фракталів у евклідовому просторі та у сучасній теоретичній фізиці. Одержані результати можуть бути застосовані до фінслерових юагатовидів із додаванням деяких умов, зважаючи на специфіку самого багатовиду.

On Dirichlet problem for Beltrami equations in finitely domains = Про задачу Діріхле для рівнянь Бельтрамі в скінченнозв'язних областях / I. Petkov, V. Ryazanov

Як відомо, рівняння Бельтрамі, якому присвячено дану роботиу, є комплексною формою запису одного з основних рівнянь математичної фізики на площині, див., наприклад, теорему 16.1.6 в [3]. Реальна частина його розв'язків описує потенційну функцію, а уявна - функцію струму відповідних фізичних субстанцій в анізотропних і неоднорідних середовищах. Таким чином, рівняння Бельтрамі має великий потенціал для застосувань. Зокрема, теорія рівнянь Бельтрамі знайшла велику кількість значних застосувань в теорії стаціонарних потоків, гідродинаміки, магніто- та електростатики і теорії еластичності. Рівняння Бельтрамі виявилося також корисним у вивченні риманових поверхонь, просторів Тейхмюллера, клейнових груп, мероморфних функцій, топології малих розмірностей, голоморфних рухів, комплексної динаміки, аналізу Кліффорда, теорії контролю, робототехніки тощо. Найбільше застосування є на основі їх тісного відношення до квазіконформних відображеннь та їх узагальнень. Відомо, що це рівняння у рівномірно еліптичному випадку тісно пов'язане з квазіконформними функціями та відображеннями, які були першим кроком в узагальненні аналітичних функцій і виникли у роботах 1928 р. Г. Греча та М. О. Лаврентьєва. Останній приділяв особливу увагу застосуванням цих відображень до задач математичної фізики. Стаття М. О. Лаврентьєва (1935) була особливо важливою та основоположною роботою в цій новій теорії. Крайові задачі для рівняння Бельтрамі сходять до відомої дисертації Рімана (1851) в найпростішому випадку аналітичних функцій та відомих праць Гільберта (1904, 1924) та Пуанкаре (1910) для відповідної системі Коші - Рімана. Звичайно, задачу Діріхле було добре вивчено для рівномірно еліптичних систем, див., наприклад, [4] і [39]. Більше того, відповідні результати задачі Діріхле для вироджених рівнянь Бельтрамі в одиничному крузі можна знайти в монографії [9]. У статті авторів [15], див. також [17] і [19], було показано, що кожний узагальнений гомеоморфний розв'язок рівняння Бельтрамі - це так званий нижній Q-гомеоморфізм з його дилатаційним відношенням як Q та розроблено на цій основі теорію граничної поведінки таких розв'язків. У наступних роботах [16] і [18], останнє надало змогу авторам розв'язати задачу Діріхле з неперервними граничними даними для широкого кола вироджених рівнянь Бельтрамі у скінченнозв'язній жордановій області, див. також [19 - 21]. Аналогічні проблеми досліджувались і у випадку обмежених скінченнозв'язних областей з точки зору простих кінців за Каратеодорі в роботах [23 - 24] і [29 - 30]. В даній роботіті доведено ряд ефективних критеріїв існування псевдорегулярних та багатозначних розв'язків задачі Діріхле для вироджених рівнянь Бельтрамі у довільних обмежених скінченнозв'язних областях у термінах простих кінців за Каратеодорі.

On the boundary behavior of conjugate harmonic functions = Про граничну поведінку пов'язаних гармонійних функцій

Доведено, що якщо гармонійна функція u, що задана в одиничному колi D комплексної площинi C, має кутові межі на вимірної множині E одиничного кола, то її сполучена гармонiйна функція nu в D також має кутові межі п.в. на E і обидві граничні функцiї п.в. кінцеві та вимірні на E. Потім цей результат поширюється на довільні жорданова області з границями, що спрямляються в термінах кутових меж щодо природного параметра. Результат суттєво грунтується на теоремі Фату про кутові межі обмежених аналітичних функцій і конструкції Лузіна і Привалова до їх теореми єдиності для аналітичних і мероморфних функцій. Результат буде мати цікаві додатки до вивчення різних інтегралів Стілтьєса в теорії гармонійних і аналітичних функцій і, зокрема, інтеграла Гільберта - Стілтьєса.

On the Dirichlet problem for quasilinear Poisson equations = Про задачу Діріхле для квазілінійних рівнянь Пуассона

Вивчено задачу Діріхле для квазілінійних диференціальних рівнянь в частинних похiдних виду DELTAu(z) = h(z) ^. f(u(z)) в одиничному колі D c C з функцiями h : D ->> R із класу L^p(D), p >> 1, і непрервними функцiями f : R ->> R з неспадаючими |f| вiд |t|, такими, що f(t)/t ->> 0 за t ->> inf. На основі теорії потенціалу, і застосовуючи підхід Лере - Шаудера, за довільних неперервних граничних даних phi : del D ->> R, доведено існування неперервних розв'язків u поставленої задачі в класі W_loc^2,p. Крім того, показано, що u є W_loc^1,q (D) для деяких q >> 2 і що u локально неперервне за Гельдером. Якщо додатково і неперервне за Гельдером, то u неперервне за Гельдерем в D. Більш того, u є C_loc^1,alpha(D) з alpha = (p - 2)/p, якщо p >> 2.

On the subject of influence of dissipative and constant of moments on the stability of uniform rotations of non-free two elastically connected gyroscopes of Lagrange = Вплив дисипативних і постійних моментів на стійкість рівномірних обертань невільних двох пружно зв'язаних гіроскопів Лагранжа / Yu. M. Kononov, Ya. I. Sviatenko

На підставі іннорного підходу одержано у вигляді системи трьох нерівностей, умови асимптотичної стійкості рівномірних обертань в середовищі з опором двох важких гіроскопів Лагранжа, зв'язаних пружним шарніром. Пружний шарнір представлено у вигляді відновлюючого сферичного шарніру. Нижній гіроскоп має нерухому точку. Обертання гіроскопів підтримуються постійними моментами в інерціальній системі координат. З рівнянь збуреного руху випливає, що рух розглянутої механічної системи відбувається під дією дисипативних, потенційних, гіроскопічних та циркулюючих сил. Розглянуто випадки, коли центри мас гіроскопів знаходяться вище або нижче нерухомої точки і гіроскопи знаходяться під дією перекидальних або відновлюючих моментів. Показано відсутність асимптотичної стійкості рівномірних обертань у разі часткової дисипації. Оцінено вплив пружності шарніра на умови асимптотичної стійкості. Розглянуто випадки виродження пружного сферичного шарніра у сферичний непружній, циліндричний та універсальний пружний шарнір (шарнір Гука). За досить великої жорсткості шарніра умови асимптотичної стійкості визначаються тільки однією нерівністю, із якої випливає, що у разі відсутності постійних моментів, статично збалансовані гіроскопи будуть асимптотично стійкі, а незбалансовані - не будуть. Одержана нерівність збігається з нерівністю, яку одержано для випадку циліндричного шарніра. У разі співпадіння кутових швидкостей власних обертань гіроскопів ця нерівність збігається з відомою нерівністю для одного гіроскопа. Для шарніра Гука показано відсутність асимптотичної стійкості за досить великої кутової швидкості обертань гіроскопів.

On theory of multivalent solutions for Riemann - Hilbert problem = До теорії многозначних рішень задачі Рімана - Гільберта

Доведено існування багатозначних рішень задачі Рімана - Гільберта за загальних припущень кінцевозв'язних областей, обмежених взаємно неперетинаючими жордановими кривими, вимірних коефіцієнтів і вимірних граничних даних. Теорему сформульовано в термінах гармонійної міри і головних асимптотичних значень. Наведено відповідний посилений критерій для областей зі спрямлюваними межами, сформульваний в термінах натурального параметра довжини і недотичних границь. Показано, що розмірність простору знайдених рішень нескінченна.

Some algebraic properties of complex Segre quaternoins = Деякі алгебраїчні властивості комплексних кватерніонів Сегре

Алгебру кватерніонів Сегре чи бікомплексних чисел Сегре було введено та вперше вивчено італійським математиком К. Сегре в 1892 р. Перевага цієї чотиривимірної алгебри над полем дійсних чисел, або двовимірної алгебри Кліффорда над комплексними числами, полягає у комутативності множення її елементів, що сприяє її застосуванню до дослідження різноманітних важливих проблем математики, фізики, навігації тощо. Наприклад, на відміну від кватерніонів, не потрібно розглядати окремо праві та ліві похідні функції чи окремо вивчати поліноми з коефіцієнтами на спеціальних місцях. Основним об'єктом дослідження даної роботи є алгебра комплексних кватерніонів Сегре, що є узагальненням бікомплексних чисел до алгебри кватерніонів Сегре над полем комплексних чисел за аналогією узагальнення кватерніонів до комплексних кватерніонів, яке добре вивчене і має ряд застосувань у математичній фізиці. У роботі розглянуто основні алгебричні й аналітичні властивості алгебри кватерніонів Сегре над полем комплексних чисел <$Eroman bold B ( roman bold C )>. Показано, що ця алгебра має зображення у вигляді восьмивимірної комутативної алгебри <$E{ roman bold B} sub 8 ( roman bold R )> над полем дійсних чисел. Для алгебри <$E{ roman bold B} sub 8 ( roman bold R )> складено таблицю множення базисних елементів (таблиця Келі). Знайдено ідемпотенти алгебри та наведено їх основні властивості. За допомогою головних ідеалів, побудованих на ідемпотентах, розглянуто розклад Пірса та визначено дільники нуля алгебри як елементи ідеалів. Досліджено структуру нулів багаточлена в комплексних кватерніонах Сегре шляхом зведення його до системи чотирьох поліноміальних рівнянь над полем комплексних чисел. Для цього доведено теорему про зображення головних ідеалів у вигляді добутку довільного комплексного числа на відповідний ідемпотент алгебри. У роботі наведено ізоморфне матричне подання B8 алгебри <$E{ roman bold B} sub 8 ( roman bold R )>. Для цього кожен базисний елемент алгебри записаний відповідною восьмивимірною матрицею та таблиця Келі множення цих елементів. Також у роботі досліджено умови диференційованості функції на алгебрі <$E{ roman bold B} sub 8 ( roman bold R )>, а саме, одержано умови типу Коші - Рімана, які є достатніми для того, щоб функція на алгебрі комплексних кватерніонів Сегре була диференційованою.

Ідентифікація параметрів демпфірування поліноміальної системи Л'єнара / Н. В. Жоголева, В. Ф. Щербак

В багатьох інженерних застосуваннях коливальний рух складних об'єктів апроксимується системою, яка складається з одного або декількох пов'язаних між собою нелінійних осциляторів, динаміка яких визначається диференціальними рівняннями другого порядку. Система Л'єнара, а саме <$Ex dot dot (t)~+~symbol Ж~(x(t)) x dot (t)~+~g(x(t))~=~0>, є узагальненою моделлю таких коливань, тут <$Esymbol Ж (x(t))> і g(x(t)) - функції, що представляють закони демпфірування та відновлення в системі. В роботі розглянуто проблему побудови глобально збіжного ідентифікатора для визначення коефіцієнтів поліноміального подання <$Esymbol Ж (x(t))> - закону демпфірування осцилятора. Використовується метод інваріантних співвідношень, який засновано на динамічному розширенні вихідної системи та побудові відповідних співвідношень, за якими невідомі параметри можуть бути виражені як функції від відомих величин на траєкторіях розширеної системи. Показано, що остаточні оцінки невідомих стають асимптотичними за умови відповідного вибору глобально притягуючого інваріантного багатовиду в розширеному просторі станів.

Автономная периодическая задача для уравнения типа Хилла в частном критическом случае

Исследована задача о нахождении условий существования и построении решений автономной периодической задачи для слабонелинейного уравнения типа Хилла. Изучен случай наличия кратных корней уравнения для порождающих амплитуд. Для нахождения решений поставленной задачи в частном критическом случае получены конструктивные необходимые и достаточные условия существования, а также построена сходящаяся итерационная схема. Предложенная итерационная техника определяет приближения к решениям автономной периодической задачи для уравнения типа Хилла, являющиеся периодическими функциями. В качестве примера исследована задача о нахождении периодических решений слабонелинейного уравнения Дюффинга.

Алгоритми, що реалізують теоретико-множинні операції на таблицях та мультитаблицях

Досліджено алгоритми, що реалізують операції перетину, об'єднання та різниці у таблицях та мультитаблицях. Тематика роботи є актуальною, оскільки незважаючи на важливість і вживаність теоретико-множинних операцій у реляційних базах даних, внаслідок певних причин, увагу дослідників було зосереджено на оптимізації інших табличних операцій, у першу чергу - з'єднання. При цьому оптимальне виконання теоретико-множинних операцій призведе до більш швидкого виконання запиту, що містить хоча б одну таку операцію, та суттєво зменшить час обробки інформації у сучасних базах даних. Розглянуто базові, найбільш природні алгоритми, що реалізують теоретико-множинні операції на таблицях та мультитаблицях, та досліджувалися модифікації базових алгоритмів, які могли б зменшити кількість обчислень. Як критерій оцінювання швидкодії алгоритмів розглядалася їх складність у середньому для найбільш загального випадку, за яким домен кожного атрибуту схеми таблиць є фіксованим і зазделегідь відомим, а розподіл значень за кожним атрибутом в кожній таблиці є рівномірним. Для кожного з шести випадків (три операції на таблицях та три операції на мультитаблицях) знайдено найбільш швидкі за цим критерієм алгоритми. Для усіх розглянутих 6 алгоритмів на таблицях (базові та найшвидші модифікації базових) знайдено точну складність у середньому, причому формули, що визначають складність запропонованих алгоритмів, не містять O-асимптотики. Для експериментального підтвердження теоретичних результатів розроблено програмну систему, яка обчислює фактичну кількість виконаних обчислювальних дій для кожного розглянутих у роботі алгоритму. Проведені експерименти підтвердили теоретичні оцінки, знайдені для таблиць, та визначили найбільш швидкі алгоритми для мультитаблиць. Результати роботи можуть використовуватись як у теорії реляційних баз даних, так і на практиці для оптимізації запитів і зменшення часу обробки інформації в системах управління базами даних.