Розглянуто процес застосування теоретико-групових методів у сучасній математичній та теоретичній фізиці, а також інших природничих науках. Значну увагу приділено квантовим групам, зображенню груп і алгебр Лі та деяким прикладним задачам, що досліджуються з використанням симетрійного аналізу.

Виведено три нові локальні кардинальні інваріанти топологічних просторів (sb-, cs- та cs*-характер), досліджено їх базові властивості. Показано, що зліченність cs-характеру секвенціальної групи є еквівалентною до того, що топологічний простір групи є <$EM sub omega>-простором. У даній характеризації <$EM sub omega>-груп встановлено суттєве значення наявності деякої групової структури, пов'язаної з топологією та хибною для топологічно однорідних просторів. Охарактеризовано різноманітні властивості типу обмеженості вільної (абелевої) топологічної групи F(X) (A(X)), що дозволяє довести існування моделей ZFC, в яких властивості Скіперза (Менгера) є l-інваріантними. Показано, що кожна сепарабельна метризовна абелева група H є підгрупою сепарабельної метризовної подільної абелевої групи G. Дане твердження доведено на підставі аксіоми вибору, що обумовлює невизначеність дискриптивної структури топології на подільній групі.

  Скачати повний текст

Індекс рубрикатора НБУВ: В152.81,0 + В182.3,0

Рубрики:

Топологічні групи

Комбінаторна топологія

Шифр НБУВ: РА346201 Пошук видання у каталогах НБУВ 

Розв'язано задачу про побудову функцій деякого функціонального класу за даним коливанням, а також наведено методику застосування топологічних ігор з метою вивчення зв'язків між сукупною та нарізною неперервністю. Охарактеризовано коливання нарізно неперервних функцій багатьох змінних на добутках матризованих просторів; описано коливання функцій першого та другого класів Бера й квазінеперервних функцій, визначених на просторах досить загальної природи, зокрема, на матризованих просторах. Отримано теореми про сукупну неперервність нарізно неперервних і подібних до них функцій багатьох змінних на графіках багатозначних відображень, які узагальнюють теореми Наміоки, Талаграна, Гансела - Труалліка та інших авторів і з їх допомогою встановлено нові аналоги теореми Елліса. Побудовано приклад нарізно неперервних скрізь розривної функції на добутку берівського та зліченно компактного просторів.

Вивчено алгебри, асоційовані з графами Динкіна та розширеними графами Динкіна. Знайдено такі необхідні та достатні умови на спектральні характеристики самоспряженого оператора, щоб його можна було зобразити як самоспряжений полліном від двох проектів. Наведено спектральні теореми для *-зображень алгебр <$EP sub {n,~ roman com } ,~P sub {n,~ alpha },~P sub { n,~ roman abo,~ alpha }> та <$EP sub {n,~ roman {abo, com }}>. Описано множини параметрів, за яких існують *-зображення алгебр <$EP sub { roman Г , chi }>, <$EP sub { roman Г , chi , roman com }>, <$EP sub { roman Г , chi , roman abo }> та <$EP sub { roman Г , chi , roman {abo,~com }}>, асоційованих з графами Динкіна <$EA sub n ~(n~ symbol У ~1)>, <$ED sub n ~(n~ symbol У ~4)>, <$EE sub 6 ,~E sub 7> та <$EE sub 8>. Доведено відповідні спектральні теореми. Описано невироджені та <$EDELTA>-невироджені *-зображення алгебр <$EP sub { roman Г , chi }>, <$EP sub { roman Г , chi , roman com }>, <$EP sub { roman Г , chi , roman abo }> та <$EP sub { roman Г , chi , roman {abo,~com }}>, асоційованих з графами Динкіна <$EA sub n ~(n~ symbol У ~1)>, <$ED sub n ~(n~ symbol У ~4)>, <$EE sub 6 ,~E sub 7> та <$EE sub 8>. Описано множини параметрів, за яких існують *-зображення алгебр <$EP sub { roman Г , chi }>, <$EP sub { roman Г , chi , roman com }>, <$EP sub { roman Г , chi , roman abo }> та <$EP sub { roman Г , chi , roman {abo,~com }}>, асоційованих з розширеними графами <$ED tilde sub n ~(n~ symbol У ~4),~E tilde sub 6 ,~E tilde sub 7 ,~E tilde sub 8> для деяких фіксованих характерів <$Echi>. Доведено відповідні спектральні теореми.

Досліджено розкладність і корозкладність груп та однорідних просторів відносно родин підмножин, визначених алгебричними та тополого-алгебричними умовами. Для широкого класу абелевих груп вказано або оцінено індекси корозкладності відносно родини {g+X+X, де g - довільний елемент групи G, X - її нескінченна підмножина}. Вказані індекси розкладності абелевих груп відносно родин <$ESIGMA sub { roman n } >(G), <$ESIGMA sub inf >(G), {g+H: <$Eroman {g~ symbol <174> ~G}>, H є нескінченною підгрупою G}. Доведено <$Eomega>-розкладність вільної групи відносно родини топологій з неперервними зсувами та неперервним відображенням <$Eroman {x~ symbol О ~x sup m }>, <$Eroman {m~ symbol <174> ~Z,~ symbol Э m symbol Э ~>>~1}>. За певних припущень доведено максимальну розкладність однорідного простору відносно родини великих підмножин.

Проведено (асоціативну) бінарну операцію, задану на дискретному просторі S , до (асоціативної) правотопологічної операції на просторі гіперпросторів включення G ( S ) та його підпросторах і вивчено її взаємозв'язок з гратковою структурою простору G ( S ). Описано мінімальні (ліві) ідеали, топологічні й алгебричні центри, скоротні справа (зліва) елементи, праві (ліві) нулі, комутативність напівгруп гіперпросторів включення та максимальних зчеплених систем. Одержано дуальну характеризацію гіперпросторів включення зі скінченними носіями. Вивчено самозачеплені множини в групах та обчислено їх мінімальну потужність для деяких груп. Наведено методи теорії груп та напівгруп, теорії категорій, функторів і монад, загальні теоретико-множинні, комбінаторні та тополого-алгебраїчні методи.

  Скачати повний текст

Індекс рубрикатора НБУВ: В152.81,0

Рубрики:

Топологічні групи

Шифр НБУВ: РА366256 Пошук видання у каталогах НБУВ 

Дисертацію присвячено дослідженню категорних властивостей функціональних просторів. Розв'язано задачі існування функторіальних топологій і функторіальних диференційованих структур із заданими властивостями на функціональних просторах. Встановлено загальні критерії існування продовження контраваріантних функторів на категорії Клейслі та підняття контраваріантних функторів на категорії Ейленберга-Мура монад у термінах існування природних перетворень спеціального вигляду. Ці критерії застосовано до контраваріантного функтора просторів неперервних функцій в топології поточкової збіжності та його трансфінітних ітерацій для різних монад в категоріях тихоновських просторів.

Побудовано теорію звичайних і квантових гіпергруп. На локально компактні гіпергрупи перенесено основні теореми гармонічного аналізу для локально компактних груп. Розроблено спектральну теорію ортогональних поліномів кількох змінних. Описано інфінітезимальні об'єкти до гіпергруп, побудовані з груп Лі за допомогою конструкції унітальних орбітальних морфізмів. На одновимірні гіпергрупи перенесено теорію Лі. Запропоновано метод побудови квантових гіпергруп за допомогою умовних сподівань на квантових групах і побудовано кілька серій нових прикладів нетривіальних квантових гіпергруп. Для узгодженої пари груп Лі одержано явну формулу для знаходження пари циклів за допомогою пари коциклів на відповідній парі узгоджених алгебр Лі та побудовано нові приклади локально компактних квантових груп.

Досліджено ізоморфізми вільних топологічних і паратопологічних груп. Як було встановлено М.І.Граєвим, два негомеоморфні простори можуть мати топологічно ізоморфні вільні топологічні групи. У 1980-х рр. представниками школи професора О.А.Архангельського зроблено значний поступ у вивченні поняття М-еквівалентності. Розвинуто метод "паралельних ретрактів" О.Г.Окунєва, зокрема, запропоновано метод "ортогональних ретрактів" для побудови М-еквівалентних просторів. Проведено дослідження поняття М-еквівалентності відображень. Зокрема, запропоновано нові методи побудови таких відображень. Наведено перелік властивостей відображень, що не зберігаються відношенням М-еквівалентності. Для абелевого випадку наведено класифікацію відображень, що мають праві обернені. У науковий обіг введено поняття М-еквівалентності пар топологічних просторів, наведено опис М-еквівалентності пар у термінах М-еквівалентності відображень. Проведено дослідження тополого-алгебраїчних властивостей вільних (абелевих) паратопологічних груп і вказано на можливість або неможливість перенесення раніше встановлених результатів, що стосуються поняття М-еквівалентності, на випадок вільних паратопологічних груп. Наведено перелік функторів-рефлексій, що зберігають ізоморфізми вільних (абелевих) паратопологічних груп і вільних однорідних просторів. Показано можливість використання теоретичних результатів наукового дослідження у топологічній алгебрі, загальній топології та функціональному аналізі.

Із використанням добутку бікомплексних чисел показано, що гіперквадрика М у <$E {bold roman R} sub 2 sup 4> є групою Лі. Для досягнення мети модифіковано означення тензорного добутку. Новий тензорний добуток означено шляхом розгляду поверхні тензорного добутку в гіперквадриці М. За допомогою цього нового добутку класифіковано тотально дійсні поверхні тензорною добутку та комплексні поверхні тензорного добутку плоскої кривої Лоренца та евклідової плоскої кривої. За допомогою поверхонь тензорного добутку плоскої кривої Лоренца та евклідової плоскої кривої одержано спеціальну підгрупу групи Лі М. Таким чином, одержано структуру групи Лі для поверхонь тензорного добутку плоскої кривої Лоренца та евклідової плоскої кривої. Крім того, одержано лівоінваріантні векторні поля цих груп Лі. Розглянуто лівоінваріантні векторні поля на цих групах, які утворюють псевдоермітову структуру. Це надає змогу охарактеризувати групи Лі як тотально дійсні або скісні в <$E {bold roman R} sub 2 sup 4>.

Доведено, що в напівгрупах монотонних функцій на множинах натуральних та цілих чисел не існує незвідних систем твірних. В напівгрупах коскіченних монотонних функцій на множинах натуральних і цілих чисел описано незвідні системи твірних. Побудовано зображення цих напівгруп через твірні та визначальні співвідношення. У напівгрупах всіх монотонних та у напівгрупах коскінченних монотонних функцій на множинах натуральних та цілих чисел знайдено групи автоморфізмів. Описано відношення спряженості та централізатори елементів з точністю до ізоморфізму у напівгрупі коскінченних монотонних функцій на множині натуральних чисел. Знайдено достатні умови, за яких замкнена піднапівгрупи напівгрупи всіх перетворень множини натуральних чисел буде майже вільною. Доведено майже вільність напівгрупи всіх перетворень множини натуральних чисел, її піднапівгруп монотонних функцій та ін'єктивних фукнцій.

Досліджено аналітичні функції на скінченних і нескінченних декартових добутках банахового простору з симетричним базисом, які є інваріантними відносно дії деякої природної підгрупи групи ізометрій. Описано алгебричний базис алгебри блочо-симетричних поліномів на нескінченних ℓ₁-сумах копій банахового простору. Описано алгебричні залежності між твірними елементами у скінченновимірному випадку. Доведено аналог теореми Гільберта про нулі для ідеалів породжених блочно-симетричними поліномами. Встановлено аналог формули Мартіна за допомогою оператора симетричного зсуву. Встановлено аналог формули Ньютона для відповідних систем твірних алгебри блочно-симетричних поліномів. Описано спектр алгебри блочно-симетричних аналітичних функцій обмеженого типу на ℓ₁-сумі простору ℂ² за допомогою функцій експоненціального типу двох комплексних змінних.

Вивчено вільні й універсальні об'єкти у різних категоріях топологічних інверсних напівгруп. Побудовано універсальні об'єкти в різних класах компактних кліфордових топологічних інверсних напівгруп. Знайдено умови існування субінваріантних метрик на кліфордових топологічних інверсних напівгрупах. Подано характеризацію компактних кліфордових топологічних напівгруп, що вкладаються в гіпернапівгрупи або в згорткові напівгрупи мір на топологічних групах. Досліджено структуру вільних об'єктів у різноманітних категоріях кліфордових топологічних інверсних напівгруп. Доведено теорему про збереження замкнених вкладень вільними універсальними алгебрами довільної неперервної сигнатури. Доведено, що конструкція вільної універсальної алгебри дискретної сигнатури зберігає абсолютні околові ретракти в класі субметризованих k_ω-просторів. Знайдено умови на топологічний простір X, за яких його вільні топологічні інверсні напівгрупи F_K(X) у різних класах К топологічних інверсних напівгруп є нескінченно-вимірними многовидами.

Установлено взаємозв'язки між груповими топологіями та топологіями паратопологічної групи на групі. Досліджено кардинальні інваріанти паратопологічних та напівтопологічних груп. Одержано достатні умови, за яких паратопологічна група є топологічною. Побудовано приклади, які вказують на необхідність цих умов для певних класів топологічних просторів. Доведено, що довільна локально компактна паратопологічна група є топологічною групою. Побудовано берівську цілком регулярну напівтопологічну групу зі зліченним характером, яка не є паратопологічною. Запропоновано приклад паратопологічної групи з нульововимірною гаусдорфовою топологією, яка не може бути послабена до гаусдорфової групової.

Досліджено супералгебри Лейбница. У рамках досліджень побудовано аналог теорії - систему випадку, коли є супералгеброю Лейбница. Вивчено абелеві розширення супералгебр Лейбница. За допомогою вперше введених понять мультимодуля і мультикомплекса досліджено супералгебри Намбу в зв'язку з теорією - систем. Введено нові серії дужок Пуассона на диференціальних формах, диференціальних формах з векторними значеннями, мультивекторних полях за допомогою гамільтонових елементів. Знайдено нові приклади супералгебр Намбу - узагальнені якобіани. Описано важливий клас гамільтонових елементів у формальному варіаційному численні.

Побудовано теорію локальних лівотопологічних груп. Доведено, що у напівгрупі beta N не існує неодноелементних скінченних підгруп. Описано скінченні напівгрупи ультрафільтрів зліченних топологічних груп. Побудовано розбиття довільної абелевої групи зі скінченним числом елементів порядку 2 на дві підмножини, що не містять суміжних класів у нескінченних підгрупах. Доведено, що екстремально незв'язну топологічну групу, яка містить зліченну дискретну незамкнену підмножину, без додаткових теоретико-множинних припущень побудувати неможливо. Класифіковано простори зліченних топологічних груп, топологія яких визначається компактними підмножинами. Доведено, що у всіх зліченних абелевих групах і полях існують нескінченні топологічно вільні підмножини.

Досліджено властивості нескінченних топологічних напівгруп матричних одиниць та топологічних <$Elambda>-розширень Брандта топологічних напівгруп. Описано усі псевдо-компактні топології T на нескінченній напівгрупі матричних одиниць <$EB sub lambda> такі, що (<$EB sub lambda ,~T> ) є напівтопологічною напівгрупою. Доведено, що на нескінченній напівгрупі матричних одиниць <$EB sub lambda> не існує напівгрупової топології T, такої, що (<$EB sub lambda ,~T>) занурюється у компактну топологічну напівгрупу. Доведено, що нескінченна напівгрупа матричних одиниць є алгебрично h-замкненою в класі топологічних інверсних напівгруп. Побудовано напівгрупові абсолютно H-замкнені мінімальні та мінімальні інверсні гаусдорфові топології на нескінченній напівгрупі матричних одиниць. Описано структуру компактних 0-простих топологічних інверсних напівгруп. Розглянуто компактифікації Бора нескінченної напівгрупи матричних одиниць та топологічних <$Elambda>-розширень Брандта топологічних напівгруп для нескінченного кардинала <$Elambda>. Доведено, що топологічна інверсна напівгрупа S є (абсолютно) H-замкненою в класі топологічних інверсних напівгруп лише тоді, коли для кожного кардинала <$Elambda ~ symbol У ~2> довільне її топологічне <$Elambda>-розширення Брандта є (абсолютно) H-замкненою напівгрупою в класі топологічних інверсних напівгруп. Для довільного нескінченного кардинала <$Elambda> побудовано напівгрупові топології на <$Elambda>-розширеннях Брандта топологічних напівгруп, що зберігають H-замкненість та абсолютну H-замкненість.

  Скачати повний текст

Індекс рубрикатора НБУВ: В152.391,0 + В152.81,0

Рубрики:

Півгрупи

Топологічні групи

Шифр НБУВ: РА349969 Пошук видання у каталогах НБУВ 

Изложен новый метод исследования нестационарных систем линейных дифференциальных уравнений - хронологическое матричное исчисление, основы которого были заложены в работах А.А.Аграчева и Р.В.Гамкрелидзе. Рассмотрены вопросы группы и алгебры Ли и их связь с нестационарными системами линейных дифференциальных уравнений, потоки и их представления в виде левой и правой хронологических экспонент, формулы вариации постоянной для хронологических экспонент, левый и правый хронологические логарифмы. Освещены особенности декомпозиции потоков для разрешимых алгебр Ли, построения асимптотических решений с указанием явных формул для всех поправок, исследования управляемости и оптимальности нестационарных матричных систем управления.

Індекс рубрикатора НБУВ: В152.8,0 + В182.4,0

Рубрики:

Топологічна алгебра

Алгебраїчна і гомотопічна топологія

Шифр НБУВ: ІВ209088 Пошук видання у каталогах НБУВ 

На підставі теорії груп Лі отримано автомодельні змінні, функції і диференціальні рівняння, в тому числі загальне рівняння Блазіуса. Доведено, що форма загального звичайного диференціального рівняння визначається вибором параметричної змінної. Внаслідок використання властивості симетрії, загальне рівняння Блазіуса було редуковано до рівняння першого порядку, а також отримано два нових автомодельних розв'язки рівнянь Прандтля. Простежено засіб трансформації однопараметричної алгебри Лі рівнянь Прандтля, що містять чотири підалгебри, до алгебри Прандтля з трьома підалгебрами, одна з яких є двопараметричною.