Приведено решение задачи Колмогорова - Никольского для интегралов Пауссона непрерывных функций, а также рассмотрены неравенства Лебега для интегралов Пуассона, приближение суммами Фурье и наилучшие приближения на классах аналитических функций.

Приведены описания публикаций по непрерывным дробям, сведения о публикациях по ветвящимся непрерывным дробям, в частности Хессенберга. Рассмотрен метод суммирования расходящихся непрерывных дробей. Определены значения рядов и интегралов, бесконечные системы линейных алгебраических уравнений и нули полиномов.

Установлено оцінки зверху наближень узагальненими сильними середніми В. Тотика, застосованими до відхилень середніх Чезаро критичного порядку рядів Фур'є - Лапласа від неперервних функцій. Оцінки подано через рівномірні найкращі наближення неперервних функцій на одиничній сфері.

Узагальнено методи січних площин і Ремеза на випадок задачі найкращого одночасного рівномірного наближення сім'ї неперервних на компакті функцій.

Основні результати дослідження задачі найкращого рівномірного наближення однієї неперервної на компакті функції узагальнено на випадок задачі найкращого одночасного рівномірного наближення сім'ї неперервних на компакті функцій.

Знайдено точне значення величини найкращого лінійного поліноміального наближення одиничної кулі простору Харді <$E H sub p>, <$E 1~symbol Г~p~symbol Г~inf> на концентричних колах <$E roman T sub rho~=~{ z~symbol <174>~roman C :~symbol у z symbol у~=~rho }>, <$E 0~symbol Г~rho~<<~1>, у рівномірній метриці. Побудовано найкращий лінійний метод наближення та доведено єдиність цього методу.

Знайдено точні значення величин найкращого наближення твірного ядра системи <$E p>-фаберових багаточленів функціями простору Харді <$E H sub q ,~p sup -1~+~q sup -1~=~1>, і твірного ядра Сеге простору <$E E sub 2 ( OMEGA )> в однозв'язній області <$E OMEGA> з спрямлюваною межею.

Показано, що константи Лебега - Ландау лінійних методів підсумовування по трикутних областях рядів Тейлора функцій, голоморфних у полікрузі та одиничній кулі з <$E {roman C back 46 roman I} sup m>, не залежать від числа m. На основі цього факту знайдено співвідношення між повним і частинними найкращими наближеннями голоморфних функцій у полікрузі та одиничній кулі з <$E {roman C back 46 roman I} sup m>.

Досліджено питання, пов'язані з наближеннями лінійними методами, а також найкращими наближеннями класів <$E B sub {p,~theta} sup r >, <$E 1~symbol Г~p~symbol Г~inf >, у просторі <$E L sub inf >.

Для класів Соболєва періодичних функцій однієї змінної з обмеженнями в <$E L sub 2 > на старші похідні вказано точні порядки у просторах <$E L sub q > відносних поперечників, які характеризують найкраще наближення фіксованої множини його перерізами заданої розмірності.

Досліджено найкращі наближення синусоподібних функцій константами в <$E L sub p>-просторах за умови <$E p~<<~1>. Зокрема, знайдено найкраще наближення ідеальних сплайнів Ейлера константами у просторах <$E L sub p> за деяких <$E p~symbol <174>~(0,~1)>.

Знайдено точні значення найкращих наближень та поперечників за Колмогоровим q-еліпсоїдів у просторах <$E S sub phi sup { p, mu }>, що визначаються анізотропною метрикою.

Розглянуто методи й алгоритми чебишовської апроксимації функцій, які доцільно застосовувати для розв'язання основних задач аналітичної обробки масивів числових даних. Для побудови найкращих рівномірних наближень функцій однієї змінної лінійними і нелінійними виразами запропоновано алгоритми, які грунтуються на методі послідовних чебишовських інтерполяцій Є. Я. Ремеза. Для деяких алгоритмів наведено оцінки усіх типів похибок. Запропоновано також алгоритми найкращого чебишовського наближення функцій багатьох змінних сумою базисних функцій та кускового рівномірного наближення поліномами. Наведено приклади практичного застосування розроблених алгоритмів для аналітичної обробки даних.

Установлено теореми існування, необхідну і достатню умови та критерії екстремального елемента для задачі найкращої рівномірної апроксимації неперервного компактнозначного відображення множинами неперервних однозначних відображень.

Знайдено точні значення величин найкращого наближення на концентричних колах <$E { bold roman T} sub rho~=~{ z~symbol <174>~bold roman C~:~| z |~=~rho>}, <$E 0~symbol Г~rho~<<~1>, у рівномірній метриці голоморфних функцій класу Бергмана <$E A sub p>, <$E 2~symbol Г~p~symbol Г~inf>, алгебричними багаточленами, які породжуються лінійними методами підсумовування рядів Тейлора. Для випадку, коли <$E 1~symbol Г~p~<<~2>, знайдено точні порядкові оцінки таких величин.