Let <$E B~=~roman diag (b sub 1 sup -1 ,~b sub 2 sup -1 )~symbol Щ~B sup *> be a <$E 2~times~2> diagonal matrix with <$E b sub 1 sup -1~b sub 2~symbol <175>~bold roman R> and let Q be a smooth <$E 2~times~2> matrix function. Consider the system <$E -iBy prime~+~Q(x)y~=~lambda y>, <$E y~=~roman col (y sub 1 ,~y sub 2 )>, <$E x~symbol <174>~[0,~1]>, of ordinary differential equations subject to general linear boundary conditions <$E U sub 1 (y)~=~U sub 2 (y)~=~0>. We find sufficient conditions on Q and <$E U sub j> that guaranty completeness of root vector system of the boundary value problem. Moreover, we indicate a condition on Q that leads to a completeness criterion in terms of the linear boundary forms <$E U sub j ,~j~symbol <174>~left { 1,~2 right }>.

Доведено, що неперервні або мероморфні з малою кількістю полюсів розв'язку алгебричних рівнянь з аналітичними майже періодичними коефіцієнтами теж майже періодичні.

За певних умов на коефіцієнти рівняння Шазі зі сталими коефіцієнтами зведено до лінійного диференціального рівняння другого порядку з шістьома особливими точками. Досліджуючи це рівняння за допомогою похідної Шварца, одержано лінійні рівняння, в яких деякі з особливих точок збігаються. Розглянуто процедуру інтегрування цих рівнянь. Їх загальний розв'язок одержано в явному вигляді.

We study the most general class of linear boundary-value problems for systems of r-th order ordinary differential equations whose solutions range over the complex Holder space <$EC sup {n+r, alpha }>, with <$E0~symbol Г~n~symbol <174>~Z> and <$E0~<<~alpha~symbol Г~1>. We prove a constructive criterion under which the solution to an arbitrary parameter-dependent problem from this class is continuous in <$EC sup {n+r, alpha }> with respect to the parameter. We also prove a two-sided estimate for the degree of convergence of this solution to the solution of the corresponding nonperturbed problem.

We consider the most general class of linear boundary-value problems for ordinary differential systems, of order <$Er~symbol У~1>, whose solutions belong to the complex space <$EC sup (n+r)>, with <$E0~symbol Г~n~symbol <174>~roman bold Z>. The boundary conditions can contain derivatives of order l, with <$Er~symbol г~l~symbol Г~n~+~r>, of the solutions. We obtain a constructive criterion under which the solutions to these problems are continuous with respect to the parameter in the normed space <$EC sup (n+r)>. We also obtain a two-sided estimate for the degree of convergence of these solutions.

Розглянуто проблеми лінійної теорії систем звичайних диференціальних рівнянь, пов'язані з дослідженням інваріантних гіперплощин таких систем, поняттям еквівалентності для вказаних систем та теорією Флоке - Ляпунова для періодичних систем лінійних рівнянь. Зокрема, введено поняття еквівалентності систем лінійних диференціальних рівнянь різних порядків, запропоновано нову формулу вигляду Флоке для періодичних систем, наведено застосування цієї формули для введення амплітудно-фазових координат в околі періодичної траєкторії динамічної системи.

Відомий метод квазілінеаризації розповсюджено на диференціальні рівняння з кусково-постійними відхиленнями аргументів. Метод базується на використанні нижнього та верхнього розв'язків і диференціальних нерівностей. Верхні та нижні послідовності квадратично збігаються до єдиного розв'язку.

Установлены достаточные условия существования квазипериодического решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка с вырожденной симметрической матрицей при производных второго порядка для произвольной квазипериодической неоднородности.

Представлен класс точных решений стационарных осесимметрических уравнений Эйлера в сферических координатах, которые описывают вихревые закрученные течения в пространстве, сфере и сферических слоях. Часть решений получена с помощью метода обобщенного разделения переменных. Решения, описывающие винтовые течения, получены методом, который основан на полуобратном использовании интеграла Бернулли совместно с обобщённым разделением переменных. Для отдельного решения исследованы поля скоростей и давления.

The general positions concerning the stability of systems of differential equations on a contour and circle connected with a certain singular point are presented.

The theorems on stability of differential systems on a contour and a circle connected with singular points are grounded.

Знайдено умови існування та єдиності <$Eomega>-періодичного розв'язку систем <$Elpile { epsilon sup h ~B(t) dx over dt ~=~A(t,~ epsilon )x~+~ symbol Ж (t,~ epsilon )}, ~~ lpile { epsilon sup 2h ~A(t) {d sup 2 x} over {dt sup 2 } ~+~ epsilon sup h ~B(t,~ epsilon ) dx over dt ~+~C(t,~ epsilon )x~=~ symbol Ж (t,~ epsilon )}> та побудови його асимптотики за різних випадків поведінки спектра межових в'язок матриць, а також знайдено умови стійкості розв'язків цих систем. Знайдено умови стійкості вироджених лінійних систем диференціальних рівнянь з періодичними коефіцієнтами у випадку їх звідності до центральної канонічної форми, а також необхідну та достатню умову існування періодичних розв'язків виродженої системи диференціальних рівнянь у критичному випадку. Виведено асимптотичні формули для фундаментальної матриці, матриці монодромії та мультиплікаторів сингулярно збуреної системи першого порядку за різної поведінки спектра межової в'язки матриць. Одержано достатні умови стійкості даної системи й існування в неї єдиного <$Eomega>-періодичного розв'язку. Досліджено питання про існування і єдність <$Eomega>-періодичного розв'язку та стійкість виродженої лінійної системи диференціальних рівнянь другого порядку у випадку простого та кратного спектра межової в'язки матриць. Побудовано асимптотику періодичних розв'язків сингулярно збурених систем диференціальних рівнянь першого та другого порядків з <$Eomega>-періодичними коефіцієнтами за виконання знайдених умов їх існування та єдиності.

The estimations of solutions of the linear non-autonomous systems of ordinary differential equations are offered when the matrix on the right part of the system is quasimonotone, and the terms of stability are got for systems of such a type.

Одержано нові достатні умови асимптотичної стійкості лінійних неперіодичних систем диференціальних рівнянь з кусково-постійними коефіцієнтами.

Установлено нові властивості <$E C sup 1 (0,~+ inf )>-розв'язків лінійного диференціально-функціонального рівняння <$E x dot (t)~=~ax(t)~+~bx(qt)~+~c x dot (qt)> в околі особливої точки <$E t~=~+ inf>.

Доведено, що кожен найпростіший потенціальний закон збереження (тобто закон збереження, що включає один потенціал) будь-якого (1+1)-вимірного лінійного еволюційного рівняння парного порядку індуковано локальним законом збереження цього рівняння. Це твердження також є справедливим для лінійних найпростіших потенціальних законів збереження (1+1)-вимірних лінійних еволюційних рівнянь непарного порядку, пов'язаних з лінійними потенціальними системами. Запропоновано ефективний критерій перевірки, коли квадратичний закон збереження найпростішої лінійної системи є чисто потенціальним законом збереження (1+1)-вимірного лінійного еволюційного рівняння непарного порядку.

Приведены условия бифуркации решений линейных вырожденных нетеровых краевых задач с малым параметром в предположении, что невозмущенная вырожденная дифференциальная система приводится к центральной канонической форме с использованием метода Вишика-Люстерника и аппарата псевдообратных по Муру-Пенроузу матриц предложен алгоритм отыскания семейства линейно независимых решений краевых задач, когда число краевых условий, задаваемых линейным векторним функционалом, не совпадает с числом неизвестных у вырожденной дифференциальной системы.

Одержано умови появи з точки <$E epsilon~=~0> множини обмежених на всій осі R розв'язків слабкозбурених систем лінійних звичайних диференціальних рівнянь у випадку, коли відповідна незбурена однорідна лінійна диференціальна система є експоненціально-дихотомічною на півосях <$E R sub +> та <$E R sub ->. Вказано кількість лінійно незалежних обмежених на R розв'язків і наведено алгоритм їх побудови.

Получены условия бифуркации решений линейных вырожденных нетеровых краевых задач с малым параметром в предположении, что невозмущенная вырожденная дифференциальная система приводится к центральной канонической форме.

An analog of the Levinson theorem for systems of differential equations with impulses and its application for the theory of differential equations are considered.