Знайдено достатні умови неперервної залежності від параметра розв'язків загальних крайових задач для систем лінійних диференціальних рівнянь високих порядків за нормами просторів C^(r-1) на відрізку [a, b]. Одержано достатні умови рівномірної збіжності матриць Гріна загальних крайових задач для систем лінійних диференціальних рівнянь високих порядків на квадраті (a, b) х (a, b). Знайдено достатні умови неперервної залежності від параметра ε розв'язків тотальних щодо просторів C⁽ⁿ⁾ крайових задач для систем лінійних диференціальних рівнянь за нормами просторів C⁽ⁿ⁾ на відрізку [a, b]. Встановлено достатні умови неперервності за параметром ε розв'язків некласичиих багатоточкових крайових задач для систем лінійних диференціальних рівнянь за нормами просторів C⁽ⁿ⁾ і класичних багатоточкових за нормою C^(r-1) на відрізку [a, b]. Одержано достатні умови збіжності функщй Гріна класичних багатоточкових крайових задач на смугах за нормами просторів C⁽ⁿ⁾.

Запропоновано мінімаксний підхід до проблеми оцінювання параметрів одновимірних крайових задач загального вигляду для лінійних звичайних диференціальних рівнянь n-го порядку та систем таких рівнянь першого порядку за неповними даними. Одержано мінімаксні оцінки значень функціоналів від розв'язків, що є наявні, та правих частин рівнянь, що входять до постановки крайових задач, через розв'язки систем інтегро-диференціальних рівнянь спеціального вигляду. Розроблено метод мінімаксного оцінювання параметрів цих крайових задач, розв'язки яких визначені з точністю до функцій, що є розв'язками відповідних однорідних задач, та існують лише тоді, коли праві частини рівнянь і межових умов, які входять до постановки задач, задовольняють певні умови сумісності.

  Скачати повний текст

Індекс рубрикатора НБУВ: В161.611,0

Рубрики:

Лінійні звичайні диференціальні рівняння та системи

Шифр НБУВ: РА349299 Пошук видання у каталогах НБУВ 

Досліджено неперервність за параметром <$Eepsilon> розв'язків найбільш загальних крайових задач для систем лінійних диференціальних рівнянь і відповідних їм мариць Гріна у нормах просторів C або С.Л. Соболєва <$EW sub 1,1>, на відрізку [a, b] чи <$EL sub inf> на квадраті [a, b] <$Etimes> [a, b] відповідно. Знайдено нові достатні умови збіжності загальних крайових задач для систем диференціальних рівнянь за нормою простору C на відрізку [a, b] і відповідних їм матриць Гріна за нормою простору <$EL sub inf> на квадраті [a, b] <$Etimes> [a, b]. Введено новий клас крайових задач - тотальні крайові задачі, що є ширшим, ніж клас загальних крайових задач. Знайдено достатні умови неперервної залежності від параметра <$Eepsilon> розв'язків і матриць Гріна тотальних крайових задач для систем диференціальних рівнянь у нормах просторів <$EW sub 1,1> на відрізку [a, b] та <$EL sub inf> на квадраті [a, b] <$Etimes> [a, b] відповідно. Одержані результати застосовано для дослідження неперервності за параметром <$Eepsilon> розв'язків і функцій Гріна крайових задач для скалярних лінійних диференціальних рівнянь високого порядку.

  Скачати повний текст

Індекс рубрикатора НБУВ: В161.611.3

Рубрики:

Системи лінійних диференціальних рівнянь

Шифр НБУВ: РА363697 Пошук видання у каталогах НБУВ 

Приведены условия бифуркации решений линейных вырожденных нетеровых краевых задач с малым параметром в предположении, что невозмущенная вырожденная дифференциальная система приводится к центральной канонической форме с использованием метода Вишика-Люстерника и аппарата псевдообратных по Муру-Пенроузу матриц предложен алгоритм отыскания семейства линейно независимых решений краевых задач, когда число краевых условий, задаваемых линейным векторним функционалом, не совпадает с числом неизвестных у вырожденной дифференциальной системы.

Знайдено умови існування та єдиності <$Eomega>-періодичного розв'язку систем <$Elpile { epsilon sup h ~B(t) dx over dt ~=~A(t,~ epsilon )x~+~ symbol Ж (t,~ epsilon )}, ~~ lpile { epsilon sup 2h ~A(t) {d sup 2 x} over {dt sup 2 } ~+~ epsilon sup h ~B(t,~ epsilon ) dx over dt ~+~C(t,~ epsilon )x~=~ symbol Ж (t,~ epsilon )}> та побудови його асимптотики за різних випадків поведінки спектра межових в'язок матриць, а також знайдено умови стійкості розв'язків цих систем. Знайдено умови стійкості вироджених лінійних систем диференціальних рівнянь з періодичними коефіцієнтами у випадку їх звідності до центральної канонічної форми, а також необхідну та достатню умову існування періодичних розв'язків виродженої системи диференціальних рівнянь у критичному випадку. Виведено асимптотичні формули для фундаментальної матриці, матриці монодромії та мультиплікаторів сингулярно збуреної системи першого порядку за різної поведінки спектра межової в'язки матриць. Одержано достатні умови стійкості даної системи й існування в неї єдиного <$Eomega>-періодичного розв'язку. Досліджено питання про існування і єдність <$Eomega>-періодичного розв'язку та стійкість виродженої лінійної системи диференціальних рівнянь другого порядку у випадку простого та кратного спектра межової в'язки матриць. Побудовано асимптотику періодичних розв'язків сингулярно збурених систем диференціальних рівнянь першого та другого порядків з <$Eomega>-періодичними коефіцієнтами за виконання знайдених умов їх існування та єдиності.

Вивчено зв'язок між властивостями мероморфних коефіцієнтів лінійного диференціального рівняння другого порядку та властивостями меро- і голоморфних розв'язків цього рівняння та породжених ним крайових задач. Знайдено класи, яким може належати голоморфний розв'язок рівняння <$Esymbol Ж symbol Т ~+~a sub 0 symbol Ж ~=~0> з мероморфним коефіцієнтом з полюсами другого порядку або без полюсів, коли послідовність його нулів задовольняє умову Бляшке, а прості нулі утворюють інтерполярну підпослідовність. Досліджено умови, за яких лінійне диференціальне рівняння другого порядку з мероморфними коефіцієнтами має голоморфні й обмежені в одиничному крузі розв'язки. З'ясовано апроксимаційні властивості функцій Бесселя першого роду з індексами -3/2 і -5/2 і побудовано деякі крайові задачі, власні функції яких пов'язані з цими функціями.

На базі метричного підходу досліджено задачі з багатоточковими умовами за виділеною змінною t для лінійного еліптичного рівняння четвертого порядку в прямокутній області з крайовими двоточковими умовами за змінною x, для лінійних гіперболічних і безтипних рівнянь високого порядку зі сталими коефіцієнтами у класі функцій, 2pi - періодичних за просторовими змінними, для лінійних гіперболічних і безтипних рівнянь та систем рівнянь і слабконелінійних інтегро-диференціальних рівнянь зі змінними за x₁,..., x_p коефіцієнтами у довільній обмеженій циліндричній області з певними крайовими умовами на її бічній поверхні, для слабконелінійних гіперболічних рівнянь зі сталими в лінійній частині оператора коефіцієнтами. Отримано явні формули для розв'язків лінійних задач у вигляді рядів за системами ортогональних функцій, а для нелінійних випадків вказано як знайти розв'язки методом послідовних наближень. Доведено нові метричні теореми про оцінки знизу малих знаменників, які виникають у розглядуваних задачах.

Вивчено дисипативні системи розсіяння з <$Epi sub kappa>-просторами станів та їх передавальні функції. Доведено теореми про належність передавальних функцій даних систем до узагальнених класів Щура, зокрема, рівність кількості від'ємних квадратів передавальної функції мінімальної системи з від'ємним індексом простору станів. Досліджено, що будь-яку голоморфну у точці z = 0 функцію узагальненого класу Щура можна реалізувати як передавальну функцію мінімальних оптимальної та *-оптимальної систем. Зазначено, що одержані результати застосовані для дослідження множини самоспряжених обернених розв'язків з невід'ємним, окрім <$Ekappa> власних значень, спектром для узагальнених операторних нерівностей Калмана - Якубовича - Попова та Ріккаті. Встановлено двосторонній зв'язок між одержаними результатами про дисипативні системи розсіяння з <$Epi sub kappa>-просторами станів та розв'язками аналітичної задачі вкладення функції класу <$ES sub kappa>(U,Y).

  Скачати повний текст

Індекс рубрикатора НБУВ: В161.611.3 + В162.41

Рубрики:

Системи лінійних диференціальних рівнянь

Спектральний аналіз самоспряжених і унітарних операторів

Шифр НБУВ: РА323133 Пошук видання у каталогах НБУВ 

Досліджено дискретно-неперервні крайові задачі для векторних квазідиференціальних рівнянь довільного скінченного порядку з коефіцієнтами-мірами та правими частинами - узагальненими похідними високих порядків від функцій обмеженої варіації. Використано методику, що базується на зведенні даних задач (за допомогою відомої ідеї введення квазіпохідних) до коректних систем лінійних диференціальних рівнянь першого порядку з мірами. Доведено, що застосування даного підходу дало можливість встановити спектральні властивості задач на власні значення, одержати зображення розв'язків неоднорідних крайових задач в інтегральній формі (за допомогою конструктивно побудованої матриці Гріна) та у формі Шмідта, довести теореми про розвинення вектор-функції у ряд Фур'є за певною ортонормованою системою власних векторів на скінченному проміжку, побудувати формули обернення та рівність Парсеваля, що відповідають теоремі про розклад для напівнескінченного інтервалу. Узагальнено теорію граничних точки та кута Вейля на випадок систем диференціальних рівнянь першого порядку та квазідиференціальних рівнянь довільного скінченного порядку з мірами у коефіцієнтах. Встановлено двосторонні оцінки для розмірності лінійного многовиду розв'язків з "інтегральним квадратом" на інтервалі [<$Ea~ inf>).

Одержано рекурентну формулу для коефіцієнтів степеневого розвинення цілого розв'язку узагальненого рівняння С. Шаха. У випадку, коли рекурентна формула зводиться до одночленної, вказано умови на параметри узагальненого рівняння С. Шаха, за яких функція та її похідні є опуклими або близькими до опуклих в одиничному крузі D функціями, вивчено зростання таких розв'язків. Встановлено умови, за яких існує цілий розв'язок узагальненого рівняння С. Шаха з двочленною рекурентною формулою для сусідніх тейлорових коефіцієнтів, який є опуклою чи близькою до опуклої в D функцією, та вивчено зростання цього розв'язку. У випадку n-членної рекурентної формули для тейлорових коефіцієнтів аналітичної в D функції встановлено достатні умови опуклості та близькості до опуклості. Одержані результати застосовано для дослідження властивостей цілих розв'язків лінійних диференціальних рівнянь третього порядку з поліноміальними коефіцієнтами третього степеня.

Досліджено межу за параметром у рівномірній нормі розв'язків загальних крайових задач для систем лінійних звичайних диференціальних рівнянь першого порядку. Одержано узагальнення теореми І. Т. Кігурадзе (1987) щодо таких задач. Воно максимально послаблює умови на асимптотичну поведінку коефіцієнтів систем. Знайдено достатні умови рівномірної збіжності матриць Гріна до матриці Гріна граничної крайової задачі.

Дослідження присвячено побудові асимптотичних розв'язків крайової задачі для лінійної сингулярно збуреної системи диференціальних рівнянь вигляду Mx(0, ε) + Nx(T, ε) = d(ε), у випадку, коли матриця B(t, ε) за похідної вироджується з прямуванням малого параметра до нуля, залишаючись невиродженою за є ε > 0, і у випадку повного виродження, коли B(t, ε) = B(t) і detB(t) ≡ 0. Виходячи з теорії асимптотичного інтегрування сингулярно збурених систем диференціальних рівнянь з виродженнями, розробленої у працях А. М. Самойленка, М. І. Шкіля, В. П. Яковця, і методів аналізу нетерових крайових задач О. А. Бойчука, запропоновано метод побудови асимптотичних розв'язків даної крайової задачі, який базується на ідеї її зведення до фредгольмової або нетерової завдяки нехтуванню експоненціально малими доданками за відповідних крайових умов. Розроблено алгоритм побудови асимптотики відповідних розв'язків у випадках простого та кратного спектра граничної в'язки матриць A(t, 0) - λB₀(t). У кожному із розглянутих випадків знайдено умови існування й єдиності розв'язку даної крайової задачі, а також умови, за виконання яких вона має багатопараметричну сім'ю розв'язків. Виведено асимптотичні оцінки для побудованих розв'язків, розроблено алгоритм знаходження коефіцієнтів відповідних асимптотичних розвинень у явному вигляді. Досліджено особливості побудови розв'язків у стійкому та напівстійкому випадках.

Досліджено умови неперервності за параметром розв'язків найбільш загальних щодо просторів W_pⁿ крайових задач для систем лінійних диференціальних рівнянь у нормах просторів С або С. Л. Соболева W_pⁿ, n ∊ ℕ, 1 ≤ p < ∞ на інтервалі (а, b) та відповідних їм матриць Гріна за нормами просторів на квадраті (а, b) х (а, b). Знайдено нові достатні умови збіжності розв’язків багатоточкових крайових задач для систем диференціальних рівнянь за рівномірною нормою та нормами соболєвських просторів W_pⁿ на відрізку (a, b) та відповідних їм матриць Гріна за нормами просторів W_pⁿ на певних підмножинах квадрата (а, b) х (а, b). Введено нові класи крайових задач - тотальні щодо просторів W_pⁿ крайові задачі, що містять як свою частину загальні крайові задачі. Знайдено достатні умови неперервної залежності від параметра ε розв'язків та матриць Гріна тотальних крайових задач для систем диференціальних рівнянь щодо двопараметричної сім’ї норм просторів W_pⁿ, n ∊ ℕ, 1 ≤ р < ∞ на інтервалі (а, b) та L_q на квадраті (а, b) х (а, b) відповідно. Визначено достатні умови рівномірної збіжності матриць Гріна загальних крайових задач до матриці Гріна граничної крайової задачі. Отримані результати застосовано в дослідженні неперервності за параметром ε розв'язків та функцій Гріна найбільш загальних крайових задач для скалярних лінійних диференціальних рівнянь високого порядку.

Вперше побудовано трикутні оператори перетворення для систем звичайних диференціальних рівнянь. Одержано теореми про єдиність визначення потенціальної матриці системи за матрицею монодромії та частиною стовпців матриці монодромії. Вперше знайдено необхідні та достатні умови повноти системи власних і приєднаних функцій крайових задач для систем звичайних диференціальних рівнянь. Розв'язано обернену задачу за спектральною матрицею - функцією для самоспряжених систем звичайних диференціальних рівнянь на півосі. Визначено теорему про однозначне визначення звичайного диференціального рівняння довільного порядку з аналітичними матричними коефіцієнтами за одним матричним стовпцем чи рядком матриці монодромії. Доведено теорему про необхідні умови існування трикутного оператора перетворення для звичайних диференціальних рівнянь вищих порядків.

Доведено необхідну та достатню умови розв'язаності виродженої лінійної неоднорідної нетерової крайової задачі для систем звичайних диференціальних рівнянь (СЗДР). Встановлено умови біфуркації розв'язків слабкозбуреної виродженої лінійної крайової задачі для СЗДР за припущення, що породжувальна задача не має розв'язків за довільних неоднорідностей. Одержано необхідну та достатню умови існування розв'язків слабконелінійних вироджених СЗДР з нетеровою лінійною частиною в критичному випадку та досліджено зв'язок між необхідною та достатньою умовами. Запропоновано ітераційний алгоритм побудови розв'язків слабконелінійних вироджених СЗДР.

Розвинено ідеї методу інтегральних многовидів М.М. Боголюбова щодо лінійних диференціальних рівнянь.

Розвинено ідеї методу інтегральних многовидів М.М. Боголюбова стосовно лінійних диференціальних рівнянь. Зроблено окремі зауваження до тверджень і теореми. Зокрема, перше з них стосується формули, яка визначає матрицю Н. З доведення теореми випливає, що Н не завжди визначається однозначно. Ця неоднозначність пов'язана з умовою розбиття дійсної канонічної форми матриці Х (Т) на блоки А і В, згідно з якою матриця В може бути блоком жорданової форми матриці Х (Т), утвореним всіма її жордановими клітинами, що відповідають її від'ємним власним значенням і блоком цієї форми, утвореним з визначеного вище блоку вилученням довільного числа пар однакових жорданових клітин.

Розглянуто питання існування квадратичної форми з постійними коефіцієнтами, умови регулярності на осі лінійних канонічних систем. Описано властивості множин функцій Ляпунова, зображених в інтегральному вигляді.

Рассмотрены вопросы существования квадратической формы с постоянными коэффициентами, условия регулярности на оси линейных канонических систем. Описаны свойства множеств функций Ляпунова, изображенных в интегральном виде.

Изложен новый метод исследования нестационарных систем линейных дифференциальных уравнений - хронологическое матричное исчисление, основы которого были заложены в работах А.А.Аграчева и Р.В.Гамкрелидзе. Рассмотрены вопросы группы и алгебры Ли и их связь с нестационарными системами линейных дифференциальных уравнений, потоки и их представления в виде левой и правой хронологических экспонент, формулы вариации постоянной для хронологических экспонент, левый и правый хронологические логарифмы. Освещены особенности декомпозиции потоков для разрешимых алгебр Ли, построения асимптотических решений с указанием явных формул для всех поправок, исследования управляемости и оптимальности нестационарных матричных систем управления.

Викладено систематичну теорію асимптотичного інтегрування лінійних сингулярно збурених систем диференціальних рівнянь. Основну увагу приділено системам з виродженою матрицею за наявності похідних. Розглянуто елементи загальної теорії вироджених лінійних систем, системи з періодичними коефіцієнтами, системи першого та вищих порядків. Як основні методи дослідження використано техніку узагальненого обернення матриць, метод діаграм Ньютона, методи теорії збурень лінійних операторів. Значне місце відведено розробці алгоритмів дослідження та обгрунтуванню асимптотичних методів.