We consider the most general class of linear boundary-value problems for ordinary differential systems, of order <$Er~symbol У~1>, whose solutions belong to the complex space <$EC sup (n+r)>, with <$E0~symbol Г~n~symbol <174>~roman bold Z>. The boundary conditions can contain derivatives of order l, with <$Er~symbol г~l~symbol Г~n~+~r>, of the solutions. We obtain a constructive criterion under which the solutions to these problems are continuous with respect to the parameter in the normed space <$EC sup (n+r)>. We also obtain a two-sided estimate for the degree of convergence of these solutions.

Відомий метод квазілінеаризації розповсюджено на диференціальні рівняння з кусково-постійними відхиленнями аргументів. Метод базується на використанні нижнього та верхнього розв'язків і диференціальних нерівностей. Верхні та нижні послідовності квадратично збігаються до єдиного розв'язку.

За певних умов на коефіцієнти рівняння Шазі зі сталими коефіцієнтами зведено до лінійного диференціального рівняння другого порядку з шістьома особливими точками. Досліджуючи це рівняння за допомогою похідної Шварца, одержано лінійні рівняння, в яких деякі з особливих точок збігаються. Розглянуто процедуру інтегрування цих рівнянь. Їх загальний розв'язок одержано в явному вигляді.

Let <$E B~=~roman diag (b sub 1 sup -1 ,~b sub 2 sup -1 )~symbol Щ~B sup *> be a <$E 2~times~2> diagonal matrix with <$E b sub 1 sup -1~b sub 2~symbol <175>~bold roman R> and let Q be a smooth <$E 2~times~2> matrix function. Consider the system <$E -iBy prime~+~Q(x)y~=~lambda y>, <$E y~=~roman col (y sub 1 ,~y sub 2 )>, <$E x~symbol <174>~[0,~1]>, of ordinary differential equations subject to general linear boundary conditions <$E U sub 1 (y)~=~U sub 2 (y)~=~0>. We find sufficient conditions on Q and <$E U sub j> that guaranty completeness of root vector system of the boundary value problem. Moreover, we indicate a condition on Q that leads to a completeness criterion in terms of the linear boundary forms <$E U sub j ,~j~symbol <174>~left { 1,~2 right }>.

We study the most general class of linear boundary-value problems for systems of r-th order ordinary differential equations whose solutions range over the complex Holder space <$EC sup {n+r, alpha }>, with <$E0~symbol Г~n~symbol <174>~Z> and <$E0~<<~alpha~symbol Г~1>. We prove a constructive criterion under which the solution to an arbitrary parameter-dependent problem from this class is continuous in <$EC sup {n+r, alpha }> with respect to the parameter. We also prove a two-sided estimate for the degree of convergence of this solution to the solution of the corresponding nonperturbed problem.

Доведено, що неперервні або мероморфні з малою кількістю полюсів розв'язку алгебричних рівнянь з аналітичними майже періодичними коефіцієнтами теж майже періодичні.

Розглянуто проблеми лінійної теорії систем звичайних диференціальних рівнянь, пов'язані з дослідженням інваріантних гіперплощин таких систем, поняттям еквівалентності для вказаних систем та теорією Флоке - Ляпунова для періодичних систем лінійних рівнянь. Зокрема, введено поняття еквівалентності систем лінійних диференціальних рівнянь різних порядків, запропоновано нову формулу вигляду Флоке для періодичних систем, наведено застосування цієї формули для введення амплітудно-фазових координат в околі періодичної траєкторії динамічної системи.

Рассмотрен вопрос существования асимптотически устойчивого тороидального множества для системы линейных дифференциальных уравнений, определенных на m-измеримом торе. Установлены условия, при которых нелинейная система дифференциальных уравнений имеет инвариантное тороидальное многообразие.

Для лінійних сингулярно збурених систем звичайних диференціальних рівнянь побудовано асимптотичне розвинення розв'язку за допомогою методу примежових функций. За допомогою псевдообернених матриць і проекторів визначено всі члени асимптотичного розвинення у некритичному випадку.

Рассмотрена сингулярно возмущенная линейная система дифференциальных уравнений с иррегулярной особой точкой. Установлено, что в общем случае кратных элементарных делителей соответствующие асимптотические разложения можно построить в виде двойных рядов по дробным степеням параметра и отношения независимой переменной и параметра.

An analog of the Levinson theorem for systems of differential equations with impulses and its application for the theory of differential equations are considered.

Дослідження присвячено побудові асимптотичних розв'язків крайової задачі для лінійної сингулярно збуреної системи диференціальних рівнянь вигляду Mx(0, ε) + Nx(T, ε) = d(ε), у випадку, коли матриця B(t, ε) за похідної вироджується з прямуванням малого параметра до нуля, залишаючись невиродженою за є ε > 0, і у випадку повного виродження, коли B(t, ε) = B(t) і detB(t) ≡ 0. Виходячи з теорії асимптотичного інтегрування сингулярно збурених систем диференціальних рівнянь з виродженнями, розробленої у працях А. М. Самойленка, М. І. Шкіля, В. П. Яковця, і методів аналізу нетерових крайових задач О. А. Бойчука, запропоновано метод побудови асимптотичних розв'язків даної крайової задачі, який базується на ідеї її зведення до фредгольмової або нетерової завдяки нехтуванню експоненціально малими доданками за відповідних крайових умов. Розроблено алгоритм побудови асимптотики відповідних розв'язків у випадках простого та кратного спектра граничної в'язки матриць A(t, 0) - λB₀(t). У кожному із розглянутих випадків знайдено умови існування й єдиності розв'язку даної крайової задачі, а також умови, за виконання яких вона має багатопараметричну сім'ю розв'язків. Виведено асимптотичні оцінки для побудованих розв'язків, розроблено алгоритм знаходження коефіцієнтів відповідних асимптотичних розвинень у явному вигляді. Досліджено особливості побудови розв'язків у стійкому та напівстійкому випадках.

На базі метричного підходу досліджено задачі з багатоточковими умовами за виділеною змінною t для лінійного еліптичного рівняння четвертого порядку в прямокутній області з крайовими двоточковими умовами за змінною x, для лінійних гіперболічних і безтипних рівнянь високого порядку зі сталими коефіцієнтами у класі функцій, 2pi - періодичних за просторовими змінними, для лінійних гіперболічних і безтипних рівнянь та систем рівнянь і слабконелінійних інтегро-диференціальних рівнянь зі змінними за x₁,..., x_p коефіцієнтами у довільній обмеженій циліндричній області з певними крайовими умовами на її бічній поверхні, для слабконелінійних гіперболічних рівнянь зі сталими в лінійній частині оператора коефіцієнтами. Отримано явні формули для розв'язків лінійних задач у вигляді рядів за системами ортогональних функцій, а для нелінійних випадків вказано як знайти розв'язки методом послідовних наближень. Доведено нові метричні теореми про оцінки знизу малих знаменників, які виникають у розглядуваних задачах.

Приведены условия бифуркации решений линейных вырожденных нетеровых краевых задач с малым параметром в предположении, что невозмущенная вырожденная дифференциальная система приводится к центральной канонической форме с использованием метода Вишика-Люстерника и аппарата псевдообратных по Муру-Пенроузу матриц предложен алгоритм отыскания семейства линейно независимых решений краевых задач, когда число краевых условий, задаваемых линейным векторним функционалом, не совпадает с числом неизвестных у вырожденной дифференциальной системы.

Розглянуто застосування символьних (аналітичних) можливостей пакета Mathematica для отримання в аналітичному вигляді розв'язків задачі Коші для одного диференціального рівняння методом В. К. Дзядика, апроксимацію розв'язку лінійного диференціального рівняння з багаточленними коефіцієнтами 1-го та 2-го порядків, побудову раціональної апроксимації та апроксимації Паде деяких спеціальних функцій.

Одержано конструктивні умови виникнення та побудовано ітераційну процедуру для знаходження розв'язків нетерової лінійної крайової задачі для системи звичайних диференціальних рівнянь у критичному випадку. Знайдено оцінку області значень малого параметра, для яких зберігається збіжність ітераційної процедури.

Вивчено зв'язок між властивостями мероморфних коефіцієнтів лінійного диференціального рівняння другого порядку та властивостями меро- і голоморфних розв'язків цього рівняння та породжених ним крайових задач. Знайдено класи, яким може належати голоморфний розв'язок рівняння <$Esymbol Ж symbol Т ~+~a sub 0 symbol Ж ~=~0> з мероморфним коефіцієнтом з полюсами другого порядку або без полюсів, коли послідовність його нулів задовольняє умову Бляшке, а прості нулі утворюють інтерполярну підпослідовність. Досліджено умови, за яких лінійне диференціальне рівняння другого порядку з мероморфними коефіцієнтами має голоморфні й обмежені в одиничному крузі розв'язки. З'ясовано апроксимаційні властивості функцій Бесселя першого роду з індексами -3/2 і -5/2 і побудовано деякі крайові задачі, власні функції яких пов'язані з цими функціями.

Досліджено дискретно-неперервні крайові задачі для векторних квазідиференціальних рівнянь довільного скінченного порядку з коефіцієнтами-мірами та правими частинами - узагальненими похідними високих порядків від функцій обмеженої варіації. Використано методику, що базується на зведенні даних задач (за допомогою відомої ідеї введення квазіпохідних) до коректних систем лінійних диференціальних рівнянь першого порядку з мірами. Доведено, що застосування даного підходу дало можливість встановити спектральні властивості задач на власні значення, одержати зображення розв'язків неоднорідних крайових задач в інтегральній формі (за допомогою конструктивно побудованої матриці Гріна) та у формі Шмідта, довести теореми про розвинення вектор-функції у ряд Фур'є за певною ортонормованою системою власних векторів на скінченному проміжку, побудувати формули обернення та рівність Парсеваля, що відповідають теоремі про розклад для напівнескінченного інтервалу. Узагальнено теорію граничних точки та кута Вейля на випадок систем диференціальних рівнянь першого порядку та квазідиференціальних рівнянь довільного скінченного порядку з мірами у коефіцієнтах. Встановлено двосторонні оцінки для розмірності лінійного многовиду розв'язків з "інтегральним квадратом" на інтервалі [<$Ea~ inf>).

Індекс рубрикатора НБУВ: В161.611.3

Рубрики:

Системи лінійних диференціальних рівнянь

Шифр НБУВ: Ж23887 Пошук видання у каталогах НБУВ 

The general positions concerning the stability of systems of differential equations on a contour and circle connected with a certain singular point are presented.