Досліджено коректність та наближене розв'язування обернених задач визначення невідомих функцій у правій частині системи параболічних рівнянь. Для цих задач доведено теореми єдиності, існування та стабільності розв'язку і наведено приклади, що показують точність встановлених теорем. Також на множині коректності встановлено оцінку швидкості збіжності методу послідовного наближення, що запропонований для розв'язання даних задач.

Douglis - Nirenberg elliptic systems of linear pseudodifferential equations are studied on a smooth closed manifold. We prove that the operator generated by the system is a Fredholm one on the refined two-sided scale of the functional Hilbert spaces. Elements of this scale are the special isotropic spaces of Hormander - Volevich - Paneah. The refined smoothness of a solution of the system is studied. The elliptic systems with a parameter are investigated as well.

Досліджено перші початково-крайові задачі для параболічних систем в областях з конічними точками на межі. Вивчено гладкість їх розв'язків відносно часових змінних.

Досліджено першу початкову крайову задачу для сильно параболічних систем на нескінченному циліндрі з негладкою межею. Встановлено умови існування узагальненого розв'язку та його оцінку, а також оцінку похідної розв'язку.

Розглянуто першу початкову крайову задачу для сильно параболічної системи на некінченному циліндрі із негладкою межею. Доведено деякі результати про існування, єдиність та асимптотичну поведінку розв'язків у разі <$E t~symbol О~+~inf>.

Розглянуто квазілінійну еліптичну систему з критичними показниками Харді - Соболєва та Соболєва. Із застосуванням варіаційних методів та аналітичного підходу встановлено існування додатних розв'язків системи.

Вивчено обмеженість слабких розв'язків для недіагональної параболічної системи сингулярних квазілінійних диференціальних рівнянь з матрицею коефіцієнтів, що задовольняє спеціальні структурні умови. Для цього застосовується техніка, що базується на оцінці лінійних комбінацій невідомих.

<$E L sup inf>-оцінки слабких розв'язків встановлено для квазілінійної недіагональної параболічної системи сингулярних рівнянь, матриця коефіцієнтів якої задовольняє спеціальні структурні умови. Використано техніку, що базується на оцінці лінійних комбінацій невідомих.

Досліджено властивості інтегралів типу похідних від об'ємних потенціалів, які породжуються фундаментальною матрицею розв'язків задачі Коші для <$E 2b Vec>- параболічної системи з виродженням на початковій гіперплощині.

Встановлено теорему про підвищення гладкості й апріорні оцінки розв'язків задачі Коші для лінійної <$E 2b vec >-параболічної системи рівнянь, що має слабке виродження на початковій гіперплощині.

Рассмотрены начальные задачи для нового класса систем уравнений, объединяющие в себе структуры систем, параболических по Солонникову и Эйдельману. Доказана теорема о корректной разрешимости этих задач в пространствах Гельдера быстрорастущих функций и получена оценка норм решений через соответствующие нормы правых частей задачи. Для правильности такой оценки условие параболичности системы является не только достаточным, но и необходимым.

Розглянуто новий клас систем рівнянь, які поєднують у собі структури систем, параболічних за Солонниковим і Ейдельманом. Доведено теореми про зведення загальної початкової задачі до задачі з нульовими початковими даними та про коректну розв'язність початкової задачі в модельному випадку.

Initial problems for a new class of systems, which unite the structures of Solonnikov-parabolic and Eidelman-parabolic systems, are considered. The theorem on a correct solvability of these problems in Holder spaces of rapidly growing functions is proved, and an estimate of the norms of solutions through the corresponding norms of right-hand members of a problem is obtained. For a correctness of such an estimate, the requirement of parabolicity of a system is not only sufficient, but also necessary.

Доведено, що якщо коефіцієнти <$E 2b Vec>-параболічної системи допускають аналітичне продовження в комплексну область за просторовими змінними, то таку властивість мають фундаментальна матриця розв'язків задачі Коші та регулярні розв'язки системи.

Розглянуто означені початкові задачі, які є узагальненнями початкових задач для параболічних за Солонниковим систем і задачі Коші для систем, параболічних у сенсі Ейдельмана. За певних припущень щодо параметрів, які визначають порядки диференціальних виразів з рівнянь системи та початкових умов, установлена теорема про коректну розв'язність таких початкових задач в узагальнених просторах Соболєва.

Означено новий клас параболічних систем, клас параболічних систем Солонникова - Ейдельмана, який узагальнює відомі класи систем, параболічних за І.Г.Петровським, С.Д.Ейдельманом і В.О.Солонниковим. Для цього класу систем описано постановку початкових задач - параболічних початкових задач Солонникова - Ейдельмана (ППЗСЕ). Для модельних ППЗСЕ визначено структуру фундаментальної матриці розв'язків, одержано її оцінки, доведено теорему про коректну розв'язність у просторах Гельдера необмежено зростаючих зі зростанням просторових змінних функцій. Виведено точні оцінки норм розв'язків через відповідні норми правих частин системи і початкових умов. Для загальних ППЗСЕ доведено теорему про коректну розв'язність у просторах Гельдера зростаючих функцій, аналогічну до відповідної теореми для модельного випадку. Доведено необхідність умови параболічності системи для правильності апріорних оцінок у просторах Гельдера розв'язків загальних ППЗСЕ.

Для лінійної системи загальних диференціальних рівнянь п-го порядку з частинними похідними та змінними за часом неперервними коефіцієнтами у декартовому добутку часового відрізка [0,Т] і просторового р-вимірного тора розглянуто задачу з нелокальними крайовими умовами, які задаються у точках <$E t~=~0> і <$E t~=~Т>. Задача є некоректною за Адамаром і пов'язана з проблемою малих знаменників. Встановлено необхідні та достатні умови єдиності, а також достатні умови існування розв'язку задачі. Під час доведення теореми існування розв'язку використано метричний підхід.

Вивчено задачу з нелокальними умовами для систем диференціальних рівнянь із частинними похідними нескінченного порядку. Побудовано спеціальні простори (простори Соболева нескінченного порядку) та досліджено їх властивості. Одержано умови існування та єдиності розв'язку нелокальної задачі у цих просторах.

Розглянуто крайову задачу для лінійної гіперболічної системи з регулярною та сингулярною частинами в кутовій області. З допомогою методу характеристик і принципу стискальних відображень встановлено умови існування та єдиності глобального узагальненого неперервного розв'язку задачі.

Розглянуто крайову задачу з даними на нехарактеристичних лініях, що перетинаються, для систем гіперболічних рівнянь із мішаною похідною другого порядку. За допомогою методу уведення додаткових параметрів встановлено існування єдиного класичного розв'язку досліджуваної задачі та запропоновано спосіб його знаходження.