Знайдено класи існування та єдиності узагальнених розв'язків задач без початкових умов для слабко нелінійних рівнянь та систем в необмежених за просторовими змінними областях зі змішаними граничними умовами та класи коректності цих задач. Для параболічних рівнянь з різними порядками нелінійності за різними похідними та рівнянь неоднорідної політропної фільтрації встановлено умови на коефіцієнти, при яких задачі без початкових умов мають єдині узагальнені розв'язки без будь-яких обмежень на їх поведінку та поведінку вихідних даних в околі початкового моменту часу. Доведено також неперервну залежність узагальнених розв'язків цих задач від вихідних даних. Вивчено властивості розв'язків досліджуваних задач.

Дисертацію присвячено дослідженню самоспряженого параболічного рівняння на рімановому многовиді. Встановлено оцінки фундаментального розв'язку та обгрунтовано метод побудови останнього. Доведено апроксимативні властивості мір, що пов'язані з цим розв'язком, і, як наслідок, одержані достатні умови абсолютної неперервності дифузійних мір в гільбертовому просторі при збуренні коефіцієнтів та початкової умови.

В дисертаційній роботі розглядаються обернені задачі для диференціальних рівнянь і систем параболічного типу. Невідомі коефіцієнти перед старшими похідними в рівняннях і системах залежать від часу. Встановлюються умови існування і єдиності розв'язків цих задач.

Дисертацію присвячено вивченню стійкості за Ляпуновим мішаних задач для гіперболічних систем першого порядку, коефіцієнти яких залежать від х, або х і t, або х, y і t, з нелокальними інтегральними, нерозділеними чи багатоточковими умовами. Досліджено питання існування та єдиності розв'язків таких задач, а також коректність мішаної нелокальної задачі для параболічної системи другого порядку. Встановлено за допомогою методу Гальоркіна умови існування та єдиності узагальненого розв'язку нелокальної мішаної задачі для параболічної системи рівнянь другого порядку з двома просторовими змінними. Методом зникаючої в'язкості доведено існування розв'язку мішаної задачі для гіперболічної системи першого порядку, встановлено умови його єдиності, гладкості, а також умови експоненціальної стійкості тривіального розв'язку.

За допомогою операційного методу, індукованого узагальненим відокремленням змінних, досліджено задачу Коші для систем рівнянь із частинними похідними першого порядку за часом та безмежного порядку за просторовими змінними, крайові задачі з умовами типу Діріхле для полілінійного диференціального рівняння із частинними похідними і системи рівнянь Ламе у випадку плоскої деформації. Виділено класи однозначної розв'язності розглянутих задач, у яких побудовано розв'язки задач.

Дисертацію присвячено розробці нових ефективних методів розв'язання крайових задач для одного класу еліптичних систем диференціальних рівнянь з частинними похідними на основі методу p-аналітичних функцій (p = x^k, k = const > 0). Вперше одержано інтегральні зображення p-аналітичних функцій (p = x^k, k = const > 0) через граничні значення аналітичних функцій для деяких скінченних та нескінченних областей. На основі цих інтегральних зображень розроблено нову ефективну методику розв'язання крайових задач p-аналітичних функцій (p = x^k, k = const > 0) для областей: півкруг, права півплощина з викинутим півкругом, права півплощина з розрізом. Для всіх трьох областей розглянуто різні типи крайових умов. Розроблена методика застосована до розв'язання просторової вісесиметричної задачі обтікання в'язкою рідиною сферичного диска, що обертається.

Одержано умови можливості стабілізації еволюційних систем диференціальних рівнянь з частинними похідними на <$E{roman R back 40 roman I} sup n~times~[0,~+ inf )> за допомогою одновимірних позиційних керувань. Для доведення цих умов використано метод перетворення Фур'є. Для цього одержано оцінки напівалгебричних функцій на напівалгебричних множинах за допомогою теореми Тарського - Зайденберга та її наслідків. Наведено приклади систем, які можливо та неможливо стабілізувати.

We consider the large-time behavior of the solutions of a parabolic equation in a thin restangular two-layer domain. The dynamics of the problem in the thin domain is compared with the dynamics of the corresponding limit problem in a reduced domain that is a line segment. It is stated that, provided some regularity conditions are satisfied, the initial evolutionary system possesses two modes that uniquely determine its asymptotic behavior.

Наведено обмежене оптимальне синтезоване керування в параметричній формі, коли керований процес описується параболічною крайовою задачею та напіввизначеним критерієм якості. Ядро оператора оберненого зв'язку та точка переключення визначаються через деякі ряди Фур'є вихідних функцій. Обгрунтовано наближені синтезоване керування за умов урізання даних рядів. Наведені результати розповсюджено на системи зі швидкоосцилюючими коефіцієнтами. Розглянуто аналогічні проблеми для задачі оптимальної стабілізації, а також нові постановки задач мінімаксного оцінювання для параболічного рівняння та керування за умов невизначеності на підставі побудованих законів параметричного синтезу.

Досліджено умови існування та єдиності розв'язків деяких типів параболічних варіаційних нерівностей та їх систем без початкових умов. Знайдено класи існування та єдиності роз'язку задач без початкових умов для слабко нелінійних параболічних варіаційних нерівностей зі зростаючими коефіцієнтами в областях, необмежених за всіма змінними. Розглянуто умови, які гарантують існування та єдиність розв'язків з узагальнених просторів Соболєва <$EW sup {1,p(x) } ,~1~<<~p(x)~ symbol Г 2>, систем параболічних варіаційних нерівностей без початкових умов, у тому числі систем із виродженням. Знайдено умови існування та єдиності розв'язку задач з початковими та без початкових умов. У задачах Фур'є розв'язок отримано в класі функцій, які можуть зростати за <$Et~ symbol O ~- inf>, не швидше <$E sup {- lambda t }>, <$Elambda~ symbol <174> roman bold R>.

Для загальних <$E 2b Vec>-параболічних за Ейдельманом систем, рівнянь із частинними похідними введено спеціальні <$E LAMBDA sub delta sup m,r>-умови. Вони виділяють класи систем рівнянь, матриці Гріна задачі Коші яких мають певну кваліфіковану поведінку для <$E t~symbol О~symbol С inf>. Наведено приклади таких систем зі сталими коефіцієнтами та деякі застосування оцінок їх матриць Гріна задачі Коші.

Досліджено властивості інтегралів типу похідних від об'ємних потенціалів, які породжуються фундаментальною матрицею розв'язків задачі Коші для <$E 2b Vec>- параболічної системи з виродженням на початковій гіперплощині.

Досліджено коректність задачі з багатоточковими умовами за виділеною змінною та умовами періодичності за іншими координатами для лінійної системи рівнянь з частинними похідними зі сталими коефіцієнтами. Встановлено умови існування та єдиності розв'язку задачі, доведено метричні теореми про оцінки знизу малих знаменників, які виникають під час побудови розв'язку задачі.

Для лінійної системи загальних диференціальних рівнянь п-го порядку з частинними похідними та змінними за часом неперервними коефіцієнтами у декартовому добутку часового відрізка [0,Т] і просторового р-вимірного тора розглянуто задачу з нелокальними крайовими умовами, які задаються у точках <$E t~=~0> і <$E t~=~Т>. Задача є некоректною за Адамаром і пов'язана з проблемою малих знаменників. Встановлено необхідні та достатні умови єдиності, а також достатні умови існування розв'язку задачі. Під час доведення теореми існування розв'язку використано метричний підхід.

Запропоновано метод побудови узагальнених розв'язків для деяких недивергентних систем із частинними похідними за допомогою множиннозначних аналогів узагальненої постановки проблеми, що використовує субдиференціальне числення. Одержано нові достатні умови існування розв'язків варіаційної нерівності із множиннозначним оператором за послаблених умов на коерцитивність. Розглянуто приклади вагового p-лапласіана у соболєвських просторах <$E W sub p sup 1 ( OMEGA ),~p~symbol У~2>.

Установлено умови коректної розв'язності задачі з умовами типу Діріхле за часовою змінною та умовами періодичності за просторовими координатами для систем рівнянь із частинними похідними, не розв'язаних відносно старшої похідної за часом. Доведено метричні теореми про оцінки знизу малих знаменників, які виникають під час побудови розв'язку задачі.

Розглянуто першу початкову крайову задачу для сильно параболічної системи на некінченному циліндрі із негладкою межею. Доведено деякі результати про існування, єдиність та асимптотичну поведінку розв'язків у разі <$E t~symbol О~+~inf>.

З використанням модифікацій методу Гальоркіна та методів регуляризації, штрафу, кінцево-різницевих відношень, монотонності й компактності визначено умови існування узагальненого розв'язку мішаних задач для лінійних еволюційних систем високого порядку з виродженням на початковій гіперплощині у нециліндричній області, нелінійних рівнянь з другою похідною з часом в узагальнених просторах Соболєва, нелінійних ультрапараболічних рівнянь в обмеженій або в необмеженій за просторовими змінними області, а також задачі без початкових умов для слабко нелінійних ультрапараболічних рівнянь. Для систем з виродженням доведено гладкість розв'язку за всіма змінними у циліндричній області, для нелінійних рівнянь досліджено єдиність розв'язку, а в окремих випадках знайдено умови існування гладкого розв'язку.

Розглянуто нові задачі оптимального керування розподіленими системами, які описуються початково-крайовими задачами для параболічного рівняння з умовами, що містять похідну за часом стану, та квадратичною функцією вартості. Для всіх розглянутих випадків доведено теореми існування єдиних оптимальних керувань.

Встановлено теорему про підвищення гладкості й апріорні оцінки розв'язків задачі Коші для лінійної <$E 2b vec >-параболічної системи рівнянь, що має слабке виродження на початковій гіперплощині.