Досліджено задачі Коші і крайові задачі для рівнянь і систем параболічного типу з інтегро-диференціальними операторами і виродженнями. Встановлено коректну розв'язність задачі Коші для параболічної системи інтегро-диференціальних рівнянь з операторами типу Вольтерри- Фредгольма та Фредгольма відповідно. Досліджено властивості фундаментальної матриці розв'язків, одержано оцінки її похідних у класичних просторах Гельдера. Доведено теореми про коректність крайових задач для параболічних систем з інтегро-диференціальними операторами в рівняннях і крайових умовах. З використанням інтегральних перетворень Пуассона і Соніна досліджено коректність задачі для В-параболічної системи інтегро-диференціальних рівнянь з ваговими крайовими умовами. Розв'язано задачі для деяких параболічних рівнянь другого порядку з інтегральними умовами, а також встановлено принцип максимуму для параболічного інтегро-диференціального рівняння 2-го порядку.

Означено новий клас параболічних систем, клас параболічних систем Солонникова - Ейдельмана, який узагальнює відомі класи систем, параболічних за І.Г.Петровським, С.Д.Ейдельманом і В.О.Солонниковим. Для цього класу систем описано постановку початкових задач - параболічних початкових задач Солонникова - Ейдельмана (ППЗСЕ). Для модельних ППЗСЕ визначено структуру фундаментальної матриці розв'язків, одержано її оцінки, доведено теорему про коректну розв'язність у просторах Гельдера необмежено зростаючих зі зростанням просторових змінних функцій. Виведено точні оцінки норм розв'язків через відповідні норми правих частин системи і початкових умов. Для загальних ППЗСЕ доведено теорему про коректну розв'язність у просторах Гельдера зростаючих функцій, аналогічну до відповідної теореми для модельного випадку. Доведено необхідність умови параболічності системи для правильності апріорних оцінок у просторах Гельдера розв'язків загальних ППЗСЕ.

Досліджено умови існування та єдиності розв'язків деяких типів параболічних варіаційних нерівностей та їх систем без початкових умов. Знайдено класи існування та єдиності роз'язку задач без початкових умов для слабко нелінійних параболічних варіаційних нерівностей зі зростаючими коефіцієнтами в областях, необмежених за всіма змінними. Розглянуто умови, які гарантують існування та єдиність розв'язків з узагальнених просторів Соболєва <$EW sup {1,p(x) } ,~1~<<~p(x)~ symbol Г 2>, систем параболічних варіаційних нерівностей без початкових умов, у тому числі систем із виродженням. Знайдено умови існування та єдиності розв'язку задач з початковими та без початкових умов. У задачах Фур'є розв'язок отримано в класі функцій, які можуть зростати за <$Et~ symbol O ~- inf>, не швидше <$E sup {- lambda t }>, <$Elambda~ symbol <174> roman bold R>.

Дисертацію присвячено дослідженню самоспряженого параболічного рівняння на рімановому многовиді. Встановлено оцінки фундаментального розв'язку та обгрунтовано метод побудови останнього. Доведено апроксимативні властивості мір, що пов'язані з цим розв'язком, і, як наслідок, одержані достатні умови абсолютної неперервності дифузійних мір в гільбертовому просторі при збуренні коефіцієнтів та початкової умови.

Доведено теорему про умови рівнозначності двох формулювань нормальної крайової задачі для квазілінійної параболічної системи з лінійною головною частиною, якщо на межі області задані узагальнені функції з просторів типу <$ED prime>, що є продовженням відомих результатів для лінійних еліптичних і параболічних рівнянь. Доведено еквівалентність узагальненої нормальної крайової задачі для квазілінійної параболічної системи диференціальних рівнянь та нелінійної системи інтегро-диференціальних рівнянь у певному ваговому <$EL sup 1>-просторі. Знайдено достатні умови розв'язності нелінійного інтегрального рівняння Вольтерри у ваговому <$EL sup 1>-просторі. Описано характер поведінки розв'язку узагальненої крайової задачі біля межі області та його точкових особливостей. Визначено достатні умови розв'язності та однозначної розв'язності узагальненої крайової задачі.

Дисертацію присвячено вивченню стійкості за Ляпуновим мішаних задач для гіперболічних систем першого порядку, коефіцієнти яких залежать від х, або х і t, або х, y і t, з нелокальними інтегральними, нерозділеними чи багатоточковими умовами. Досліджено питання існування та єдиності розв'язків таких задач, а також коректність мішаної нелокальної задачі для параболічної системи другого порядку. Встановлено за допомогою методу Гальоркіна умови існування та єдиності узагальненого розв'язку нелокальної мішаної задачі для параболічної системи рівнянь другого порядку з двома просторовими змінними. Методом зникаючої в'язкості доведено існування розв'язку мішаної задачі для гіперболічної системи першого порядку, встановлено умови його єдиності, гладкості, а також умови експоненціальної стійкості тривіального розв'язку.

Наведено обмежене оптимальне синтезоване керування в параметричній формі, коли керований процес описується параболічною крайовою задачею та напіввизначеним критерієм якості. Ядро оператора оберненого зв'язку та точка переключення визначаються через деякі ряди Фур'є вихідних функцій. Обгрунтовано наближені синтезоване керування за умов урізання даних рядів. Наведені результати розповсюджено на системи зі швидкоосцилюючими коефіцієнтами. Розглянуто аналогічні проблеми для задачі оптимальної стабілізації, а також нові постановки задач мінімаксного оцінювання для параболічного рівняння та керування за умов невизначеності на підставі побудованих законів параметричного синтезу.

З використанням модифікацій методу Гальоркіна та методів регуляризації, штрафу, кінцево-різницевих відношень, монотонності й компактності визначено умови існування узагальненого розв'язку мішаних задач для лінійних еволюційних систем високого порядку з виродженням на початковій гіперплощині у нециліндричній області, нелінійних рівнянь з другою похідною з часом в узагальнених просторах Соболєва, нелінійних ультрапараболічних рівнянь в обмеженій або в необмеженій за просторовими змінними області, а також задачі без початкових умов для слабко нелінійних ультрапараболічних рівнянь. Для систем з виродженням доведено гладкість розв'язку за всіма змінними у циліндричній області, для нелінійних рівнянь досліджено єдиність розв'язку, а в окремих випадках знайдено умови існування гладкого розв'язку.

Знайдено класи існування та єдиності узагальнених розв'язків задач без початкових умов для слабко нелінійних рівнянь та систем в необмежених за просторовими змінними областях зі змішаними граничними умовами та класи коректності цих задач. Для параболічних рівнянь з різними порядками нелінійності за різними похідними та рівнянь неоднорідної політропної фільтрації встановлено умови на коефіцієнти, при яких задачі без початкових умов мають єдині узагальнені розв'язки без будь-яких обмежень на їх поведінку та поведінку вихідних даних в околі початкового моменту часу. Доведено також неперервну залежність узагальнених розв'язків цих задач від вихідних даних. Вивчено властивості розв'язків досліджуваних задач.

Досліджено властивості в необмежених за часовою змінною t областях розв'язків <$E2b vec>-параболічних систем, а також крайових задач для деяких конкретних рівнянь другого порядку. Для <$E2b vec>-параболічних систем у термінах оцінок фундаментальних матриць розв'язків і матриць Гріна задачі Коші введено спеціальні <$ELAMBDA sub delta sup {m,~r }> умови, наведено приклади класів систем, які задовольняють дані умови, встановлено інтегральні зображення та оцінки розв'язків, а також коректну розв'язність задачі Коші і задачі без початкових умов відповідно в півпросторах {<$Et~>>~0>} і {<$Et~ symbol Г ~T>}. Доведено теорему про стійкість розв'язків задачі Коші та теореми типу Ліувілля. Побудовано та досліджено фундаментальні матриці розв'язків поліноміальної в'язки <$E2b vec>-еліптичних систем, породженої <$E2b vec>-параболічною системою. Для деяких конкретних рівнянь другого порядку з необмежено зростаючими за <$Esymbol Э x symbol Э ~ symbol О ~ inf> коефіцієнтами і виродженням за <$Et~ symbol О ~ - inf> встановлено інтегральні зображення розв'язків і коректну розв'язність крайових задач Діріхле та Неймана без початкових умов.

В дисертаційній роботі розглядаються обернені задачі для диференціальних рівнянь і систем параболічного типу. Невідомі коефіцієнти перед старшими похідними в рівняннях і системах залежать від часу. Встановлюються умови існування і єдиності розв'язків цих задач.

Дисертацію присвячено розробці нових ефективних методів розв'язання крайових задач для одного класу еліптичних систем диференціальних рівнянь з частинними похідними на основі методу p-аналітичних функцій (p = x^k, k = const > 0). Вперше одержано інтегральні зображення p-аналітичних функцій (p = x^k, k = const > 0) через граничні значення аналітичних функцій для деяких скінченних та нескінченних областей. На основі цих інтегральних зображень розроблено нову ефективну методику розв'язання крайових задач p-аналітичних функцій (p = x^k, k = const > 0) для областей: півкруг, права півплощина з викинутим півкругом, права півплощина з розрізом. Для всіх трьох областей розглянуто різні типи крайових умов. Розроблена методика застосована до розв'язання просторової вісесиметричної задачі обтікання в'язкою рідиною сферичного диска, що обертається.

Для лінійних систем зі сталими коефіцієнтами розглянуто початково-крайові задачі, задачі керування та спостереження. Вивчено випадок, коли динаміка та статика систем описується одним диференціальним рівнянням, а початково-крайовий стан системи відомий неповністю. Ефект впливу відомих початково-крайових умов на стан системи запропоновано замінити фіктивним зовнішньо-динамічним збуренням. З'ясовано, що це збурення через праву частину рівняння моделює вплив відомих початково-крайових умов і забезпечує їх середньоквадратичне виконання. Для початково-крайової задачі та задач керування й спостереження доведено достатні умови існування таких збурень. Обгрунтовано ітераційну процедуру мінімізації сумарної середньоквадратичної нев'язки відомих початково-крайових умов.

Розроблено загальну теорію числового й аналітичного аналізу задач моделювання й оптимізації лінійних розподілених систем, що знаходяться під впливом зосередженого характеру. Створено теорію узагальненої розв'язності лінійних систем, яку використано для визначання оптимізаційних властивостей і ступеня керованості некласичних лінійних моделей математичної фізики (псевдопараболічних, псевдогіперболічних, С.Л.Соболєва, загальних хвильових і параболічних систем з умовами спряження). Розроблено й апробовано комплекс числових процедур для наближеного розв'язання задач оптимального керування лінійними системами з узагальненим впливом.

Із використанням методу характеристик і принципу Банаха про нерухому точку встановлено умови існування та єдиності локального узагальненого розв'язку крайової задачі для виродженої гіперболічної системи трьох квазілінійних рівнянь у криволінійному секторі.

В області, що є декартовим добутком відрізка на p-вимірний тор, досліджено крайову задачу з умовами Діріхле - Неймана за виділеною змінною та умовами 2pi-періодичності за іншими координатами для безтипної системи лінійних рівнянь високого порядку зі сталими коефіцієнтами. Встановлено умови однозначної розв'язності задачі та конструктивно побудовано її розв'язок у вигляді векторного ряду за системою ортогональних функцій. Для оцінок знизу малих знаменників, що виникли під час побудови розв'язку задачі, використано метричний підхід.

Досліджено рівномірно еліптичні в <$E {bold roman R} sup n> за Дуглісом - Ніренбергом системи у класі гільбертових просторів Хермандера <$E H sup phi>, де <$E phi ~-~RO>-змінна функція скалярного аргументу. Встановлено апріорну оцінку розв'язків і досліджено їх внутрішню регулярність. Одержано достатню умову нетеровості цих систем.

Встановлено нові апріорні оцінки розв'язків систем диференціальних рівнянь, рівномірно еліптичних за Дуглісом - Ніренбергом в ℝⁿ. Доведено теореми про регулярність розв'язків цих системи у просторах Хермандера, що утворюють розширену соболєвську шкалу. Для широкого класу рівномірно еліптичних систем у ℝⁿ доведено теорему про нетеровість відповідного їм диференціального оператора у відповідих парах просторів Хермандера. Доведено теореми про характер розв'язності еліптичних за Дуглісом - Ніренбергом систем диференціальних рівнянь в розширеній соболєвській шкалі на гладкому замкненому багатовиді. Встановлено теореми про апріорні оцінки та регулярність розв'язків цих систем в розширеній соболєвській шкалі. Знайдено нові достатні умови неперервності узагальнених похідних заданого порядку розв'язків еліптичних систем. Для широких класів еліптичних з параметром диференціальних рівнянь і систем доведено теореми про ізоморфізми й апріорні оцінки розв'язків в розширеній соболєвській шкалі.

Побудовано та одержано оцінки матрицанту задачі Коші з імпульсною дією для сингулярних параболічних систем. Одержано оцінки матриці Гріна у чверті простору В-параболічної системи з імпульсною дією. Встановлено зв'язок між фундаментальними матрицями розв'язків В-параболічних і В-еліптичних систем з імпульсною дією. Доведено теореми Ліувілля для сингулярних параболічних систем. Одержано зображення розв'язку крайової задачі та задачі без початкових умов для системи рівнянь, яка містить парні похідні за однією просторовою змінною, з крайовими умовами типу Діріхле та Неймана. Встановлено існування розв'язку модельної крайової задачі та модельної крайової задачі без початкових умов для системи рівнянь, яка містить парні похідні за однією просторовою змінною, з крайовими умовами типу Діріхле та Неймана. Доведено коректність загальної крайової задачі без початкових умов, одержано оцінки та встановлено властивості фундаментального розв'язку задачі Коші та задачі з імпульсною дією для сингулярних параболічних систем з операторами Бесселя - Колмогорова. Знайдено зображення розв'язку задачі Коші для сингулярних параболічних систем з подвійним степеневим виродженням.

Для системы линейных дифференциальных уравнений p-го порядка с тождественно вырожденной матрицей при старших производных найдены условия, при выполнении которых она имеет общее решение типа Коши. Определена структура этого решения. Установлены также условия существования и единственности решения соответствующей начальной задачи.

Індекс рубрикатора НБУВ: В161.22 + В161.626.6

Рубрики:

Інтегральне числення

Системи диференціальних рівнянь з частинними похідними вищого порядку

Шифр НБУВ: Ж26161 Пошук видання у каталогах НБУВ 
Повний текст  Наукова періодика України