Вивчено обмеженість слабких розв'язків для недіагональної параболічної системи сингулярних квазілінійних диференціальних рівнянь з матрицею коефіцієнтів, що задовольняє спеціальні структурні умови. Для цього застосовується техніка, що базується на оцінці лінійних комбінацій невідомих.

<$E L sup inf>-оцінки слабких розв'язків встановлено для квазілінійної недіагональної параболічної системи сингулярних рівнянь, матриця коефіцієнтів якої задовольняє спеціальні структурні умови. Використано техніку, що базується на оцінці лінійних комбінацій невідомих.

Douglis - Nirenberg elliptic systems of linear pseudodifferential equations are studied on a smooth closed manifold. We prove that the operator generated by the system is a Fredholm one on the refined two-sided scale of the functional Hilbert spaces. Elements of this scale are the special isotropic spaces of Hormander - Volevich - Paneah. The refined smoothness of a solution of the system is studied. The elliptic systems with a parameter are investigated as well.

Розглянуто квазілінійну еліптичну систему з критичними показниками Харді - Соболєва та Соболєва. Із застосуванням варіаційних методів та аналітичного підходу встановлено існування додатних розв'язків системи.

Розглянуто першу початкову крайову задачу для сильно параболічної системи на некінченному циліндрі із негладкою межею. Доведено деякі результати про існування, єдиність та асимптотичну поведінку розв'язків у разі <$E t~symbol О~+~inf>.

Досліджено перші початково-крайові задачі для параболічних систем в областях з конічними точками на межі. Вивчено гладкість їх розв'язків відносно часових змінних.

Досліджено першу початкову крайову задачу для сильно параболічних систем на нескінченному циліндрі з негладкою межею. Встановлено умови існування узагальненого розв'язку та його оцінку, а також оцінку похідної розв'язку.

Досліджено коректність та наближене розв'язування обернених задач визначення невідомих функцій у правій частині системи параболічних рівнянь. Для цих задач доведено теореми єдиності, існування та стабільності розв'язку і наведено приклади, що показують точність встановлених теорем. Також на множині коректності встановлено оцінку швидкості збіжності методу послідовного наближення, що запропонований для розв'язання даних задач.

За допомогою операційного методу, індукованого узагальненим відокремленням змінних, досліджено задачу Коші для систем рівнянь із частинними похідними першого порядку за часом та безмежного порядку за просторовими змінними, крайові задачі з умовами типу Діріхле для полілінійного диференціального рівняння із частинними похідними і системи рівнянь Ламе у випадку плоскої деформації. Виділено класи однозначної розв'язності розглянутих задач, у яких побудовано розв'язки задач.

Одержано апріорні нерівності для системи параболічних рівнянь із сингулярними правими частинами, що описують точкові джерела фізичних полів. Доведено існування єдиного розв'язку задачі про дифузивно-конвективний перенос суміші ізотопів у пористому середовищі з урахуванням явища філіації.

Рассмотрены основные понятия теории дифференциальных уравнений высших порядков и методы их решения. Раскрыты вопросы существования и единственности решения уравнений высших порядков. Уделено внимание теории решения одно- и неоднородных линейных дифференциальных уравнений высших порядков. Дана информация о линейно зависимых и линейно независимых функциях, однородных линейных уравнениях с постоянными коэффициентами, методе вариации произвольных постоянных.

Побудовано асимптотичний розв'язок першої крайової задачі для лінійної сингулярно збуреної системи диференціальних рівнянь з частинними похідними параболічного типу з виродженням.

Построено асимптотическое решение первой краевой задачи для линейной сингулярно возмущенной системы дифференциальных уравнений в частных производных гиперболического типа с вырождением.

Досліджено коректність задачі з багатоточковими умовами за виділеною змінною та умовами періодичності за іншими координатами для лінійної системи рівнянь з частинними похідними зі сталими коефіцієнтами. Встановлено умови існування та єдиності розв'язку задачі, доведено метричні теореми про оцінки знизу малих знаменників, які виникають під час побудови розв'язку задачі.

We consider the large-time behavior of the solutions of a parabolic equation in a thin restangular two-layer domain. The dynamics of the problem in the thin domain is compared with the dynamics of the corresponding limit problem in a reduced domain that is a line segment. It is stated that, provided some regularity conditions are satisfied, the initial evolutionary system possesses two modes that uniquely determine its asymptotic behavior.

Досліджено властивості інтегралів типу похідних від об'ємних потенціалів, які породжуються фундаментальною матрицею розв'язків задачі Коші для <$E 2b Vec>- параболічної системи з виродженням на початковій гіперплощині.

Досліджено властивості в необмежених за часовою змінною t областях розв'язків <$E2b vec>-параболічних систем, а також крайових задач для деяких конкретних рівнянь другого порядку. Для <$E2b vec>-параболічних систем у термінах оцінок фундаментальних матриць розв'язків і матриць Гріна задачі Коші введено спеціальні <$ELAMBDA sub delta sup {m,~r }> умови, наведено приклади класів систем, які задовольняють дані умови, встановлено інтегральні зображення та оцінки розв'язків, а також коректну розв'язність задачі Коші і задачі без початкових умов відповідно в півпросторах {<$Et~>>~0>} і {<$Et~ symbol Г ~T>}. Доведено теорему про стійкість розв'язків задачі Коші та теореми типу Ліувілля. Побудовано та досліджено фундаментальні матриці розв'язків поліноміальної в'язки <$E2b vec>-еліптичних систем, породженої <$E2b vec>-параболічною системою. Для деяких конкретних рівнянь другого порядку з необмежено зростаючими за <$Esymbol Э x symbol Э ~ symbol О ~ inf> коефіцієнтами і виродженням за <$Et~ symbol О ~ - inf> встановлено інтегральні зображення розв'язків і коректну розв'язність крайових задач Діріхле та Неймана без початкових умов.

Побудовано та одержано оцінки матрицанту задачі Коші з імпульсною дією для сингулярних параболічних систем. Одержано оцінки матриці Гріна у чверті простору В-параболічної системи з імпульсною дією. Встановлено зв'язок між фундаментальними матрицями розв'язків В-параболічних і В-еліптичних систем з імпульсною дією. Доведено теореми Ліувілля для сингулярних параболічних систем. Одержано зображення розв'язку крайової задачі та задачі без початкових умов для системи рівнянь, яка містить парні похідні за однією просторовою змінною, з крайовими умовами типу Діріхле та Неймана. Встановлено існування розв'язку модельної крайової задачі та модельної крайової задачі без початкових умов для системи рівнянь, яка містить парні похідні за однією просторовою змінною, з крайовими умовами типу Діріхле та Неймана. Доведено коректність загальної крайової задачі без початкових умов, одержано оцінки та встановлено властивості фундаментального розв'язку задачі Коші та задачі з імпульсною дією для сингулярних параболічних систем з операторами Бесселя - Колмогорова. Знайдено зображення розв'язку задачі Коші для сингулярних параболічних систем з подвійним степеневим виродженням.

Для лінійної системи загальних диференціальних рівнянь п-го порядку з частинними похідними та змінними за часом неперервними коефіцієнтами у декартовому добутку часового відрізка [0,Т] і просторового р-вимірного тора розглянуто задачу з нелокальними крайовими умовами, які задаються у точках <$E t~=~0> і <$E t~=~Т>. Задача є некоректною за Адамаром і пов'язана з проблемою малих знаменників. Встановлено необхідні та достатні умови єдиності, а також достатні умови існування розв'язку задачі. Під час доведення теореми існування розв'язку використано метричний підхід.

Встановлено нові апріорні оцінки розв'язків систем диференціальних рівнянь, рівномірно еліптичних за Дуглісом - Ніренбергом в ℝⁿ. Доведено теореми про регулярність розв'язків цих системи у просторах Хермандера, що утворюють розширену соболєвську шкалу. Для широкого класу рівномірно еліптичних систем у ℝⁿ доведено теорему про нетеровість відповідного їм диференціального оператора у відповідих парах просторів Хермандера. Доведено теореми про характер розв'язності еліптичних за Дуглісом - Ніренбергом систем диференціальних рівнянь в розширеній соболєвській шкалі на гладкому замкненому багатовиді. Встановлено теореми про апріорні оцінки та регулярність розв'язків цих систем в розширеній соболєвській шкалі. Знайдено нові достатні умови неперервності узагальнених похідних заданого порядку розв'язків еліптичних систем. Для широких класів еліптичних з параметром диференціальних рівнянь і систем доведено теореми про ізоморфізми й апріорні оцінки розв'язків в розширеній соболєвській шкалі.