Одержано декомпозицію систем квазідиференціальних рівнянь з швидкими і повільними змінними.

Доведено теорему редукції для лінійних диференціальних рівнянь у банаховому просторі для випадку, коли збіжність є сильною. Цей результат використовується для одержання необхідних та достатніх умов неперервної залежності розв'язків від параметра.

Работа посвящена теории и применению обобщенных функций Лежандра. Впервые в литературе систематизированы многочисленные сведения об этих функциях, рассеянные по разным источникам. Получен ряд новых результатов, которые сформулированы в виде лемм, теорем или примеров. Представлены формулы дифференцирования и дифференциальные операторы, порождаемые обобщенным уравнением Лежандра, асимптотические формулы для обобщенных функций Лежандра в окрестностях особых точек, интегральные представления обобщенных функций Лежандра 1-го и 2-го рода. Показаны соотношения между обобщенными функциями Лежандра, функциями Бесселя, эллиптическими интегралами и неполной В-функцией, а также связь обобщенных функций Лежандра с функциями Якоби и др.

Обчислюються невласні інтеграли, що виникають при розв'язанні стаціонарних задач математичної фізики неоднорідних структур, дослідженні математичних моделей лінійних і нелінійних процесів та ін. Підінтегральні функції є суперпозицією алгебраїчних функцій, тригонометричних функцій, функцій Бесселя та функцій Лежандра і являють собою власні функції, породжені гібридними диференціальними операторами (всілякі сполучення диференціальних операторів другого порядку Фур'є, Бесселя та Лежандра на декартовій і полярній осі з точками спряження).

Для гіпергеометричних функцій Аппеля F₃ встановлено рекурентні співвідношення, на основі яких побудовано розвинення відношення цих функцій у гіллястий ланцюговий дріб. Досліджено збіжність такого розвинення.

Розглянуто відомі варіанти подання гамма-функції Ейлера, зважаючи на можливість їх використання для обчислення значень цієї функції. Експериментально досліджено вплив значень параметрів, що входять у ці подання, на точність обчислюваних значень.

Наведено елементи гамма-функції, а також лінійні диференціальні рівняння другого порядку, зокрема, рівняння Гаусса та Лежандра, інтеграл Лапласа. Розглянуто особливості сферичних функцій, зокрема, розташування їх коренів. Висвітлено питання щодо поліномів Ерміта та Лагерра, а також циліндричних функцій Бесселя І, ІІ (функція Неймана) та ІІІ (функція Ханкеля) родів.

Приведены элементы гамма-функции, а также линейные дифференциальные уравнения второго порядка, в частности, уравнения Гаусса и Лежандра, интеграл Лапласа. Рассмотрены особенности сферических функций, в частности, размещения их корней. Освещены вопросы о полиномах Эрмита и Лагерра, а также цилиндических функциях Бесселя І, ІІ (функция Неймана) и ІІІ (функция Ханкеля) родов.

Розкрито засади теорії періодичних функцій на прямокутному ромбі. Розглянуто їх основні властивості разом з їх похідними та інтегралами, властивості ортогональності та нахиленості ромбогармонічних функцій (РГФ). Висвітлено положення алгебричної тригонометрії на площині, визначено умови існування неперервної похідної від частки (добутку) двох функцій. Елементарні тригонометричні функції розкладено в ряди Фур'є за ромбічними функціями. Знайдено лінійні та нелінійні динамічні системи, що породжують РГФ з періодом 4<$Esymbol п 2>.

Раскрыты основы теории периодических функций на прямоугольном ромбе. Рассмотрены их основные свойства вместе с производными и интегралами, свойства ортогональности и наклонности ромбогармонических функций (РГФ). Освещены положения алгебраической тригонометрии на плоскости, определены условия существования непрерывной производной от частного (произведения) двух функций. Элементарные тригонометрические функции разложены в ряды Фурье по ромбическим функциям. Найдены линейные и нелинейные динамические системы, порождающие РГФ с периодом 4<$Esymbol п 2>.

Розглянуто багатопараметричні узагальнення таких класичних вже функцій як Гауссова гіпергеометрична функція, вироджена гіпергеометрична функція, Бесселева та Міттаг - Лефлерова функція. Наведено приклади застосування теорії цих функцій для розв'язання диференціальних рівнянь дробового порядку, обчислення інтегралів, побудови узагальнень гама-, бета- та дзета-функцій. Описано окремі випадки узагальнених (за Райтом) гіпергеометричних функцій. Наведено допоміжні формули та розглянуто окремі властивості Бесселевої та споріднених з нею функцій.

Рассмотрены многопараметрические обобщения таких классических уже функций как Гауссовая гипергеометрическая функция, вырожденная гипергеометрическая функция, Бесселевая и Миттаг - Лефлеровая функция. Приведены примеры применения теории данных функций для решения дифференциальных уравнений дробного порядка, исчисления интегралов, построения обобщений гамма-, бета- и дзета-функций. Описаны некоторые случаи обобщенных (по Райту) гипергеометрических функций. Приведены вспомогательные формулы и рассмотрены некоторые свойства Бесселевой и родственных с ней функций.

Розглянуто розвинення відношень гіпергеометричних функцій Лаурічелли <$E F sub D> у гіллясті ланцюгові дроби типу Ньорлунда і Гаусса. З використанням багатовимірного аналогу теореми Ворпіцького досліджено області збіжності цих розвинень у випадку довільних комплексних параметрів функцій <$E F sub D>.

Побудовано розвинення відношення гіпергеометричних функцій Лаурічелли <$E F sub D> у гіллястий ланцюговий дріб. Досліджено збіжність одержаного розвинення у випадку, коли компоненти дробу є додатними функціями в області <$E {bold z~symbol <174>~{roman R back 55 roman I} sup N~:~-1~<<~z sub j~<<0, j~=~1, N Bar}>.

Досліджено зв'язок між теорією ортогональних поліномів на одиночному колі та спектральною теорією одного класу матричних різницевих рівнянь, відомих як рівняння Сеге. Ключову роль відіграє матрична форма рекурентних відношень Сеге, які цілком визначаються послідовністю комплексних чисел з відкритого одиничного круга (кругових параметрів). Структуру мір (абсолютно безперервну та сингулярну компоненти) з повільно спадними круговими параметрами вивчено за допомогою теорії рівномірно збіжних рядів Фур'є.

Рассмотрены системы многочленов, удовлетворяющие пятичленному рекуррентному соотношению, которое в матричной форме может быть записано в виде <$E J sub 5 p( lambda )~=~lambda sup 2 p( lambda )>, где <$E p( lambda )~=~ (p sub 0 ( lambda ),~p sub 1 ( lambda ),..., p sub n ( lambda ),...) sup T> - вектор из многочленов, <$E J sub 5> - полубесконечная пятидиагональная эрмитова матрица. Рассмотрены многочлены такого вида, которые кроме этого удовлетворяют соотношению <$E J sub 3 p~=~lambda p>, где <$E J sub 3> - якобиева матрица. Получен параметрический вид некоторых таких систем и матриц. Для некоторых систем также получены соотношения ортонормированности.

Досліджено збіжність гіллястого ланцюгового дробу типу Ньорлунда, що є розвиненням, відношення гіпергеометричних функцій Лаурічелли <$E F sub D sup (N) ~(a,~b sub 1 ,~b sub 2 ...,~b sub N ;~c;~z sub 1 ,~z sub 2 ...,~z sub N )> в області {<$E Re~z sub k ~<<~1 "/" 2,~k~=~{1,~N} Bar>} за умови, що <$E a~symbol У~0,~b sub i ~symbol У~0~(i~=~{1,~N} Bar>, <$E 2c~symbol У~a~+~b sub 1 ~+~b sub 2 ~+~...~+~b sub N ~+~1>.

Зазначено, що ортогональні поліноми на одиничному колі повністю визначаються своїми круговими параметрами за допомогою рекурентних відношень Сеге. Досліджено дискретний спектр (множину точкових мас) мір, які задані своїми круговими параметрами. Суттєво відрізняються випадки, коли ці параметри збігаються до нуля або до ненульового комплексного числа з відкритого одиничного кола. Наведено нові приклади сингулярних неперервних мір у термінах їх кругових параметрів.

Досліджено збіжність у вузькому розумінні ланцюгового дробу, в який розвивається відношення гіпергеометричних функцій Гаусса <$E {F ( a ,^b ;^c ;^z )} over {F ( a~+~1 ,~b~+~1 ;~c~+~1 ;~z )}>. Установлено оцінку швидкості збіжності.

Досліджено збіжність гіллястого ланцюгового дробу типу <$E roman {N o dotdot rlund'a}>, що є розвиненням відношення гіпергеометричних функцій Лаурічелли <$E F sub D sup (N)>(<$E a,~b sub 1 ,~b sub 2 ,...,~b sub N ;~c;~z sub 1 ,~z sub 2 ,...,~z sub N>), в області {<$E z sub k~<<~1 "/" 2,~k~=~{1,~N} Bar>} за умови, що <$E a~>>~0,~c~>>~0,~b sub i~>>~0~(i~=~{1,~N} Bar )>, <$E 2c~>>~a~+~b sub 1~+~b sub 2~+ ... +~b sub N~+~1>.

Исследованы свойства симметричных полиномов Лежандра - Соболева, ортогональных относительно индефинитной билинейной формы. Показано, что эти полиномы порождают пространство Понтрягина - Соболева с рангом индефинитности, равным 2.

We present an informal discussion of recent results on the asymptotic behaviour of orthogonal polynomials, in particular orthogonal polynomials with varying weight, emphasizing links with spectral theory. We apply some of these results to find the leading term of the covariance of linear statistics of certain unitary invariant ensembles of random matrix of large order.