Обчислюються невласні інтеграли, що виникають при розв'язанні стаціонарних задач математичної фізики неоднорідних структур, дослідженні математичних моделей лінійних і нелінійних процесів та ін. Підінтегральні функції є суперпозицією алгебраїчних функцій, тригонометричних функцій, функцій Бесселя та функцій Лежандра і являють собою власні функції, породжені гібридними диференціальними операторами (всілякі сполучення диференціальних операторів другого порядку Фур'є, Бесселя та Лежандра на декартовій і полярній осі з точками спряження).

Розкрито засади теорії періодичних функцій на прямокутному ромбі. Розглянуто їх основні властивості разом з їх похідними та інтегралами, властивості ортогональності та нахиленості ромбогармонічних функцій (РГФ). Висвітлено положення алгебричної тригонометрії на площині, визначено умови існування неперервної похідної від частки (добутку) двох функцій. Елементарні тригонометричні функції розкладено в ряди Фур'є за ромбічними функціями. Знайдено лінійні та нелінійні динамічні системи, що породжують РГФ з періодом 4<$Esymbol п 2>.

Раскрыты основы теории периодических функций на прямоугольном ромбе. Рассмотрены их основные свойства вместе с производными и интегралами, свойства ортогональности и наклонности ромбогармонических функций (РГФ). Освещены положения алгебраической тригонометрии на плоскости, определены условия существования непрерывной производной от частного (произведения) двух функций. Элементарные тригонометрические функции разложены в ряды Фурье по ромбическим функциям. Найдены линейные и нелинейные динамические системы, порождающие РГФ с периодом 4<$Esymbol п 2>.

Гіперболічні функції приведено до матричної форми, що дозволяє одержати функцїї гіперболічного типу. Наведено деякі випадки їх використання.

This is the first in a series of four papers which are entitled: I. The Stokes structure in asymptotic analysis I: Bessel, Weber and hypergeometric functions. II. The Stokes structure in asymptotic analysis II: generalized Fourier (Borel)-Laplace transforms. III. The Stokes structure in asymptotic analysis III: remainders and principle of functional closure. IV. The Stokes structure in asymptotic analysis IV: Stokes' phenomenon and connection coefficients. They introduce a methodology for the asymptotic analysis of differential equations with polynomial coefficients which also provides a further insight into the Stokes' phenomenon. This approach consists of a chain of steps based on the concept of the Stokes structure an algebraic-analytic structure, the idea of which emerges naturally from the monodromic properties of the Gauss hypergeometric function, and which can be treated independently of the differential equations, and Fourier-like transforms adjusted to this Stokes structure. Every step of this approach, together with all its exigencies, is illustrated by means of the non-trivial treatment of Bessel's and Weber's differential equations. It will be the aim of our future series of papers to extend this approach to matrix differential equations. It is our great pleasure to publish this series of papers in our home town and to dedicate it to the memory of our dear teacher, Naum Il'ich Akhiezer, who taught us the basic knowledge of the theory of transcendental functions and inculcated in us the taste and the love for this theory.

Запропоновано метод підсумовування поліпараметричної сім'ї функціональних рядів за власними елементами гібридного диференціального оператора Лежандра - Бесселя - Ейлера. Використано порівняння розв'язку крайової задачі на сегменті полярної осі з двома точками спряження для сепаратної системи з диференціальних рівнянь Лежандра, Бесселя, Ейлера, побудованого, з одного боку, за допомогою методу функцій Коші, а з іншого - методу скінченного гібридного інтегрального перетворення Лежандра - Бесселя - Ейлера.

Одержано нові рекурентні формули та формули диференціювання для узагальненої функції Фокса - Райта, окремими випадками якої є функція Фокса - Райта, узагальнені гіпергеометричні функції, функції Міттаг - Лефлера, узагальнення функцій Бесселя тощо.

Досліджено особливості рядів Тейлора спеціальних Ateb-функцій. Побудовано розклади у ряди Тейлора функцій sa(n, m, w) і ca(m, n, w) для окремих значень параметрів n, m.

Запропоновано узагальнені форми ультраекспоненціальних та інфралогарифмічних функцій, що були введені і вивчені раніше, та наведено два класи спеціальних функцій - ультраекспоненціального та інфралогарифмічного f-типу. В результаті досліджень одержано загальний розв'язок рівняння Абеля <$E alpha (f(x))~=~alpha (х)~+~1> за певних умов для реальної функції f і доведено нову цілком іншу теорему єдиності для рівняння Абеля з твердженням про те, що функція інфралогарифмічного f-типу є єдиним розв'язком цього рівняння. Також показано, що функція інфралогарифмічного f-типу є суттєво єдиним розв'язком рівняння Абеля. Подібні теореми доведено для функцій ультраекспоненціального f-типу та їх функціонального рівняння <$E beta (x)~=~f ( beta (х~-~1))>, яке можна вважати дуальним для рівняння Абеля. Також розв'язано задачу, що не була розв'язана до теперішнього часу, вивчено властивості двох розглядуваних функціональних рівнянь та деякі співвідношення між ними.

Індекс рубрикатора НБУВ: В161.63

Рубрики:

Спеціальні функції

Шифр НБУВ: Ж22412/а Пошук видання у каталогах НБУВ 

A development of the constructive properties of atomic functions which are related to the geometric features of domains, where an approximation process is considered, is suggested.

Запропоновано новий клас спеціальних функцій, які є комбінаціями показникових функцій з довільною основою та різним знаком показника. Підтверджено доцільність їх застосування до побудови та аналізу нелінійних дискретних моделей коливних систем з метою розширення діапазону можливих динамічних режимів.

Нехай IHn означає (2n + 1)-вимірну групу Гейзенберга, а K - компактну підгрупу Aut(IHn), групу автоморфізмів IHn. Доведено, що алгебра радіальних функцій на IHn і алгебра сферичних функцій, що виникають з пар Гельфанда у формі (K, IHn), є алгебрично ізоморфними.

Індекс рубрикатора НБУВ: В152.3 + В161.63

Рубрики:

Групи. Нескінченні групи

Спеціальні функції

Шифр НБУВ: Ж14648 Пошук видання у каталогах НБУВ 
Повний текст  Наукова періодика України 

M. G. Krein established a close connection between the continuation problem of positive definite functions from a finite interval to the real axis and the inverse spectral problem for differential operators. In this note we study such a connection for the function <$E f(t)~=~1~-~|t|,~t~<174>~ bold roman R>, which is not positive definite on <$E bold roman R>: its restrictions <$E f sub a ~:=~f| sub {(-2a,2a)}> are positive definite if <$E a~symbol Г~1> and have one negative square if <$E a~>>~1>. We show that with f a canonical differential equation or a Sturm-Liouville equation can be associated which have a singularity.

We investigate the subclass of symmetric indefinite Hermite - Biehler functions which is obtained from positive definite Hermite - Biehler functions by means of the square-transform. It is known that functions of this class can be characterized in terms of location of their zeros. We give another, more elementary and geometric, proof of this result. The present proof employs a "shifting-of-zeros" perturbation method. We apply our results to obtain information on the eigenvalues of a concrete boundary value problems.

In the present paper we study *-representations of semilinear relations with polynomial characteristic functions. For any finite simple non-oriented graph <$E GAMMA> we construct a polynomial characteristic function such that <$E GAMMA> is its graph. Full description of graphs which satisfy polynomial (degree one and two) semilinear relations is obtained. We introduce the G-orthoscalarity condition and prove that any semilinear relation with quadratic characteristic function and condition of G-orthoscalarity is *-tame. This class of relations contains, in particular, *-representations of <$E U sub q (so(3))>.