Для гіпергеометричних функцій Аппеля F₃ встановлено рекурентні співвідношення, на основі яких побудовано розвинення відношення цих функцій у гіллястий ланцюговий дріб. Досліджено збіжність такого розвинення.

Розглянуто розвинення відношень гіпергеометричних функцій Лаурічелли <$E F sub D> у гіллясті ланцюгові дроби типу Ньорлунда і Гаусса. З використанням багатовимірного аналогу теореми Ворпіцького досліджено області збіжності цих розвинень у випадку довільних комплексних параметрів функцій <$E F sub D>.

Побудовано розвинення відношення гіпергеометричних функцій Лаурічелли <$E F sub D> у гіллястий ланцюговий дріб. Досліджено збіжність одержаного розвинення у випадку, коли компоненти дробу є додатними функціями в області <$E {bold z~symbol <174>~{roman R back 55 roman I} sup N~:~-1~<<~z sub j~<<0, j~=~1, N Bar}>.

Досліджено збіжність гіллястого ланцюгового дробу типу Ньорлунда, що є розвиненням, відношення гіпергеометричних функцій Лаурічелли <$E F sub D sup (N) ~(a,~b sub 1 ,~b sub 2 ...,~b sub N ;~c;~z sub 1 ,~z sub 2 ...,~z sub N )> в області {<$E Re~z sub k ~<<~1 "/" 2,~k~=~{1,~N} Bar>} за умови, що <$E a~symbol У~0,~b sub i ~symbol У~0~(i~=~{1,~N} Bar>, <$E 2c~symbol У~a~+~b sub 1 ~+~b sub 2 ~+~...~+~b sub N ~+~1>.

Досліджено збіжність у вузькому розумінні ланцюгового дробу, в який розвивається відношення гіпергеометричних функцій Гаусса <$E {F ( a ,^b ;^c ;^z )} over {F ( a~+~1 ,~b~+~1 ;~c~+~1 ;~z )}>. Установлено оцінку швидкості збіжності.

Досліджено збіжність гіллястого ланцюгового дробу типу <$E roman {N o dotdot rlund'a}>, що є розвиненням відношення гіпергеометричних функцій Лаурічелли <$E F sub D sup (N)>(<$E a,~b sub 1 ,~b sub 2 ,...,~b sub N ;~c;~z sub 1 ,~z sub 2 ,...,~z sub N>), в області {<$E z sub k~<<~1 "/" 2,~k~=~{1,~N} Bar>} за умови, що <$E a~>>~0,~c~>>~0,~b sub i~>>~0~(i~=~{1,~N} Bar )>, <$E 2c~>>~a~+~b sub 1~+~b sub 2~+ ... +~b sub N~+~1>.

Розв'язано задачу оцінювання надійності для моделі тиск - сила <$E R ~=~ roman Pr ~(X sub 2 ~<<~X sub 1 )>, де <$E X sub 1> roman і <$E X sub 2> - незалежні випадкові змінні, що відносяться до однієї одновимірної родини розподілів. Для більшості відомих стандартних розподілів розроблено алгебричну форму <$E R~=~ roman Pr~(X sub 2 ~<<~ X sub 1 )>. Розглянуто декілька логістичних розподілів та одержано відповідні форми надійності R з множини розподілів (включаючи узагальнення відомих), для яких форму R не знайдено.

На основі застосування методу моментів установлено інтегральні зображення гіпергеометричної функції <$E nothing sub 1 F sub 1 (a;c;z)>, а також інтегральні зображення її розділеної різниці. Ці зображення одержано для значень параметрів, відмінних від відомих раніше. Одержано інтегральні зображення похідних розглянутої гіпергеометричної функції.

На підставі застосування методу моментів установлено інтегральні зображення гіпергеометричної функції <$E nothing sub 2 F sub 1> (a, b; c; z), а також інтегральні зображення її розділеної різниці. Ці зображення одержано для значень параметрів, відмінних від відомих раніше. Одержано інтегральні зображення похідних від функції <$E nothing sub 2 F sub 1> (a, b; с; z).

Розглянуто нове узагальнення конфлюентної гіпергеометричної функції. Подано застосування цієї функції до узагальнень <$E GAMMA>-, B-, <$E psi>-, <$E zeta>-функцій, інтегральних перетворень Ламберта, Гурвіца, Мелліна, Ейлера.

Розглянуто узагальнені (за Райтом) гіпергеометричні функції, та їх застосування в теорії спеціальних функцій, теорії інтегральних рівнянь. Надано стислий огляд наукових досліджень з цієї та спорідненої тематики за останнє десятиріччя.

Запроваджено нове узагальнення гіпергеометричної функції Гаусса, досліджено основні її властивості, наведено застосування.

Установлено та доведено деякі нові рекурентні співвідношення для гіпергеометричних функцій Апеля <$E F sub 1>. Запропоновано техніку, що дає можливість записати узагальнену формулу у випадку багатовимірної гіпергеометричної функції Лаурічелли <$E F sub D sup (N)>. Наведено приклад такої формули у випадку N = 3.

Розглянуто (<$E tau ,~beta>)-узагальнення функцій гіпергеометричного типу за Райтом. Одержано асимптотичні розвинення, нові властивості та застосування цих функцій у теорії дробового інтегродиференціювання.

Побудовано диференційне рівняння для багатопараметричної функції типу Міттаг - Лефлера <$EHE sub { mu sub { symbol <94> } ,..., mu sub r } sup { lambda sub { symbol <94> } ,..., lambda sub r } (z)>. Встановлено низку рекурентних, диференційних та інтегральних співвідношень для цієї функції. Одержано інтегральні зображення для багатопараметричної функції типу Міттаг - Лефлера. Обчислено низку інтегралів з багатопараметричними функціями. Розв'язано багатовимірні інтегральні рівняння. Знайдено розв'язок задачі типу Коші для диференційного рівняння дробового порядку. Запропоновано нову термінологію щодо функцій даного класу.

Встановлено нові рекурентні співвідношення для гіпергеометричних функцій Лаурічелли <$EF sub D>, на основі яких побудовано розвинення відношення даних функцій у гіллясті ланцюгові дроби, зокрема створено багатовимірний аналог неперевного дробу типу Ньорлунда. Визначено ознаки збіжності гіллястих ланцюгових дробів, у які розвиваються відношення гіпергеометричних функцій Лаурічелли. Досліджено області збіжності та рівномірної збіжності даних дробів, знайдено оцінки похибок апроксимацій їх похідними дробами. Вперше встановлено багатовимірний аналог теореми Ньорлунда про збіжність та відповідність неперервного дробу, в який розвивається відношення функцій Гаусса. Доведено збіжність гіллястого ланцюгового дробу типу Ньорлунда до функції, що є аналітичним продовженням відношення функцій Лаурічелли.

Одержано диференціальні формули для q-інтегрального зображення (<$E tau ,~beta>)-узагальненої гіпергеометричної функції. Для цього розглянуто нові (<$E tau ,~beta>)-узагальнені гіпергеометричні функції <$E nothing sub 2 sup q F sub 1 sup {tau ,~beta}> (a, b; c; z) і <$E nothing sub 3 sup q F sub 2 sup {tau , beta}> (a, b1, b2; c1, c2; z). З використанням властивості інтеграла q-бета-функції для функції <$E nothing sub 3 sup q F sub 2 sup {tau , beta} (z)> одержано q-інтегральне зображення. За допомогою апарату теорії дробового диференціювання одержано ряд формул q-дробового диференціювання для нових узагальнених гіпергеометричних функцій. Одержані результати дозволяють широко застосовувати функції <$E nothing sub 2 sup q F sub 1 sup {tau , beta} (z)> і <$E nothing sub 3 sup q F sub 2 sup {tau , beta} (z)> для розв'язання задач математичної фізики, диференціальних та інтегральних рівнянь, теорії ймовірностей і математичної статистики тощо.

Розглянуто інтегральні оператори з узагальненими функціями гіпергеометричного типу в ядрі, зокрема, (<$E tau ,~beta>) і <$E tau>-узагальненими гіпергеометричними функціями Гаусса та (<$E tau ,~beta>) узагальненою функцією Куммера. Одержано композиційні співвідношення для запроваджених операторів з дробовими інтегралом і похідною Ліувілля.

Розглянуто <$E tau>-узагальнену (за Райтом) функцію Лежандра <$E nothing sup tau {roman P} sub k sup m,n (z)>. Сформульовано та доведено теореми про композиційні співвідношення та формули диференціювання для цієї функції, використовуючи відомі властивості <$E tau>-узагальненої (за Райтом) гіпергеометричної функції Гаусса <$E nothing sub 2 sup tau roman F sub 1 (a,~b;~c;~xi )> і зв'язок функцій <$E nothing sup tau {roman P} sub k sup m,n (z)> і <$E nothing sub 2 sup tau roman F sub 1>.

Розглянуто <$E tau>-узагальнену (за Райтом) гіпергеометричну функцію Гаусса <$E nothing sub 2 F sub 1 sup tau> (a, b; c; z). Сформульовано і доведено лему про композиційні співвідношення для <$E nothing sub 2 F sub 1 sup tau> (a, b; c; z) та її суміжних функцій. Доведення грунтується на використанні зображення даної функції у вигляді ряду, а також деяких властивостей класичної гамма-функції. Доведені формули є узагальненням відповідних відомих співвідношень для класичної гіпергеометричної функції Гаусса <$E nothing sub 2 F sub 1> (a, b; c; z), з якою розглянута <$E tau>-узагальнена функція <$E nothing sub 2 F sub 1 sup tau> (a, b; c; z) збігається у випадку <$E tau~=~1>.