Наведено необхідні та достатні умови існування та єдиності обмеженого на осі розв'язку лінійного диференціального рівняння зі зсувами аргументу в банаховому просторі за умови обмеженості правої частини рівняння. Розглянуто й узагальнено деякі факти теорії узагальнених функцій повільного зростання на випадок операторно значних основних функцій. Запропоновано конструкцію регулярних узагальнених функцій зі значеннями у банаховому просторі. Отримані результати застосовано для опису повільно зростаючих розв'язків лінійного диференціального рівняння з одним зсувом аргументу та обмеженим операторним коефіцієнтом у випадку невиконання необхідних і достатніх умов існування і єдиності обмеженого розв'язку. Одержано достатні умови існування обмеженого розв'язку нелінійного диференціального рівняння зі зсувами аргументу у випадках обмеженого та необмеженого операторного коефіцієнта за умови обмеженості правої частини рівняння. Розглянуто функціональну область розв'язку. Наведено умови, за яких існує кілька різних обмежених розв'язків рівняння.

Проведено дослідження вироджених нелінійних різницевих рівнянь у банахових просторах. Побудовано обмежений напівінваріантний многовид та наближене відшукання періодичних розв'язків рівнянь вказаного типу. Знайдено достатні умови продовжуваності "вліво" розв'язків нелінійних вироджених рівнянь першого та m-го порядків у абстрактному банаховому просторі. Для випадку відсутності можливості продовжити "вліво" розв'язки вказаних рівнянь потрібним чином побудовано відповідні збурені рівняння. Одержано достатні умови, за яких вироджена нелінійна система різницевих рівнянь визначає обмежений напівінваріантний многовид у банаховому просторі обмежених числових послідовностей <$Eroman bold m>, знайдено достатні умови гладкості даного многовиду. Досліджено питання існування періодичних розв'язків нелінійних різницевих рівнянь першого та другого порядку в абстрактному банаховому просторі та запропоновано нову методику наближеної побудови даних розв'язків. Для нелінійних різницевих рівнянь другого порядку в просторі <$Eroman bold m> періодичну задачу керування редуковано на скінченновимірний випадок, тобто періодичні розв'язки побудованих на їх основі збурених рівнянь спеціального виду одержано у послідовності періодичних розв'язків відповідних збурених укорочених різницевих рівнянь (у скінченновимірних просторах) за допомогою покоординатного граничного переходу в процесі необмеженого зростання розмірності даних просторів.

  Скачати повний текст

Індекс рубрикатора НБУВ: В161.921,0 + В162.631,0

Рубрики:

Скінченні різниці і скінченно-різницеві рівняння

Диференціальні та інтегральні рівняння в функціональних просторах

Шифр НБУВ: РА339998 Пошук видання у каталогах НБУВ 

Розглянуто задачу Соболева, у якій граничні умови задано лінійними диференціальними виразами на багатовидах різних розмірностей. Досліджено у повних банахових шкалах еліптичну, еліптичну з параметром і параболічну задачі Соболева для одного рівняння та системи структури Дугліса - Ніренберга. Для них одержано умови існування узагальненого розв'язку та доведено теореми про повний набір ізоморфізмів.

Розглянуто початкові задачі для квазілінійного диференціального рівняння у банаховому просторі і для диференціально-різницевого рівняння у скінченновимірному просторі. Рівняння з'являються сингулярними у значенні Кронекера. Одержано теореми існування, теореми єдиності, теореми існування та єдиності. Описано початкові багатовиди. Розглянуто застосування результатів щодо дослідження мішаних задач для рівнянь у частинних похідних і до аналізу нелінійних електричних ланцюгів.

Наведено комплексний метод оберненої задачі розсіяння та дослідження несамоспряжених пар Лакса для системи Кортевега - де Фріза. Встановлено зв'язок між розв'язанням даної задачі та спектральністю деякого оператора Шредінгера у відповідному гільбертовому просторі квадратично інтегрованих функцій. Визначено умови комплексного потенціалу зазначеного оператора, за яких він є спектральним за Данфордом - Бейдом.

Приведен комплексный метод обратной задачи рассеивания и исследования несамоспряженных пар Лакса для системы Кортевега - де Фриза. Установлена связь между решением данной задачи и спектральностью некоторого оператора Шредингера в соответствующем гильбертовом пространстве квадратически интегрированных функций. Определены условия комплексного потенциала указанного оператора, при которых он является спектральным по Данфорду - Бейду.

Досліджено асимптотичні властивості розв'язків нелінійних диференціальних, різницевих та диферецніально-функціональних рівнянь у банаховому просторі. З'ясовано умови стійкності, нестійкості, істотної нестійкості, глобальних стійкості та нестійкості розв'язків диференціальних, різницевих і диференціально-функціональних рівнянь та запропоновано нові функціонально-аналітичні методи їх аналізу. Особливу увагу приділено новим теоремам про стійкість і нестійкість розв'язків еволюційних рівнянь за лінійним наближенням та їх дослідженню у випадку дійсного банахового простору.

Исследованы асимптотические свойства решений нелинейных дифференциальных, разностных и дифференциально-функциональных уравнений в банаховом пространстве. Определены условия устойчивости, неустойчивости, существенной неустойчивости, глобальных устойчивости и неустойчивости решений дифференциальных, разностных и дифференциально-функциональных уравнений и предложены новые функционально-аналитические методы их анализа. Особое внимание уделено новым теоремам об устойчивости и неустойчивости решений эволюционных уравнений с линейным приближением и их исследованиям при условиях действительного банахового пространства.

Наведено допоміжні відомості з курсу функціонального аналізу, надано означення й описано властивості лінійних функціоналів, розглянуто поняття сильної та слабкої збіжності послідовностей у банахових просторах. Акцентовано увагу на соболєвському просторі та властивостях оператора Немицького. Розглянуто теореми про нерухомі точки відображень у скінченновимірних і банахових просторах - класичні теореми Брауера та Шаудера, а також узагальнення теореми Шаудера на більш широкий у порівнянні з компактними клас ущільнювальних операторів. Наведено приклади застосування розвиненої теорії до дослідження існування розв'язків задач Коші та Діріхле для звичайних диференціальних рівнянь. Вміщено основні результати теорії монотонних операторів. Введено поняття гальоркінських наближень, за допомогою яких доведено теорему існування розв'язків рівняння з монотонним оператором. Розглянуто умову сильної монотонності, що гарантує сильну збіжність послідовності гальоркінських розв'язків. На прикладі задачі Діріхле для нелінійного диференціального рівняння з частинними похідними дивергентного вигляду показано як "працюють" абстрактні теореми для монотонних операторів. Розглянуто топологічний метод дослідження нелінійних задач. Послідовно введено поняття топологічного ступеня відображення.

Дисертацію присвячено дослідженню інваріантних підмноговидів та їх вкладень у фазові простори, а також слабким і повільним збуренням скінченновимірних редукцій цілком інтегровних гамільтонових систем. Досліджено проблему вкладення інтегральних підмноговидів гамільтонових систем на неканонічно симплектичних кодотичних многовидах, розвинуто теорію Пуанкаре - Картана трансверсального розщеплення асимптотичних лагранжевих многовидів для слабко та повільно збурених гамільтонових систем.

Дисертацію присвячено узагальненню та розвитку градієнтно-голономного алгоритму дослідження операторних, інверсних, неоднорідних та слабозбурених нелінійних динамічних систем. Доведено повну інтегровність основних і спеціально побудованих інверсних нелінійних гідродинамічних моделей. На підставі диференціально-геометричної теорії Картана диференціальних ідеалів алгебр Грассмана над асоційованим джет-многовидом запропоновано загальний підхід до проблеми редукції нескінченновимірних інтегровних динамічних систем та скінченновимірні інваріантні підмноговиди та дано його практичну реалізацію.

Дисертацію присвячено побудові конструктивного представлення розв'язків диференціальних рівнянь першого та другого порядків із змінними операторними коефіцієнтами. Розглядається абстрактна задача Коші для диференціального рівняння першого порядку та перша крайова задача для диференціального рівняння другого порядку в гільбертовому та банаховому просторах. На основі знайдених конструктивних представлень розв'язків зазначених задач побудовані чисельні методи, для яких знайдено достатні умови, що забезпечують їх двосторонність. Знайдені оцінки точності цих методів, які носять явний характер і дозволяють за рахунок вибору параметрів дискретизації забезпечити потрібну точність при порівняно невеликих обчислювальних витратах. Встановлено достатні умови, що гарантують експоненціальну швидкість збіжності запропонованих методів.

В дисертації встановлено необхідні та достатні умови експоненціальної стійкості і е-дихотомічності з матричним проектором зліченних систем, досліджено питання існування і гладкості інваріантних тороїдальних многовидів зліченних систем з запізненням, теоретично обгрунтований і описаний алгоритм асимптотичного розкладу m-параметричної сім'ї розв'язків деяких класів квазілінійних систем диференціальних рівнянь, а також систем з запізненням.

Проаналізовано структуру алгебр Лі узагальнених симетрій (УС) (1 + 1)-вимірних еволюційних рівнянь (ЕР) порядку n >= 2 та невироджених слабко діагоналізованих систем таких ЕР. Отримано достатні умови відсутності поліноміальних за часом (окрім стаціонарних) УС достатньо високого порядку для інтегрованих (1 + 1)-вимірних ЕР порядку n >= 2 з незалежними від часу t коефіцієнтами, що володіють нетривіальними канонічними щільностями законів збереження, а також для неінтегрованих ЕР та знайдено всі УС рівняння Гаррі Дима, модифікованого рівняння КдФ і деяких інших рівнянь. Описано загальний вигляд залежності від просторової змінної x УC (1 + 1)-вимірних ЕР порядку n >= 2, інваріантних відносно зсуву за x. Для широкого класу таких ЕР (зокрема, для ЕР зі сталою сепарантою) з незалежними від t коефіцієнтами знайдено достатню умову (квазі)поліноміальності за t їх УС. Наведені результати узагальнено на випадок невироджених слабко діагоналізованих систем (1 + 1)-вимірних ЕР порядку n >= 2. Розглянуто узагальнене модифіковане рівняння Штюкельберга для випадку поля Кулона. Знайдено рівні та стани дискретного енергетичного спектра та виявлено приховану парасуперсиметрію даної задачі за певних значень параметрів.

Дисертацію присвячено розвитку теорії диференціальних та псевдодиференціальних операторів на нескінченновимірних многовидах. Головна увага приділяється розвитку ймовірнісного підходу до еліптичних диференціальних операторів на нескінченних продакт-многовидах та асимптотичним методам дослідження псевдодиференціальних операторів з символами на гільбертовому просторі (або многовиді). Зокрема, побудовані фелерові півгрупи, що асоційовані з операторами Діріхле гіббсівських мір на продакт-многовидах. Побудовано символьне числення для важливого класу псевдодиференціальних операторів з гільбертовим фазовим простором та квазікласичні розв'язки відповідних рівнянь Шредінгера. Побудовано функтор асимптотичного квантування класу нескінченновимірних симплектичних многовидів.

Досліджено методи розв'язання нелінійних межових задач і теорію диференціально-операторних рівнянь і включень II порядку в нескінченновимірних просторах з некоерцитивними багатозначними відображеннями <$Ew sub { labda sub 0 }> псевдомонотонного типу. Розглянуто диференціально-операторні рівняння та включення II порядку. Одержано нові результати про розв'язність диференціально-операторних рівнянь з некоерцитивними <$Ew sub { labda sub 0 }>-псевдомонотонними відображеннями. Для диференціально-операторних включень розв'язність доведено за методом Фаедо - Гальоркіна та методом сингулярних збурень. Розроблено некорецитивну теорію для диференціально-операторних рівнянь і включень II порядку з некоерцитивними відображеннями <$Ew sub { labda sub 0 }> псевдомонотонного типу. У процесі доведення розв'язання для зазначених об'єктів одержано певні проміжні твердження, що мають самостійне значення.

Розглянуто метод одержання повних асимптотичних розвинень для власних функцій та власних значень одно- та багатовимірних крайових спектральних задач для еліптичних рівнянь другого та вищого порядків із швидко змінними коефіцієнтами. Головною новою розробкою є алгоритм отримання формальних асимптотичних розв'язків таких задач, який відповідає за розщеплення чи нерозщеплення на кожному кроці наближення власних значень, що були кратними на попередньому кроці. Для випадку областей з межею показано, яким чином можуть бути враховані явища поблизу неї завдяки побудові пограничного шару. Одержані формально асимптотичні розв'язки в кожному із розглянутих випадків обгрунтовано та впорядковано шляхом розгляду компактних самоспряжених операторів у відповідних функціональних просторах. Продемонстровано особливості таких частинних випадків: задачі з однорідно швидко змінними коефіцієнтами, одновимірні задачі.

Узагальнено теорему Лі про диференціальні інваріанти однопараметричних груп локальних перетворень у просторі багатьох незалежних і залежних змінних. Висвітлено проблему взаємодії частинки довільного спіну з полем Кулона. Наведено групову класифікацію галілей-інваріантних рівнянь високого порядку. Детально проаналізовано симетричні властивості та точні розв'язки системи рівнянь рідини Ван-дер-Ваальса. Значну увагу приділено новим точним розв'язкам нелінійного рівняння Даламбера у псевдоевклідовому просторі R_2,2, а також відокремленню змінних у системі стаціонарних рівнянь Шрьодінгера - Лапласа. Запропоновано інтеграційний проекційний метод розв'язування двовимірних задач термоконвекції рідини з вибором кроку за часом для всього часового проміжку.

Викладено результати, що стосуються проблеми локалізації Рімана у класах квазіаналітичних та неквазіаналітичних періодичних і неперіодичних узагальнених функцій. Наведено застосування принципу локалізації до розв'язків деяких крайових задач та задачі Коші для рівнянь параболічного типу, а також у теорії рядів Фур'є узагальнених періодичних функцій, підсумованих лінійними регулярними методами.

Досліджено диференціальні рівняння, системи диференціальних рівнянь та крайові задачі з суттєво нескінченновимірними операторами (типу Лапласа - Леві). Доведено абстрактні теореми Пікара та відстежено паралель між теорією нелінійних диференціальних рівнянь (та систем) з нерегулярними та суттєво нескінченновимірними еліптичними операторами та теорією звичайних нелінійних диференціальних рівнянь. Для лінійних диференціальних рівнянь (та систем) доведено теореми існування та єдиності, а за можливості надано явні формули розв'язків. Запропоновано лінійну систему диференціальних рівнянь з операторними коефіцієнтами (многочленами від нерегулярного еліптичного оператора) й одержано аналоги формул Крамера. Для нелінійних крайових задач доведено існування й єдиність розв'язків, для лінійних крайових задач одержано явні формули.

Робота присвячена дослідженню у нормованих просторах Діні параболічних систем з оператором Бесселя (B-параболічних систем), які вироджуються на межі області та близькі за внутрішніми властивостями до рівномірно параболічних систем. Досліджується задача Коші та фундаментальні матриці розв'язків (ф.м.р.), вивчається загальна B-параболічна крайова задача в компактній області, задача з ваговими крайовими умовами в півпросторі, нелокальні крайові задачі та задачі оптимального керування. Методом редукції до інтегральних рівнянь знайдено класичний розв'язок задачі Коші при мінімальних обмеженнях на модулі неперервності коефіцієнтів, правої частини і початкової функції. Різними способами побудовано ф.м.р. систем з неперервними за Діні коефіцієнтами, вивчено властивості інтегральних операторів типу операторів дробового диференціювання та інтегрування у просторах Діні, які застосовані до встановлення коректності крайових задач в компактній області. Розв'язано основні задачі математичної фізики і загальну B-параболічну задачу з вагомими крайовими умовами. Побудовано функції Гріна задач з нелокальними крайовими умовами і доведено критерії оптимальності для задач керування з інтегральним функціоналом якості.

Для операторно-диференціального рівняння u_tt = -Lu, де L - додатний самоспряжений оператор в абстрактному гільбертовому просторі Н, вивчається пряма та обернена задачі в нестаціонарній теорії розсіяння.