Запропоновано узагальнення класичної теореми Лерея - Шаудера про нерухому точку, що грунтується на нескінченновимірній конструкції антиподів типу Борсука - Улама. Наведено нестандартне доведення класичної теореми Лерея - Шаудера про нерухому точку та досліджено багатовид розв'язків нелінійного рівняння типу Гамільтона - Якобі.

Вивчено умови асимптотичної еквівалентності диференціальних рівнянь у гільбертових просторах. Розглянуто також зв'язок між властивостями розв'язків диференціальних рівнянь трикутної форми та неповних диференціальних рівнянь.

Розроблено ітераційну регуляризацію Ньютона - Канторовича для нелінійних некоректних рівнянь з монотонним оператором у гільбертових просторах для випадку акретивного оператора в банахових просторах. Встановлено оцінки швидкостей збіжності методу.

Для операторно-диференціального рівняння u_tt = -Lu, де L - додатний самоспряжений оператор в абстрактному гільбертовому просторі Н, вивчається пряма та обернена задачі в нестаціонарній теорії розсіяння.

Досліджено клас параболічних рівнянь зі зваженими інтегральними умовами. Показано існування, однозначність та неперервну залежність розв'язку від даних. Введено нові функціональні простори для встановлення апріорних оцінок і доведено, що область лінійного оператора, яка відповідає абстрактному формулюванню розглянутої задачі, не має ортогонального доповнення.

В обмеженій області G з межею dG, що складається з компонент різних розмірностей, розглядається еліптична гранична задача. Порядки граничних виразів довільні, вони псевдодиференціальні вздовж dG. Задача вивчається в повних шкалах банахових просторів. Доведено теорему про повний набір ізоморфізмів та розглянуто її застосування. Результати залишаються вірними для еліптичних з параметром і параболічних задач Соболева, а також для структури Дугліса - Ніренберга.

У повних шкалах Банахових просторів розглянуто проблему Соболєва з параметром, де замість умови Нетер має місце однозначна розв'язність для великих значень параметра. Доведено розв'язність параболічних задач Соболєва у повних Банахових шкалах.

Продовжено тематику попередніх статей, де викладено матеріалти щодо деяких класів рівнянь з похідними Карліца відносно <$E bold roman F sub q>-лінійних функцій над функціональним полем, які є природними аналогами лінійних звичайних диференціальних рівнянь. Розглянуто рівняння, що містять композиції <$E u~down 40 symbol Р~u ... down 40 symbol Р~ u> невідомої функції. Алгебричною основою застосованої методики є вкладення кільця <$E bold roman F sub q>-лінійних голоморфних функцій у тіло.

Одержані теореми про характеризацію класів функцій, найкращі наближення яких алгебраїчними поліномами мають заданий порядок прямування до нуля. Побудовані наближення розв'язків операторно-диференціальних рівнянь за допомогою поліномів від оберненого оператора.

Досліджується асимптотична поведінка розв'язку сингулярно збуреного квазілінійного абстрактного диференціального рівняння у банаховому просторі.

Розглянуто метод одержання повних асимптотичних розвинень для власних функцій та власних значень одно- та багатовимірних крайових спектральних задач для еліптичних рівнянь другого та вищого порядків із швидко змінними коефіцієнтами. Головною новою розробкою є алгоритм отримання формальних асимптотичних розв'язків таких задач, який відповідає за розщеплення чи нерозщеплення на кожному кроці наближення власних значень, що були кратними на попередньому кроці. Для випадку областей з межею показано, яким чином можуть бути враховані явища поблизу неї завдяки побудові пограничного шару. Одержані формально асимптотичні розв'язки в кожному із розглянутих випадків обгрунтовано та впорядковано шляхом розгляду компактних самоспряжених операторів у відповідних функціональних просторах. Продемонстровано особливості таких частинних випадків: задачі з однорідно швидко змінними коефіцієнтами, одновимірні задачі.

Побудовано асимптотику розв'язку задачі Коші для виродженої сингулярно збуреної лінійної системи у випадку кратного спектра головного оператора.

Проаналізовано структуру алгебр Лі узагальнених симетрій (УС) (1 + 1)-вимірних еволюційних рівнянь (ЕР) порядку n >= 2 та невироджених слабко діагоналізованих систем таких ЕР. Отримано достатні умови відсутності поліноміальних за часом (окрім стаціонарних) УС достатньо високого порядку для інтегрованих (1 + 1)-вимірних ЕР порядку n >= 2 з незалежними від часу t коефіцієнтами, що володіють нетривіальними канонічними щільностями законів збереження, а також для неінтегрованих ЕР та знайдено всі УС рівняння Гаррі Дима, модифікованого рівняння КдФ і деяких інших рівнянь. Описано загальний вигляд залежності від просторової змінної x УC (1 + 1)-вимірних ЕР порядку n >= 2, інваріантних відносно зсуву за x. Для широкого класу таких ЕР (зокрема, для ЕР зі сталою сепарантою) з незалежними від t коефіцієнтами знайдено достатню умову (квазі)поліноміальності за t їх УС. Наведені результати узагальнено на випадок невироджених слабко діагоналізованих систем (1 + 1)-вимірних ЕР порядку n >= 2. Розглянуто узагальнене модифіковане рівняння Штюкельберга для випадку поля Кулона. Знайдено рівні та стани дискретного енергетичного спектра та виявлено приховану парасуперсиметрію даної задачі за певних значень параметрів.

Дисертацію присвячено узагальненню та розвитку градієнтно-голономного алгоритму дослідження операторних, інверсних, неоднорідних та слабозбурених нелінійних динамічних систем. Доведено повну інтегровність основних і спеціально побудованих інверсних нелінійних гідродинамічних моделей. На підставі диференціально-геометричної теорії Картана диференціальних ідеалів алгебр Грассмана над асоційованим джет-многовидом запропоновано загальний підхід до проблеми редукції нескінченновимірних інтегровних динамічних систем та скінченновимірні інваріантні підмноговиди та дано його практичну реалізацію.

The limit properties of smooth solutions of a certain class of differential-operator equations are studied.

Узагальнено теорему Лі про диференціальні інваріанти однопараметричних груп локальних перетворень у просторі багатьох незалежних і залежних змінних. Висвітлено проблему взаємодії частинки довільного спіну з полем Кулона. Наведено групову класифікацію галілей-інваріантних рівнянь високого порядку. Детально проаналізовано симетричні властивості та точні розв'язки системи рівнянь рідини Ван-дер-Ваальса. Значну увагу приділено новим точним розв'язкам нелінійного рівняння Даламбера у псевдоевклідовому просторі R_2,2, а також відокремленню змінних у системі стаціонарних рівнянь Шрьодінгера - Лапласа. Запропоновано інтеграційний проекційний метод розв'язування двовимірних задач термоконвекції рідини з вибором кроку за часом для всього часового проміжку.

На підставі теорії груп Лі отримано автомодельні змінні, функції і диференціальні рівняння, в тому числі загальне рівняння Блазіуса. Доведено, що форма загального звичайного диференціального рівняння визначається вибором параметричної змінної. Внаслідок використання властивості симетрії, загальне рівняння Блазіуса було редуковано до рівняння першого порядку, а також отримано два нових автомодельних розв'язки рівнянь Прандтля. Простежено засіб трансформації однопараметричної алгебри Лі рівнянь Прандтля, що містять чотири підалгебри, до алгебри Прандтля з трьома підалгебрами, одна з яких є двопараметричною.

Дисертацію присвячено побудові конструктивного представлення розв'язків диференціальних рівнянь першого та другого порядків із змінними операторними коефіцієнтами. Розглядається абстрактна задача Коші для диференціального рівняння першого порядку та перша крайова задача для диференціального рівняння другого порядку в гільбертовому та банаховому просторах. На основі знайдених конструктивних представлень розв'язків зазначених задач побудовані чисельні методи, для яких знайдено достатні умови, що забезпечують їх двосторонність. Знайдені оцінки точності цих методів, які носять явний характер і дозволяють за рахунок вибору параметрів дискретизації забезпечити потрібну точність при порівняно невеликих обчислювальних витратах. Встановлено достатні умови, що гарантують експоненціальну швидкість збіжності запропонованих методів.

В дисертації встановлено необхідні та достатні умови експоненціальної стійкості і е-дихотомічності з матричним проектором зліченних систем, досліджено питання існування і гладкості інваріантних тороїдальних многовидів зліченних систем з запізненням, теоретично обгрунтований і описаний алгоритм асимптотичного розкладу m-параметричної сім'ї розв'язків деяких класів квазілінійних систем диференціальних рівнянь, а також систем з запізненням.

Розглядаються дисипативні оператори і квазіаналітичні вектори, встановлюється зв'язок між квазіаналітичними векторами і максимальними дисипативними операторами. Для однорідного еволюційного рівняння в банаховому просторі встановлюються умови існування розв'язку, визначеного у всій комплексній площині.