Знайдено достатні умови на коефіцієнти дифузійного рівняння на некомпактному багатовиді, за яких розв'язки не вибухають у скінченний проміжок часу. Ця властивість призводить до існування та єдиності розв'язків відповідних стохастичних рівнянь із глобально неліпшицевими коефіцієнтами. Запропонований підхід спирається на оцінки на генератор дифузії, що слабко діє на метричну функцію багатовиду. Використання таких оцінок дозволяє знайти узагальнення умови монотонності на випадок багатовиду, що поєднує поведінку кривини багатовиду та коефіцієнтів рівняння.

Показано, що геометрично коректне дослідження регулярності нелінійних диференціальних потоків на багатовидах та асоційованих параболічних рівнянь вимагає введення нового типу варіацій за початковими умовами. Ці варіації означені за допомогою певного узагальнення коваріантної похідної Рімана на випадок дифеоморфізмів. Встановлено, яким чином кривина виникає в варіаційних рівняннях високого порядку, і одержано сім'ю апріорних нелінійних оцінок на регулярність довільного порядку. Використовуючи зв'язок між диференціальними рівняннями на багатовидах і напівгрупами, досліджено <$E C sup inf>-гладкі властивості розв'язків параболічних задач Коші зі зростаючими на нескінченності коефіцієнтами. Одержані умови регулярності узагальнюють класичні умови коерцитивності та дисипативності на випадок багатовиду і пов'язують поведінку коефіцієнтів дифузії та зсуву з геометричними властивостями багатовиду, без традиційного відокремлення кривини.

Досліджено глобальне існування розв'язків напівлінійних стохастичних рівнянь еволюції з нелокальними умовами за допомогою аналізу нерухомої точки.

Досліджено асимптотичну поведінку нетривіальних стаціонарних розв'язків стохастичних еволюційних рівнянь в гільбертовому просторі.

Викладено результати про існування та атракторність розв'язків нелінійних стохастичних диференціальних рівнянь першого порядку. Наведено приклад реалізації абстрактної теорії.

Розглянуто задачу інтерполяції для випадкових процесів, що задовольняють стохастичні диференціальні рівняння з вінеровими процесами, які не є семімартингалами відносно спільної фільтрації.

Рассмотрены некоторые методы представления решений стохастических дифференциальных уравнений в частных производных, в частности в задачах корреляции оценки, экспоненты Ляпунова и воздействие шумов. Методы пригодны для понимания предсказуемости в пространственно распределенных системах с неопределенностью модели, например, в физике, геофизике и биологических науках.

Macroscopic models for spatially extended systems under random influences are often described by stochastic partial differential equations. Some techniques for understanding solutions of such equations, such as estimating correlations, Liapunov exponents and impact of noises, are discussed. They are relevant for understanding predictability in spatially extended systems with model uncertainty, for example, in physics, geophysics and biological sciences. The presentation is for a wide audience.

Розглянуто лінійні керовані системи, які визначені диференціальними рівняннями з напівмарківськими коефіцієнтами і випадковими перетвореннями розв'язків, які виникають синхронно з стрибками напівмарківського процесу. Використовуючи рівняння для функції Ляпунова, знайдено мінімальні значення функціонала. Знайдено необхідну умову оптимальності розв'язків, яка досягається синтезом оптимального керування системою такого класу.

We establish the large deviation principle for a sequence of stochastic PDEs defined on rescaled lattices. They are a special class of the Ginzburg-Landau models where the total order parameters is conserved. As the lattice mesh size and the magnitude of randomness go to zero, the large deviation result gives us information about convergence from the stochastic dynamic to the most probable deterministic trajectory, as well as the rate of deviations of the dynamic frorn atypical deterministic trajectories. We prove such large deviation result by using Hamilton - Jacobi equation techniques. A technical core in such a method is the comparison between sub and super (viscosity) solutions for a class of first order Hamilton - Jacobi equations. The state space for these equations is a Hilbert space, and the Hamiltonian admits a special form to which available comparison results cannot be directly applied. We obtain the large deviation result by clarifying different notions of viscosity solutions, and by extending existing comparison techniques. It is the hope that the techniques and connections revealed here will prove to be useful in further investigations of the interactions between infinite dimensional viscosity solution method and the large deviation for stochastic PDEs and interacting particle systems.

We discover death-immigration non-equilibrium stochastic dynamics in the continuum also known as the Surgailis process. Explicit expression for the correlation functions is presented. Dynamics of states and their generating functionals are studied. Ergodic properties for the evolutions are considered.

A conservative Feller evolution on continuous bounded functions is constructed from a weakly continuous, time-inhomogeneous transition function describing a pure jump process on a locally compact Polish space. The transition function is assumed to satisfy a Foster-Lyapunov type condition. The results are applied to interacting particle systems in continuum, in particular to general birth-and-death processes (including jumps). Particular examples such as the BDLP and Dieckmann-Law model are considered in the end.

Доведено існування розв'язку квадратного векторного рівняння, що виникає в марковських бінарних деревах. Запропоновано модифікований метод Ньютона для знаходження мінімального розв'язку цього рівняння. Встановлено монотонну збіжність модифікованого методу Ньютона. Числові експерименти підтверджують ефективність цього методу.

We introduce a generalized stochastic (Malliavin) derivative on the spaces of functions that are square integrable with respect to the so-called coloured noise measures and on the corresponding Kondratiev-type regular generalized spaces of functions (in the infinite-dimensional case). Then we study the main properties of this derivative.

Уведено та вивчено розширений стохастичний інтеграл, віківське множення та віківські версії голоморфних функцій на просторах (типу Кондратьєва) регулярних узагальнених функцій. Ці простори пов'язані з гамма-мірою на певному узагальненні простору узагальнених функцій Шварца <$E S prime>. Як приклади розглянуто стохастичні рівняння з нелінійностями віківського типу.

We introduce and study Hida-type stochastic derivatives and stochastic differential operators on the parametrized Kondratiev-type spaces of regular generalized functions of Meixner white noise. In particular, we study the interconnection between the stochastic integration and differentiation. Our researches are based on the general approach that covers the Gaussian, Poissonian, Gamma, Pascal and Meixner cases.

Введено та вивчено узагальнені стохастичні похідні на пов'язаних з білим шумом Майкснера просторах типу Кондратьєва нерегулярних узагальнених функцій. Властивості цих похідних аналогічні властивостям стохастичних похідних у гауссівському аналізі. Як приклад обчислено узагальнену стохастичну похідну розв'язку певного стохастичного рівняння з нелінійністю типу Віка.

We introduce an extended stochastic integral and construct elements of the Wick calculus on the Kondratiev-type spaces of regular and nonregular generalized functions, study the interconnection between the extended stochastic integration and the Wick calculus, and consider examples of stochastic equations with Wick-type nonlinearity. Our researches are based on the general approach that covers the Gaussian, Poissonian, Gamma, Pascal and Meixner analyses.