В термінах функцій Ляпунова одержано умови необмеженої продовжуваності, обмеженості за ймовірністю та стійкості розв'язків систем диференціальних рівнянь з випадковою імпульсною дією. Розв'язана задача оптимального керування для одного класу диференціальних систем з випадковими імпульсами. Знайдено умови існування стохастичних функцій Ляпунова для систем лінійних диференціальних рівнянь, з коефіцієнтами, які залежать від марковського скінченнозначного процесу. Досліджено умови стійкості лінійних систем диференціальних рівнянь з марковськими та напівмарковськими коефіцієнтами.

Задача дослідження стійкості системи лінійних стохастичних диференціальних рівнянь з пуассонівськими перемиканнями (модель Іто-Скорохода) зводиться до задачі знаходження розв'язку в класі додатно визначених матриць узагальненого рівняння Сільвестра, яке, в свою чергу, розв'язується методами динамічного програмування. Також запропонована ітераційна процедура знаходження розв'язку узагальненого матричного рівняння Сільвестра.

Розглядається узагальнення відомої формули варіації сталої на стохастичні рівняння з випадковими обмеженими дифузією та зсувом, а також на рівняння з детермінованою дифузією та детермінованим необмеженим зсувом.

Досліджується існування щільності ймовірності переходу узагальненого дифузійного процесу з переносом, що задовольняє деяку умову інтегровності за гауссівською мірою.

Будується друге наближення для випадкових коливань, що описуються рівнянням Ван дер Поля, яке знаходиться під впливом широкополосного випадкового процесу.

Розв'язано задачу відшукання оптимального моменту переключення між двома альтернативними стратегіями на фінансовому ринку у випадку, коли випадковий процес X_t, t належить [0, T], що описує капітал інвестора, задовольняє нелінійне стохастичне диференціальне рівняння. Цей момент переключення tau належить [0, T] знайдено як оптимальний момент зупинки для деякого процесу Y_t, породженого процесом X_t, таким чином, щоб максимізувати середній капітал інвестора в кінцевий момент, тобто X_T.

Індекс рубрикатора НБУВ: В171.505

Рубрики:

Стохастичні диференціальні та інтегральні рівняння

Шифр НБУВ: Ж22412/а Пошук видання у каталогах НБУВ 

Дисертацію присвячено побудові елементів теорії стохастичних рівнянь в просторах формальних рядів і формальних відображень. Доведені теореми існування та єдиності розв'язку стохастичних рівнянь в просторах формальних рядів і формальних відображень. На базі отриманого стохастичного аналога формули "варіації сталої" побудовано рекурентний алгоритм розв'язання стохастичних рівнянь в просторах формальних рядів і формальних відображень. Для стохастичних рівнянь в просторі формальних відображень доведена еволюційна властивість розв'язку. Для стохастичних рівнянь в просторі формальних рядів доведена марківська властивість розв'язку, побудовано аналог зворотнього рівняння Колмогорова. Як можливе застосування, доведено аналог теореми Коші-Ковалевської для стохастичних рівнянь в гільбертовому просторі.

Отримано оцінку похибки проекційних методів розв'язання рівнянь Фредгольма I роду A x = y + xi з випадковим збуренням xi у припущенні, що інтегральний оператор A має (psi, beta)-диференційовне ядро, а математичне сподівання || xi ||² не більше ніж sigma². У рамках цих припущень отримана оцінка є повним аналогом відомого результату Г.Вайнікко та Р.Плато, що стосується детермінованого випадку, коли || xi || <= sigma.

Індекс рубрикатора НБУВ: В171.505

Рубрики:

Стохастичні диференціальні та інтегральні рівняння

Шифр НБУВ: Ж22412/а Пошук видання у каталогах НБУВ 

Побудовано оператори перетворення, що дали можливість вивчити задачу розсіяння та дослідити властивості оператора розсіяння для багатовимірної системи диференціальних рівнянь з частинними похідними першого порядку.

Для динамічних систем, які описуються системами диференціальних або різницевих рівнянь, що залежать від скінченнозначного марковського процесу, запропоновано нову форму рівнянь для моментів випадкового їх розв'язку. Виведено рівняння для кореляційної матриці випадкових розв'язків.

Доводиться стохастичний аналог теореми Коші - Ковалевської для рівнянь в гільбертовому просторі з аналітичними в малому околі нуля дифузією та зсувом. Для отримання необхідних результатів використовується техніка стохастичних рівнянь в просторі формальних степеневих рядів.

Основна теорема прямого методу Ляпунова узагальнена для дослідження стійкості розв'язків систем з неточними значеннями параметрів відносно рухомої інваріантної множини. Наведено наслідок з використанням скалярної функції Ляпунова.

Виведено рівняння, що визначають другі моменти випадкового розв'язку системи лінійних диференціальних рівнянь Іто з коефіцієнтами, залежними від скінченнозначного випадкового напівмарковського процесу. Одержано необхідні та достатні умови асимптотичної стійкості розв'язків у середньому квадратичному з допомогою моментних рівнянь і стохастичних функцій Ляпунова.

Досліджено умови збіжності ймовірностей станів неоднорідних марковських систем до граничних значень за скінченний проміжок часу. На підставі доведених теорем про фокусування запропоновано конкретні алгоритми стабілізації розподілу, завдяки керуванню параметрами інфінітезімальної матриці марковського процесу, які забезпечують збіжність до раніше заданих значень розподілу.

Исследована система линейных разностных уравнений со случайными коэффициентами. Установлены условия устойчивости в среднем для решений разностного уравнения в частном случае.

Рассмотрены процессы марковского восстановления, алгоритмы фазового укрупнения, а также стохастические и физические модели систем в полумарковской случайной среде. Значительное внимание уделено нормальным уклонениям стохастических интегральных функционалов, случайных эволюций и эволюционных стохастических систем. Отдельные главы посвящены алгоритмам усреднения, диффузионной аппроксимации, а также оценкам точности их применения.

Розглянуто нелінійні стохастичні диференціальні рівняння Іто з виродженою матрицею дифузії. Введено поняття локально інваріантної множини та локального першого інтеграла стохастичного диференціального рівняння. Доведено низку теорем, які дають можливості для знаходження локально інваріантних множин стохастичних диференціальних рівнянь. Отримано умови існування та функціональної незалежності локальних перших інтегралів стохастичних диференціальних рівнянь. Здійснено якісний аналіз фазового "портрета" на площині для однорідних стохастичних диференціальних рівнянь. Розроблено методи побудови класів стохастичних диференціальних рівнянь Іто, для яких задана поверхня є інваріантною. Проведено дослідження поведінки розв'язків класів стохастичних диференціальних рівнянь Іто на інваріантних поверхнях, якими є циліндр, тор. Здійснено дослідження поведінки повної енергії даної збуреної системи для збуреної коливної системи, якою є два спряжених гармонічних осцилятора. Розроблено методи керування стохастичними системами. Наведено приклади, що ілюструють теоретично отримані результати.

Для лінійних стохастичних систем отримано достатні умови експоненціальної дихотомії в середньому квадратичному в термінах функцій Ляпунова, які є квадратичними формами.