Досліджено існування оптимального керування системами звичайних і стохастичних диференціальних рівнянь Розглянуто задачі оптимального керування детермінованими та стохастичними системами диференціальних рівнянь. Встановлено умови існування оптимального керування системою диференціальних рівнянь в деякій області із ℝ^d до моменту виходу розв'язку на границю області на скінченному часовому проміжку та на півосі. Одержано умови існування оптимального керування квазілінійною системою диференціальних рівнянь на півосі за умови, що розв'язок належить деякій області. Встановлено умови існування оптимального керування з оберненим зв'язком для стохастичних систем диференціальних рівнянь на обмеженому проміжку часу та на півосі. Умови існування оптимального керування одержані в термінах коефіцієнтів системи та функції, що входить в критерій якості.

Сформульовано та доведено теореми про збіжність та асимптотичний розподіл емпіричної оцінки невідомого параметра для стаціонарних багатовимірних стохастичних систем з неперервним часом при спостереженнях на кубі (за умов ергодичності), паралелепіпеді та колі (за умов сильного перемішування). Одержано умови компетентності емпіричних оцінок невідомого параметра для нестаціонарних багатовимірних стохастичних систем з дискретним і неперервним часом та сильним перемішуванням. Встановлено асимптотичний розподіл емпіричних оцінок невідомого параметра стаціонарних багатовимірних стохастичних систем з неперервним часом і сильним перемішуванням при спостереженнях на паралелепіпеді та колі. Знайдено асимптотичний розподіл оцінок невідомих параметрів нестаціонарних багатовимірних стохастичних систем з дискретним і неперервним часом та сильним перемішуванням. Наведено приклади застосування одержаних автором результатів до розв'язання задач оцінювання коефіцієнтів регресії багатовимірних стохастичних регресійних моделей.

Увагу приділено дослідженню стохастичних динамік неперервних систем - локально скінченних підмножин евклідового простору. Досліджено динаміки народження-загибелі та стрибків. Виведено системи еволюційних рівнянь для кореляційних функцій всіх порядків стохастичних динамік неперервних систем для загальних інтенсивностей народження, загибелі та стрибків. Знайдено достатні умови на інтенсивності народження та загибелі, за яких розв'язки відповідних еволюційних рівнянь для кореляційних функцій існують та єдині у просторах обмежених функцій на скінченних та нескінченних проміжках часу. Досліджено збіжність перешкальованих динамік кореляційних функцій у границі середнього поля та розглянуто відповідні нелокальні кінетичні рівняння. Показано існування еволюцій ймовірнісних мір у нерівноважних динаміках Глаубера та стрибків пар точок. Побудовано граничну еволюцію рівноважної динаміки Кавасакі з потенціалом типу Каца. Побудовано математичний апарат для розширення одержаних результатів на випадок неперервних систем, елементи яких можуть належати до різних типів.

Приділено увагу аналізу властивості асимптотичної дисипативності дифузійного процесу з марковськими переключеннями в схемі серій з малим параметром. Встановлено достатні умови асимптотичної дисипативності випадкових еволюцій з дифузійним та імпульсним збуренням в схемі дифузійної апроксимації та асимптотично малої дифузії. Одержано асимптотичну дисипативність нормованих флуктуацій процесу з дифузійним збуренням за умови асимптотичної дисипативності початкового процесу. Уперше побудовано математичну модель Лоренца розвитку економіки міста за наявності випадкових впливів навколишнього світу, які подані у вигляді дифузійно збуреного доданку та марковським переключенням.

Одержані в дослідженні результати вирішують поставлену задачу побудови дифузійних наближень розв'язків диференціальних рівнянь, збурених "фізичними" білими шумами. Розглянуто випадок відокремленого від нуля коефіцієнта біля "фізичного" білого шуму, що є важливим обмеженням. Доведено також результат щодо швидкості зближення, побудований на новому способі, для якого це обмеження знято та замінено на деяку вимогу гладкості. Знайдено розв'язок задачі оцінювання невідомого параметра, що входить до коефіцієнта зносу стохастичного диференціального рівняння з 1-періодичними коефіцієнтами. Малий параметр біля коефіцієнта зносу робить таку модель придатною для моделювання слабких сигналів, збурених дифузійним процесом. Для невідомого параметра побудовано інтервал накриття. Знайдено розв'язок задачі Р. Мертона щодо оптимізації портфеля інвестора. Для моделювання еволюції ризикового активу використовується модель П. Самуельсона зі швидко коливними періодичними випадковими збуреннями. Через те, що у розглянутому випадку еволюція ризикового активу моделюється доволі складним процесом, виписати рівняння Беллмана та знайти його розв'язок не уявляється можливим. Використовуючи оптимальні управління, розраховані для граничної системи при управлінні початкової системи, показано, що ефект (в сенсі значення функціонала якості) від такого управління буде не меншим, ніж деяка у явному виді виписана величина, що залежить від параметру. Використані управління не є оптимальними для початкової системи, але ефект від таких управлінь в сенсі функціоналу якості може задовольнити інвестора.

Для періодичних у вузькому сенсі (скінченновимірних розподілів) систем диференціальних рівнянь з випадковою регулярною правою частиною та випадковою імпульсною дією одержано необхідні та достатні умови існування періодичних зв'язків. Досліджено поведінку стійкого, компактного інваріантного багатовиду автономної системи звичайних диференціальних рівнянь за малих періодичних випадкових регулярних та імпульсних збурень її правих частин. Визначено умови існування, єдності та стійкості періодичних розв'язків лінійних та слабко нелінійних систем з випадковими імпульсними збуреннями. У термінах функцій Ляпунова для імпульсних детермінованих систем одержано умови стійкості імпульсних систем з випадковими збуреннями. Для систем з імпульсною дією у випадкові моменти часу обгрунтовано принцип усереднення. Визначено умови існування та стійкості інваріантних множин систем диференціальних рівнянь з випадковими регулярними збуреннями правих частин та систем стохастичних рівнянь Іто. Для систем з регулярними випадковими збуреннями та стохастичних систем Іто одержано аналоги принципів зведення В.А.Пліса та А.М.Самойленка. Це дало змогу дослідити стійкість детермінованих систем. Обгрунтовано метод усереднення на нескінченному проміжку часу для систем диференціальних рівнянь. Досліджено експоненціальну дихотомію в середньому квадратичному лінійних стохастичних систем Іто. Для лінійних та слабко нелінійних стохастичних систем Іто зі змінною матрицею лінійної частини з'ясовано достатні умови існування обмежених в середньому квадратичному на осі періодичних та стаціонарних розв'язків. Одержано інтегральне зображення випадкових

Розглянуто нелінійні стохастичні диференціальні рівняння Іто з виродженою матрицею дифузії. Введено поняття локально інваріантної множини та локального першого інтеграла стохастичного диференціального рівняння. Доведено низку теорем, які дають можливості для знаходження локально інваріантних множин стохастичних диференціальних рівнянь. Отримано умови існування та функціональної незалежності локальних перших інтегралів стохастичних диференціальних рівнянь. Здійснено якісний аналіз фазового "портрета" на площині для однорідних стохастичних диференціальних рівнянь. Розроблено методи побудови класів стохастичних диференціальних рівнянь Іто, для яких задана поверхня є інваріантною. Проведено дослідження поведінки розв'язків класів стохастичних диференціальних рівнянь Іто на інваріантних поверхнях, якими є циліндр, тор. Здійснено дослідження поведінки повної енергії даної збуреної системи для збуреної коливної системи, якою є два спряжених гармонічних осцилятора. Розроблено методи керування стохастичними системами. Наведено приклади, що ілюструють теоретично отримані результати.

Розвинуто теорію систем нелінійних випадкових рівнянь над полем GF(2). Досліджено розподіл числа розв'язків системи нелінійних випадкових рівнянь у полі GF(2). Одержано нормальний межовий розподіл нормованого числа розв'язків системи нелінійних випадкових рівнянь у даному полі за різних припущень на розподіли коефіцієнтів системи та порядки їх нелінійності, кількість ненульових компонент істинного розв'язку. Установлено теореми про нормальний межовий розподіл нормованого числа розв'язків зазначеної системи за умов зростання числа <$Erho (n)> ненульових компонент істинного розв'язку цієї системи зі зростанням числа невідомих n; наявності в системі з додатною імовірністю лінійної частини; зростання числа <$En~-~ rho (n)~ symbol О ~ inf> за умови <$En~ symbol О ~inf>. Під час проведення досліджень використано узагальнення леми про метричну модифікацію методу моментів і явний вигляд r-го факторіального моменту числа розв'язків системи для довільного <$Er~ symbol У ~1>. Наголошено на доцільності використання результатів дослідження для розв'язання задач кодування інформації у разі передачі її за каналами зв'язку та захисту інформації від несанкціонованого доступу.

  Скачати повний текст

Індекс рубрикатора НБУВ: В171.505,0

Рубрики:

Стохастичні диференціальні та інтегральні рівняння

Шифр НБУВ: РА358907 Пошук видання у каталогах НБУВ 

Дисертацію присвячено побудові елементів теорії стохастичних рівнянь в просторах формальних рядів і формальних відображень. Доведені теореми існування та єдиності розв'язку стохастичних рівнянь в просторах формальних рядів і формальних відображень. На базі отриманого стохастичного аналога формули "варіації сталої" побудовано рекурентний алгоритм розв'язання стохастичних рівнянь в просторах формальних рядів і формальних відображень. Для стохастичних рівнянь в просторі формальних відображень доведена еволюційна властивість розв'язку. Для стохастичних рівнянь в просторі формальних рядів доведена марківська властивість розв'язку, побудовано аналог зворотнього рівняння Колмогорова. Як можливе застосування, доведено аналог теореми Коші-Ковалевської для стохастичних рівнянь в гільбертовому просторі.

Обгрунтовано другий метод Ляпунова - метод функціоналів Ляпунова - Красовського для стійкості тривіального розв'язку диференціально-функціональних рівнянь з марковськими параметрами (ДФРзМП). Доведено загальні теореми Ляпунова для систем ДФРзМП, теорему про перше наближення. Одержано достатні умови експоненціальної стійкості у середньому квадратичному з дискретними марковськими параметрами. Для стохастичних диференціально-функціональних рівнянь з пуассоновими перемиканнями (СДФРзПП) узагальнено метод функціоналів Ляпунова - Красовського. Досліджено ДФРзМП як сильний розв'язок СДФРзПП. Доведено пряму й обернену теорему Ляпунова для такої динамічної системи випадкової структури. Побудовано модельні прилади.

Проаналізовано стійкість та оцінка в середньому квадратичному (l.i.m.) розв'язків стохастичних диференціально-функціональних рівнянь нейтрального типу (НСДФР) з пуасоновими збурюваннями (ПЗ) шляхом застосування функціоналів Ляпунова-Красовського. Одержано теорему існування й єдиності розв'язків таких рівнянь, із використанням другого методу Ляпунова виведено достатні умови асимптотичної стійкості в l.i.m. розв'язків НСДФР з ПЗ, а також доведено достатні умови асимптотичної стійкості l.i.m. розв'язків лінійних НСДФР з декількома сталими відхилами аргументу. Для лінійних НСДФР з ПЗ встановлено умови стійкості й оцінки розв'язків, оцінки експоненційної стійкості l.i.m. лінійних НСДФР із ПЗ, рівномірних по відхилу аргументу та з малими відхилами аргументу. Показано, що одержані оцінки мають алгебричний характер і є зручними для використання у дослідженнях фізичних, радіотехнічних, біологічних, соціологічних, економічних процесів, які описуються НСДФР. Створено програмний продукт, що дозволяє ефективно використовувати одержані результати для дослідження конкретних систем, що описуються НСДФР.

  Скачати повний текст

Індекс рубрикатора НБУВ: В171.505.18

Рубрики:

Стохастичні динамічні системи

Шифр НБУВ: РА348718 Пошук видання у каталогах НБУВ 

Досліджено інваріантні множини стохастичних диференціальних рівнянь (СДР) зі стрибками. Знайдено необхідні, необхідні та достатні, а також достатні умови існування локальних інваріантних поверхонь й одержано необхідні та достатні умови існування перших інтегралів для вказаних СДР. Знайдено новий вигляд інваріативних поверхонь і доведено теорему про необхідні та достатні умови їх локальної інваріантності для деяких класів систем другого порядку СДР зі стрибками. Для певного стохастичного гармонічного осцилятора досліджено поведінку повної енергії, одержано умови її стабілізації, знайдено явний вигляд кореляційних функцій положення та швидкості осцилятора. Для деякого класу інтегро-диференціальних рівнянь одержано умови стабілізації розв'язку задачі Коші, що мають вираження безпосередньо з використанням коефіцієнтів рівняння.

Освещены проблемы самоорганизации нелинейных динамических систем при интенсивном внешнем детерминированном и флуктуационном воздействии. Описаны процессы формирования временных диссипативных структур (ВДС), особенности перехода к хаосу в многокомпонентных системах и его контроля, проведен фрактальный анализ аттрактора. Внимание уделено процессам структурообразования и неравновесных фазовых переходов в распределенных стохастических системах (СС). Приведены методы описания и анализа ВДС и хаотического режима, а также методы исследования СС.

Висвітлено актуальний напрямок розвинення теорії динамічних систем (ДС), зокрема: розроблено методи встановлення умов стійкості та керованості диференціальних та різницевих систем рівнянь, коефіцієнти яких випадкові функції від часу, а випадковий розв'язок зазнає стрибків і випадкових перетворень. Зазначено, що даний напрямок знаходиться на межі математичних дисциплін теорії ймовірностей, диференціальних рівнянь, теорії стійкості та стабілізації. Розвинуто методи побудови функцій Ляпунова та моментних рівнянь для широких класів ДС з випадковими коефіцієнтами та додатковими умовами на розв'язки. Одержано системи різницевих рівнянь для визначення дискретних скінченнозначних напівмарковських процесів та інтегральні рівняння для неперервних процесів. Вперше побудовано моментні рівняння для різних класів нелінійних диференціальних і різницевих рівнянь (ДіРР) з випадковими коефіцієнтами та додатковими умовами на розв'язки. Вперше одержано достатні умови <$EL sub 2>-стійкості розв'язків систем лінійних ДіРР, коефіцієнти яких залежать від напівмарковського процесу, а розв'язки зазнають випадкових перетворень. Обгрунтовано та розроблено метод побудови функцій Ляпунова для систем лінійних і нелінійних ДіРР, праві частини яких залежать від напівмарковського процесу (НМП). Одержано умови оптимальності розв'язків систем лінійних ДіРР, коефіцієнти яких залежать від НМП, а розв'язки зазнають випадкових перетворень. Розв'язано задачі синтезу оптимального керування для систем лінійних і нелінійних ДіРР, праві частини яких залежать від НМП за додаткових умов на їх розв'язок.

Викладено поняття стохастичних інтегралів Вінера - Іто, інтегралів за випадковими мірами та їх властивості. Доведено загальну заміну Іто - Скорохода і теорему існування та єдиності для стохастичних диференціальних рівнянь (СДР) без післядії. Наведено основні положення детермінованих рівнянь зі скінченною післядією, яка зосереджена на скінченному інтервалі. Визначено стійкість у середньому квадратичному тривіального розв'язку для СДР з загаюванням та постійними коефіцієнтами. Обгрунтовано другий метод Ляпунова для нелінійних стохастичних диференціально-функціональних рівнянь (СДФР). Виділено класи функціоналів Ляпунова - Красовського та обчислено відповідні інфінітезимальні оператори. Подано модельні рішення модельних задач з теорії в'язкопружності, радіоелектроніки, навігації. Проаналізовано теорію оптимального керування для СДФР зі скінченною післядією. Висвітлено питання стійкості та оптимального керування стохастичних динамічних систем спеціального вигляду.

Визначено стійкість диференціально-функціональних рівнянь (ДФР) з марковськими параметрами (МП) методом функціоналів Ляпунова - Красовського, розв'язків динамічних систем (ДС) випадкової структури з післядією та з МП, імпульсних динамічних систем (ІДС) зі скінченною післядією (СПД) за наявності МП. Описано другий метод Ляпунова для аналізу стійкості систем стохастичних ДФР з пуассоновими перемиканнями. Розглянуто питання стабілізації ІДС зі СПД за наявності МП, загальної постановки задачі оптимального керування і методу її розв'язання для задачі Майєра. Наведено результати дослідження динаміки тралової системи, критерії абсолютної асимптотичної стійкості та обмеженості розв'язків ДС.

Определены устойчивость дифференциально-функциональных уравнений (ДФР) с марковскими параметрами (МП) методом функционалов Ляпунова - Красовского, решений динамических систем (ДС) случайной структуры с последействием и с МП, импульсных динамических систем (ИДС) с конечным последействием (КПД) при наличии МП. Описан второй метод Ляпунова для анализа устойчивости систем стохастических ДФР с пуассоновыми переключениями. Рассмотрены вопросы стабилизации ИДС с КПД при наличии МП, общей постановки задачи оптимального управления и метода её решения для задачи Майера. Приведены результаты исследования динамики траловой системы, критерии абсолютной асимптотической устойчивости и ограниченности решений ДС.

Наведено результати дослідження корельованих невпорядкованих структур і явищ, що відбуваються в таких структурах. Розроблено теорфізичні та математичні методи їх дослідження. Розвинено математичний апарат спеціального класу адитивних дихотомічних багатокрокових марківських ланцюгів. Виведено рівняння, що зв'язує кореляційну функцію та функцію пам'яті. Вивчено статистичні властивості двох нових введених класів випадкових багатокрокових двосторонніх і переставних ланцюгів і досліджено їх зв'язок з ланцюгами Маркова. Запропоновано методи побудови багатокрокових дихотомічних ланцюгів із заданою парною кореляційною функцією. Сформульовано та вирішено пряму та зворотну задачу генерації: знаходження кореляційної функції адитивного марківського ланцюга з відомою функцією пам'яті (пряма задача) та знаходження функції пам'яті ланцюга, для якого відома парна кореляційна функція (зворотна задача). Розглянуто поширення суб-терагерцевих хвиль у ланцюжку джозефсонівських контактів. Показано можливість керування локалізаційними властивостями терагерцевих і суб-терагерцевих електромагнітних хвиль і прозорістю джозефсонівських ланцюгів, контролюючи кореляції в них. Доведено, що провідність екзонів істотно перевищує провідність інтронів. Розроблено метод побудови випадкових граток з далекими кореляціями, що мають задані дифракційні властивості. Вивчено неекстенсивні термодинамічні властивості спінового ланцюга з довільним, але скінченним радіусом взаємодії. Знайдено залежність намагніченості від величини зовнішнього магнітного поля, а також флуктуацію намагніченості фрагмента ланцюга довільної довжини.

Обгрунтовано застосування методу Фур'є до задач математичної фізики для однорідного параболічного рівняння з випадковими початковими умовами із просторів Орілча. Знайдено оцінки розподілу супремуму розв'язку однорідного рівняння теплопровідності з випадковими початковими умовами із просторів Орліча. Визначено застосування методу Фур'є до задач математичної фізики для параболічного рівняння з випадковою правою частиною з простору Орліча та нульовими початковими та крайовими умовами. Надано оцінку розподілу супремуму розв'язку неоднорідного рівняння теплопровідності з випадковою правою частиною із просторів Орліча. Встановлено умови існування класичного розв'язку й узагальненого розв'язку для однорідного гіперболічного рівняння у багатовимірному випадку з випадковими початковими умовами із просторів Орліча.

Розв'язано задачу оптимального керування системами, які задані нелінійним, лінійним і квазілінійним стохастичними різницевими рівняннями Вольтерра. Розв'язано задачу оптимальної стабілізації для лінійного та квазілінійного стохастичних різницевих рівнянь Вольтерра за квадратичного функціоналу якості. Розроблено алгоритм знаходження достатніх умов для кроку дискретизації, за яким різницевий аналог зберігає властивість стійкості початкової стохастичної диференціальної нелінійної системи з запізненням. Розв'язано задачу фільтрації у випадках, коли неспостережуваний процес є гауссівський або заданий стохастичним різницевим рівнянням Вольтерра. Розв'язано задачу оптимального керування частково спостережуваними лінійним і квазілінійним стохастичними різницевими рівняннями Вольтерра за квадратичного функціоналу якості за результатами спостережень, що містять запізнення.

Досліджено питання про існування та єдність обмежених, періодичних і <$El sub p>-розв'язків деяких класів різницевих рівнянь з необов'язково обмеженими операторними коефіцієнтами та питання про апроксимацію обмежених розв'язків таких рівнянь розв'язками відповідних крайових різницевих задач. Доведено теорему про наближення обмеженого (на <$Eroman bold R>) розв'язку лінійного диференціального рівняння з секторальним операторним коефіцієнтом обмеженими розв'язками відповідних різницевих рівнянь. Визначено умови існування єдиного обмеженого розв'язку диференціального рівняння другого порядку з малим додатним параметром <$Eepsilon> при другій похідній та секторальним операторним коефіцієнтом. Доведено, що за умов <$Eepsilon ~ symbol О ~0~+> ці розв'язки збігаються рівномірно на <$Eroman bold R> до єдиного обмеженого розв'язку відповідного диференціального рівняння першого порядку. Для різницево-операторних або диференціально-операторних рівнянь, збурених випадковими процесами, одержано критерії існування єдиного обмеженого в середньому порядку p або стаціонарного розв'язку, а також для диференціально-операторних рівнянь - достатні умови неперервної диференційовності на <$Eroman bold R> майже всіх траєкторій таких розв'язків. Запропоновано новий метод переходу до еквівалентних детермінованих рівнянь у банахових просторах випадкових елементів.

  Скачати повний текст

Індекс рубрикатора НБУВ: В162.131,0 + В171.505,0

Рубрики:

Диференціальні рівняння у лінійних функціональних просторах

Стохастичні диференціальні та інтегральні рівняння

Шифр НБУВ: РА331543 Пошук видання у каталогах НБУВ