Наведено результати досліджень в області теорії асимптотичної стійкості в середньому квадратичному лінійних і квазілінійних неперервних та дискретних динамічних систем під час збурень їх коефіцієнтів (параметрів) стохастичними стаціонарними процесами неперервного і дискретного білих шумів. Проаналізовано системи лінійних і квазілінійних диференціальних, диференціально-різницевих та різницевих (з дискретним та неперервним аргументами) стохастичних рівнянь типу Іто. Визначено дестабілізувальний в середньому квадратичному ефект параметричних (коефіцієнтних) стохастичних збурень за допомогою апарата Ляпунова - Красовського та матричних алгебричних рівнянь Сільвестра. Доведено, що в асимптотично стійких незбурених системах ефект проявляється в зменшенні запасу їх асимптотичної стійкості в середньому квадратичному під час збільшення інтенсивності шумів.

Приведены результаты исследований в области теории асимптотической устойчивости в среднем квадратическом линейных и квазилинейных непрерывных и дискретных динамических системах при возбуждении их коэффициентов (параметров) стохастическими стационарными процессами непрерывного и дискретного белых шумов. Проанализированы системы линейных и квазилинейных дифференциальных, дифференциально-разностных и разностных (с дискретным и непрерывным аргументами) стохастических уравнений типа Ито. Определен дестабилизирующий в среднем квадратическом эффект параметрических (коэффициентных) стохастических возбуждений с помощью аппарата Ляпунова - Красовского и матричных алгебраических уравнений Сильвестра. Доказано, что в асимптотически устойчивых невозбужденных системах эффект проявляется в уменьшении запаса их асимптотической устойчивости в среднем квадратическом в период увеличения интенсивности шумов.

Изложены подходы к построению стохастического потока, в котором движение одной частицы зависит от распределения массы всех частиц на фазовом пространстве. Представлен класс стохастических дифференциальных уравнений со взаимодействием, освещены свойства их решений. Проанализированы марковские мерозначные процессы, описывающие перенос массы потоком со взаимодействием. Рассмотрены вопросы слабой сходимости данных процессов и стохастических потоков, в частности с сингулярным взаимодействием. Доказана конечность суммарного свободного пробега частиц и построен стохастический интеграл по объединению отрезков траекторий всех частиц до первого столкновения.

Розглянуто динамічні системи, що залежать від скінченно значного випадкового процесу - системи з випадковими станами. Запропоновано класифікацію випадкових функцій, розкрито суть основних понять теорії випадкових процесів, стохастичних диференціальних рівнянь (СДР). Висвітлено особливості застосування СДР, дослідження стійкості розв'язків системи лінійних диференціальних і нелінійних різницевих рівнянь (НРР) з випадковими коефіцієнтами і стрибками, що залежать від напівмарковського процесу, побудови стохастичних функцій Ляпунова для систем НРР. Викладено питання синтезу оптимального керування.

Рассмотрены динамические системы, зависящие от конечно-значимого случайного процесса - системы со случайными состояниями. Предложена классификация случайных функций, раскрыто содержание основных понятий теории случайных процессов, стохастических дифференциальных уравнений (СДУ). Освещены особенности применения СДУ, исследования устойчивости решений системы линейных дифференциальных и нелинейных разницовых уравнений (НРУ) со случайными коэффициентами и скачками, зависящими от полумарковского процесса, построения стохастических функций Ляпунова для системы НРУ. Изложены вопросы синтеза оптимального управления.

Розглянуто явища, які виникають у складних динамічних системах під впливом різних випадкових факторів як з боку зовнішнього середовища, так і природних усередині випадкових збурень. Наведено приклад дослідження імовірнісних і статистичних властивостей розв'язків систем диференціальних рівнянь, збурених випадковими процесами.

Рассмотрены явления, возникающие в сложных динамических системах под воздействием различных случайных факторов, как со стороны внешней среды, так и естественно возникающих внутри случайных возмущений. Приведен пример исследования вероятностных и статистических свойств решений систем дифференциальных уравнений, возмущенных случайными процессами.

The processes arising in complex dynamic systems under influence of various random factors, as from an environment, and naturally arising inside of random indignations are considered. The example of research of possibility and statistical properties of decisions of systems of the differential equations revolted by random processes is resulted.

Изложены современные стохастические методы исследования, применяемые в финансовой математике и математической экономике, а также вопросы современной математической теории моделирования эволюции цен рисковых активов, математического моделирования процессов экономики. Раскрыта сущность понятий арбитража, марковских моментов, мартингальных неравенств, производных ценных бумаг, опционов, приведены модели П.Самуэльсона, О.Васичека об изменении процентной ставки. Предложена методика оценки неизвестных параметров в моделях, основным процессом в которых является процесс Орнштейна - Уленбека, описаны свойства стохастического интеграла Ито.

Розглянуто можливості застосування методу Фур'є до крайових задач математичної фізики для гіперболічного рівняння з випадковими початковими умовами та випадковою правою частиною. Як початкові умови та процеси в правій частині рівняння розглянуто строго <$Ephi>-субгауссові випадкові поля (зокрема гауссові випадкові поля), досліджено властивості розв'язків таких задач. Побудовано моделі, що наближають розв'язки з заданою надійністю та точністю в рівномірній матриці.

Рассмотрены возможности применения метода Фурье к краевым задачам математической физики для гиперболического уравнения со случайными начальными условиями и случайной правой частью. Как начальные условия и процессы в правой части уравнения рассмотрены строго <$Ephi>-субгауссовые случайные поля (в частности гауссовые случайные поля), исследованы свойства решений таких задач. Построены модели, приближающие решения с заданными надежностью и точностью в равномерной матрице.

Розглянуто проблеми стійкості й оптимального керування стохастичних динамічних систем спеціального вигляду. Висвітлено питання про існування та єдність l-го моменту сильного розв'язку стохастичних інтегро-диференціальних рівнянь Іто - Вольтерра. Проаналізовано стійкість у середньому квадратичному розв'язків лінійних стохастичних диференціальних рівнянь з випадковими операторами. Обгрунтовано теореми про асимптотичну стійкість у середньому квадратичному розв'язків стахастичних диференціально-різницевих рівнянь з пуассонівськими збуреннями. Розглянуто проблеми побудови оптимального керування стохастичними динамічними системами зі всією передісторією з пуассоновими перемиканнями. Описано деякі властивості розв'язків дифузійних стохастичних функціонально-диференціальних рівнянь з марковськими параметрами.

Рассмотрены проблемы устойчивости и оптимального управления стохастических динамических систем специального вида. Освещены вопросы о существовании и единстве l-го момента сильного решения стохастических интегро-дифференциальных уравнений Ито - Вольтерра. Проанализирована устойчивость в среднем квадратичном решений линейных стохастических дифференциальных уравнений со случайными операторами. Обоснованы теоремы об асимптотической устойчивости в среднем квадратичном решений стахастических дифференциально-разностных уравнений с пуассоновскими возмущениями. Рассмотрены проблемы построения оптимального управления стохастическими динамическими системами со всей предисторией с пуассоновыми переключениями. Описаны некоторые свойства решений диффузионных стохастических функционально-дифференциальных уравнений с марковскими параметрами.

Описано диференціальні рівняння з регулярними випадковими збуреннями, імпульсні та стохастичні системи Іто. Визначено дисипативність, стійкість періодичних і стаціонарних режимів, інваріантні множини. Доведено граничні теореми типу усереднення на скінченних та нескінченних інтервалах для систем з малим параметром.

Описаны дифференциальные уравнения с регулярными случайными возбуждениями, импульсные и стохастические системы Ито. Определены диссипативность, устойчивость периодических и стационарных режимов, инвариантные множества. Доказаны предельные теоремы типа усреднения на конечных и бесконечных интервалах для систем с малым параметром.

Получены достаточные условия устойчивости динамической системы в полумарковской среде в условиях диффузионной аппроксимации с использованием асимптотических свойств компенсирующего оператора для полумарковского процесса, а также свойств функции Ляпунова для усредненной системы.

Використано апарат функціоналів Ляпунова - Красовського та поняття інфінітезимального оператора в силу системи для дослідження асимптотичної стохастичної та асимптотичної p-стійкості в цілому.

Досліджено асимптотичну поведінку розв'язків стохастичних диференціальних рівнянь Іто в скінченновимірних і гільбертових просторах. Одержано умови експоненціальної дихотомії для лінійних однорідних стохастичних систем Іто в зазначених просторах. Одержано умови експоненціальної дихотомії для лінійних однорідних стохастичних систем Іто та досліджено зв'язок дихотомічних систем з існуванням у неоднорідних обмежених на півосі розв'язків. Одержано необхідні та достатні умови експоненціальної дихотомії у термінах квадратичних форм. Для стохастичних систем одержано умови асимптотичної еквівалентності у середньому квадратичному та з імовірністю 1 і для лінійних систем узагальнено ці результати для випадку гільбертового простору. Одержано умови існування та єдиності розв'язків стохастичних систем не розв'язаних відносно "похідної" в гільбертовому просторі.

Побудовано теорію глобальних атракторів багатозначних неавтономних і випадкових динамічних систем. Розроблено теорію глобальних атракторів багатозначних неавтономних і випадкових динамічних систем. Створено теорію у загальних топологічних просторах, на базі якої досліджено властивості компактності, інваріантності, зв'язності, стійкості та залежності від параметру глобальних атракторів. Доведено теореми про існування глобального атрактора для деяких класів нелінійних еволюційних рівнянь і включень з трансляційно-компактною за часовою змінною правою частиною, для деяких каскадних частинок, а також для еволюційних рівнянь і включень, розв'язки яких зазнають імпульсних збурень у фіксовані моменти часу. Розроблено абстрактну теорію випадкових атракторів багатозначних випадкових динамічних систем. Одержано результати про існування випадкового атрактора для деяких випадково збурених евоційних систем.

Досліджено деякі властивості випадкових процесів зі слабкою залежністю. Побудовано вінерівський процес, траєкторії якого близькі за ймовірністю в матриці простору <$EC sub [0,1]> до траєкторій нормованого інтегралу від процесу зі слабкою залежністю. Одержано оцінку ймовірності зближення нормованого інтеграла від процесу зі слабкою залежністю та спеціальним чином побудованих вінерівського процесу й мартингалу. Наведено оцінку ймовірності зближення розв'язків стохастичних диференціальних рівнянь зі слабкозалежними флуктуаціями й стохастичних диференціальних рівнянь Іто. Одержані результати застосовано для оцінки ймовірності знаходження траєкторій динамічної системи зі швидкими осциляціями в криволінійній випадковій смузі. Послаблено умови, що накладаються на межі смуги. Побудовано інтервал, в якому з імовірністю, близькою до одиниці, перебуває момент першого виходу на заданий рівень траєкторії вихідної системи зі слабкою залежністю. Встановлено, що межами даного інтервалу є моменти першого виходу на заданий рівень траєкторії марківського процесу. З'ясовано, що методи апостеріорного виявлення розладнання розповсюджені для процесів зі слабкою залежністю.

Одержано достатні умови існування розв'язку загального диференціального рівняння зі взаємодією в абстрактному вінерівському просторі. Одержано достатні умови існування розв'язку диференціального рівняння з інтегральною взаємодією. Доведено існування прямого та оберненого потоків відображень, пов'язаних з диференціальним рівнянням зі взаємодією в абстрактному просторі. Доведено збіжність за варіацією образів диференційованої міри в нескіченновимірному банаховому просторі за нелінійних відображень за умов локально-рівномірної збіжності відображень та їх похідних. Доведено неперервну залежність мір, що переносяться розв'язком диференціального рівняння зі взаємодією, від початкової міри та часу. Одержано достатні умови абсолютної неперервності та збіжності за варіацією образів міри за аналітичних відображень. Доведено існування розв'язку диференціального рівняння зі взаємодією, керованою узагальненою функцією, в абстрактному вінерівському просторі.

Розроблено методи вивчення та аналізу стійкості стохастичних систем з напівмарковськими переключеннями, збіжності неперервних і стрибкових процедур стохастичної апроксимації у випадку залежної від зовнішнього середовища функції регресії, асимптотичної нормальності процедури стохастичної апроксимації в марковському та напівмарковському середовищах. Розроблено методику дослідження збіжності процедури стохастичної апроксимації, що базується на методі малого параметру та другому методі Ляпунова стійкості усередненої системи. У випадку неперервної процедури використано усереднення функції регресії за стаціонарним розподілом марковського процесу, а у випадку стрибкової - за стаціонарним розподілом вкладеного ланцюга Маркова. Встановлено достатні умови асимптотичної нормальності процедури у схемі серій та в схемі дифузійної апроксимації, що визначають оптимальність процедури стохастичної апроксимації. Розглянуто задачу знаходження точки максимуму функції регресії залежної від зовнішнього середовища, що описується рівномірно ергодичним марковським процесом. Встановлено умови слабкої збіжності флуктуацій стохастичної системи з сингулярним збуренням навколо єдиної точки рівноваги усередненої швидкості (функції регресії) до межового процесу з адитивним зсувом, що описується стандартним вінерівським процесом.

Доведено існування слабкого розв'язку за виконання умови лінійного росту та локальної умови Ліпшиця щодо коефіцієнтів для нового класу стохастичних диференціальних рівнянь, зокрема: для рівнянь зі взаємодією, а також доведено існування та єдиність розв'язку рівняння, в якому взаємодія описується узагальненою функцією, що переноситься потоком. Представлено доведення строго марковської властивості процесу, що відповідає рівнянню зі взаємодією, у просторі відображень <$EC~ left ( roman bold R sup d right )> та доведено єдиність розв'язку проблеми мартингалів для генератора марковського процесу в <$EC~ left ( roman bold R sup d right )>, що відповідає потоку зі взаємодією. Сформульовано достатні умови для коефіцієнтів рівняння зі взаємодією, що забезпечують компактність відносно зсуву для відповідного мірозначного процесу, а також достатні умови стійкості мірозначного процесу, що відповідає даному рівнянню, та умови стійкості потока для цього рівняння.

Обгрунтовано другий метод Ляпунова - метод функціоналів Ляпунова - Красовського для стійкості тривіального розв'язку диференціально-функціональних рівнянь з марковськими параметрами (ДФРзМП). Доведено загальні теореми Ляпунова для систем ДФРзМП, теорему про перше наближення. Одержано достатні умови експоненціальної стійкості у середньому квадратичному з дискретними марковськими параметрами. Для стохастичних диференціально-функціональних рівнянь з пуассоновими перемиканнями (СДФРзПП) узагальнено метод функціоналів Ляпунова - Красовського. Досліджено ДФРзМП як сильний розв'язок СДФРзПП. Доведено пряму й обернену теорему Ляпунова для такої динамічної системи випадкової структури. Побудовано модельні прилади.

Проаналізовано стійкість та оцінка в середньому квадратичному (l.i.m.) розв'язків стохастичних диференціально-функціональних рівнянь нейтрального типу (НСДФР) з пуасоновими збурюваннями (ПЗ) шляхом застосування функціоналів Ляпунова-Красовського. Одержано теорему існування й єдиності розв'язків таких рівнянь, із використанням другого методу Ляпунова виведено достатні умови асимптотичної стійкості в l.i.m. розв'язків НСДФР з ПЗ, а також доведено достатні умови асимптотичної стійкості l.i.m. розв'язків лінійних НСДФР з декількома сталими відхилами аргументу. Для лінійних НСДФР з ПЗ встановлено умови стійкості й оцінки розв'язків, оцінки експоненційної стійкості l.i.m. лінійних НСДФР із ПЗ, рівномірних по відхилу аргументу та з малими відхилами аргументу. Показано, що одержані оцінки мають алгебричний характер і є зручними для використання у дослідженнях фізичних, радіотехнічних, біологічних, соціологічних, економічних процесів, які описуються НСДФР. Створено програмний продукт, що дозволяє ефективно використовувати одержані результати для дослідження конкретних систем, що описуються НСДФР.

  Скачати повний текст

Індекс рубрикатора НБУВ: В171.505.18

Рубрики:

Стохастичні динамічні системи

Шифр НБУВ: РА348718 Пошук видання у каталогах НБУВ 

Наведено результати дослідження корельованих невпорядкованих структур і явищ, що відбуваються в таких структурах. Розроблено теорфізичні та математичні методи їх дослідження. Розвинено математичний апарат спеціального класу адитивних дихотомічних багатокрокових марківських ланцюгів. Виведено рівняння, що зв'язує кореляційну функцію та функцію пам'яті. Вивчено статистичні властивості двох нових введених класів випадкових багатокрокових двосторонніх і переставних ланцюгів і досліджено їх зв'язок з ланцюгами Маркова. Запропоновано методи побудови багатокрокових дихотомічних ланцюгів із заданою парною кореляційною функцією. Сформульовано та вирішено пряму та зворотну задачу генерації: знаходження кореляційної функції адитивного марківського ланцюга з відомою функцією пам'яті (пряма задача) та знаходження функції пам'яті ланцюга, для якого відома парна кореляційна функція (зворотна задача). Розглянуто поширення суб-терагерцевих хвиль у ланцюжку джозефсонівських контактів. Показано можливість керування локалізаційними властивостями терагерцевих і суб-терагерцевих електромагнітних хвиль і прозорістю джозефсонівських ланцюгів, контролюючи кореляції в них. Доведено, що провідність екзонів істотно перевищує провідність інтронів. Розроблено метод побудови випадкових граток з далекими кореляціями, що мають задані дифракційні властивості. Вивчено неекстенсивні термодинамічні властивості спінового ланцюга з довільним, але скінченним радіусом взаємодії. Знайдено залежність намагніченості від величини зовнішнього магнітного поля, а також флуктуацію намагніченості фрагмента ланцюга довільної довжини.

Розв'язано задачу оптимального керування системами, які задані нелінійним, лінійним і квазілінійним стохастичними різницевими рівняннями Вольтерра. Розв'язано задачу оптимальної стабілізації для лінійного та квазілінійного стохастичних різницевих рівнянь Вольтерра за квадратичного функціоналу якості. Розроблено алгоритм знаходження достатніх умов для кроку дискретизації, за яким різницевий аналог зберігає властивість стійкості початкової стохастичної диференціальної нелінійної системи з запізненням. Розв'язано задачу фільтрації у випадках, коли неспостережуваний процес є гауссівський або заданий стохастичним різницевим рівнянням Вольтерра. Розв'язано задачу оптимального керування частково спостережуваними лінійним і квазілінійним стохастичними різницевими рівняннями Вольтерра за квадратичного функціоналу якості за результатами спостережень, що містять запізнення.