Знайдено асимптотичне зображення максимального власного значення rho_epsilon для сім'ї гіллястих процесів з довільним числом типів частинок, які є близькими до критичних.

Одержано диференціальний аналог основної леми теорії марковських гіллястих процесів <$E mu (t)>, <$E t~symbol У~0> неперервного часу. Показано можливість застосування одержаних результатів для доведення граничних теорем теорії гіллястих процесів відомим методом Стейна - Тихомирова. Крім цього, на відміну від класичної умови невиродження гіллястого процесу <$E { mu (t)~>>~0>} розглянуто і обгрунтовано мовою твірних функцій умову невиродження процесу в далекому майбутньому <$E { mu ( inf )~>>~0>}. За цієї умови вивчено асимптотичну поведінку траєкторії розглядуваного процесу.

Нехай <$E M sup (n)>, n = 1, 2,..., - надкритичне випадкове блукання, у якому розмір родини може бути нескінченним з додатною ймовірністю. Припущено, що стандартний мартингал, пов'язаний з <$E M sup (n)>, збігається майже напевно та в середньому до випадкової величини W. Для великого підкласу невід'ємних і вгнутих функцій f наведено критерій скінченності EW f(W). Основні твердження роботи узагальнюють деякі результати, одержані в дисертаціїї Кульбуша, а також результати, відомі для процесів Гальтона - Ватсона. У процесі доведення досліджено існування f-моментів розв'язків деяких стохастичних різницевих рівнянь.

Розглянуто майже критичні розгалужені процеси з іміграцією, що нескінченно зростає, і для таких процесій доведено функціональні граничні теореми.

Встановлено необхідні та достатні умови існування моментів спеціального вигляду (НДУІМ СВ) збіжних випадкових рядів, породжених лінійними рекурсіями. Одержано НДУІМ СВ граничних випадкових величин для мартингалів, пов'язаних з гіллястими випадковими блуканнями. Встановлено, що з правильної зміни хвостів розподілів випадкових величин, що є значеннями мартингалів в момент часу 1, випливає правильна зміна й еквівалентність на нескінченності хвостів розподілів декількох операторів, що діють на мартингалах, пов'язаних з гіллястими випадковими блуканнями.

Розглянуто особливий випадок гіллястих процесів з імміграцією частинок у випадкові моменти часу. Параметри процесу близькі до критичних. Доведено, що певним чином нормована послідовність таких процесів збігається у рівномірній топології до дифузійного процесу. Як наслідок вивчено граничну поведінку функціоналів інтегрального типу.

На основі випадкового розгалуженого процесу роздріблення, подібного до мультиплікативного процесу побудови мультифрактальних мір, побудовано ймовірнісну модель стохастичного просторово однорідного фракталу. Розраховано його фрактальну розмірність і доведено, що вона "самоусереднюється".

Доведено граничну теорему для послідовності процесів гіллястого процесу Гальтона - Ватсона. Вона є узагальненням на випадок довільної кількості типів частинок теореми, яку довів Солтан Алієв для скінченної кількості типів частинок. Суть теореми полягає в тому, що за певних умов скінченновимірні розподіли послідовності процесів Гальтона - Ватсона, що залежить від деякого малого параметра <$E epsilon>, за умови <$E epsilon~symbol О~0> збігаються до скінченновимірних розподілів гіллястого процесу з неперервним фазовим простором.