Представлено пряму конструкцію ретровідбивних кривих за допомогою нестандартного аналізу, а саме: побудовано плоскі криві без самоперетинів, гладкі класу <$E C sup 1>, за винятком гіперскінченної множини значень, з наступною характерною властивістю: ймовірність того, що довільна частка відбивається від кривої у напрямку, зворотному до напрямку падіння, є нескінченно близькою до 1. Побудовано два класи вказаних кривих - криві, нескінченно близькі до прямої, та криві, нескінченно близькі до межі опуклої множини. Доведено, що криві з другого класу є розв'язками наступного питання: пошук кривої максимального супротиву, яка нескінченно близька до заданої кривої.

Індекс рубрикатора НБУВ: В181.13я73-1 + В181.141я73-1

Шифр НБУВ: ВА628401 Пошук видання у каталогах НБУВ 

Розглянуто основні поняття аналітичної геометрії: елементи векторної алгебри, метод координат, пряма лінія і криві другого порядку на площині, пряма, площина та поверхні другого порядку у просторі. Наведено завдання з аналітичної геометрії: 32 задачі за 30-ма варіантами, теоретичні відомості, необхідні для їх розв'язання та методичні вказівки із зразком виконання кожної задачі.

Рассмотрены основные понятия аналитической геометрии: элементы векторной алгебры, метод координат, прямая линия и кривые второго порядка на плоскости, прямая, плоскость и поверхности второго порядка в пространстве. Приведены задания по аналитической геометрии, 32 задачи по 30 вариантов, теоретические данные, необходимые для их решения и методические указания с образцом выполнения каждой задачи.

Введен новый класс замкнутых поверхностей в E³ произвольного рода, которые названы p-симметронами. С их помощью построены замкнутые регулярные поверхности в E⁴. Компьютерными методами исследовано поведение гауссовой кривизны построенных поверхностей. Рассмотрена задача построения замкнутой поверхности рода 2 с отрицательной гауссовой кривизной в E⁴, имеющей регулярную проекцию на E³.

Наведено теоретичні відомості про лінійну та векторну алгебру, аналітичну геометрію. Описано визначники, матриці, системи лінійних алгебричних рівнянь, визначено скалярний, векторний і мішаний добутки векторів, пряму лінію на площині та в просторі, взаємне розміщення прямої і площини, криві та поверхні другого порядку.

Даны теоретические сведения о линейной и векторной алгебре, аналитической геометрии. Описаны определители, матрицы, системы линейных алгебраических уравнений, определены скалярные, векторные и смешанные произведения векторов, прямая линия на плоскости и в пространстве, взаимное размещение прямой и плоскости, кривые и поверхности второго порядка.

Охарактеризовано системи рівнянь, основні елементи лінійної та векторної алгебри, а також аналітичної геометрії на площині та в просторі. Розглянуто основні означення матриці та математичні операції над прямокутною таблицею чисел та її елементами. Визначено сутність мінорів та алгебричних доповнень, встановлено властивості визначників матриці та засоби їх обчислення. Розкрито сутність зворотної матриці та наведено приклад її спільного застосування з формулами Крамера для розв'язання системи n лінійних рівнянь з n невідомими. Розглянуто теорему Кронекера - Капеллі, визначено ранг матриці, наведено приклади розв'язання системи лінійних рівнянь за методами Гаусса та Жордана - Гаусса. Розкрито зміст основних теоретичних понять і закономірностей векторної алгебри, наведено способи визначення довжини та напрямних косинусів вектора. Розглянуто найпростіші задачі аналітичної геометрії, представлено канонічні рівняння еліпса, гіперболи, параболи.

Охарактеризованы системы уравнений, основные элементы линейной и векторной алгебры, а также аналитической геометрии на плоскости и в пространстве. Рассмотрены основные определения матрицы и математические операции над прямоугольной таблицей чисел и ее элементами. Определена сущность миноров и алгебраических дополнений, показаны свойства определителей матрицы и способы их исчисления. Раскрыта сущность обратной матрицы, установлены возможности ее совместного применения с формулами Крамера для решения систем n линейных уравнений с n неизвестными. Рассмотрена теорема Кронекера - Капелли, определен ранг матрицы, приведены примеры решения систем линейных уравнений по методу Гауса и Жордана - Гаусса. Раскрыто содержание основных теоретических понятий и закономерностей векторной алгебры, приведены способы определения длины и направленных косинусов вектора. Рассмотрены наипростейшие задачи аналитической геометрии, представлены канонические уравнения элипса, гиперболы, параболы.

Висвітлено основні числові системи. Подано інформацію про многочлени від однієї змінної. Розглянуто види матриць. Розкрито основні поняття системи лінійних алгебричних рівнянь. Охарактеризовано елементи векторної алгебри. Увагу приділено поліноміальним матрицям.

Досліджено властивості кривих четвертого порядку, що задаються за допомогою комплексу полікоординатних лінійних функцій.

Розглянуто основні терміни та поняття лінійної алгебри й аналітичної геометрії. Наведено інформацію про основні алгебричні структури, афінні многовиди, алгебру матриць, векторний простір над полем, білінійні симетричні та квадратичні форми. Увагу приділено матрицям лінійних відображень, геометричним властивостям кривих другого порядку, закону інерції квадратичних форм, параметризації лінійних афінних многовидів.

Рассмотрены основные термины и понятия линейной алгебры и аналитической геометрии. Дана информация об основных алгебраических структурах, афинных многовидах, алгебре матриц, векторном пространстве над полем, билинейных симметричных и квадратичных формах. Уделено внимание матрицам линейных отображений, геометрическим свойствам кривых второго порядка, закону инерции квадратичных форм, параметризации линейных афинных многовидов.

Наведено означення вектора, системи координат, прямої на площині, прямих і площин у просторі, центру поверхні, діаметральної площини, прямолінійних твірних, дотичної площини, поверхні обертання, циліндричних і канонічних поверхонь. Розглянуто лінійні операції на множині векторів, канонічні рівняння еліпса, гіперболи та параболи, лінійні й афінні перетворення простору. Висвітлено основні положення теорії ліній другого порядку, запропоновано методику зведення загального рівняння поверхні другого порядку до канонічного вигляду. Наведено приклади розв'язку основних типів задач, які пов'язані з векторною алгеброю, прямою на площині, прямою та площиною у просторі, теорією ліній і поверхонь другого порядку, а також лінійними й афінними перетвореннями.

Даны определения вектора, системы координат, прямой на плоскости, прямых и плоскостей в пространстве, центра поверхности, диаметральной плоскости, прямолинейных образующих, касательной плоскости, поверхности вращения, цилиндрических и канонических поверхностей. Рассмотрены линейные операции на множестве векторов, канонические уравнения элипса, гиперболы и параболы, линейные и афинные преобразования пространства. Освещены основные положения теории линий второго порядка, рассмотрена методика сведения общего уравнения поверхности второго порядка к каноническому виду. Даны примеры решения основных типов задач, связанных с векторной алгеброй, прямой на плоскости, прямой и плоскостью в пространстве, теорией линий и поверхностей второго порядка, а также линейными и афинными преобразованиями.

Рассмотрены основные аксиомы и определения аналитической геометрии, методы смешанного произведения векторов и способы вычисления координат векторного произведения. Приведены теоретические сведения об алгебрах Ли, рассмотрены различные метрические задачи и способы их решения. Проанализированы выпуклые множества и гиперплоскости, полярная система координат на плоскости, аффинные и изометрические преобразования. Рассмотрены вопросы геометрии билинейной формы, исследована аффинная классификация квадратичных функций, основанная на алгоритме Лагранжа. Исследованы теория внешних форм, основные факты проективной геометрии и элементы геометрии Лобачевского. Приведены примеры экзаменационных задач по аналитической геометрии.

Наведено відомості з лінійної алгебри й аналітичної геометрії про матриці та визначники, системи лінійних алгебричних рівнянь, векторну алгебру та лінійні простори, комплексні числа, геометрію прямої та площини, криві та поверхні другого порядку.

Розглянуто методи та моделі лінійної, векторної алгебри. Визначено методи та моделі аналітичної геометрії. Висвітлено теми матриці та визначників, системи лінійних алгебричних рівнянь, векторної алгебри та лінійних просторів, комплексних чисел, геометрії прямої та площини, кривих і поверхні 2-го порядку.

Рассмотрены методы и модели линейной, векторной алгебры. Определены методы и модели аналитической геометрии. Отражены темы матрицы и определителей, системы линейных уравнений алгебраизма, векторной алгебры и линейных пространств, комплексных чисел, геометрии прямой и плоскости, кривых и поверхности 2-го порядка.

Висвітлено теоретичні засади лінійної алгебри й аналітичної геометрії, розкрито можливості їх застосування в економічній теорії. Увагу приділено матричному методу розв'язання систем лінійних рівнянь, лінійній моделі обміну, моделі зрівноважених цін, полярній системі координат, кривим другого порядку, кривим попиту та пропозиції, павутиноподібній моделі ринку.

Освещены теоретические основы линейной алгебры и аналитической геометрии, раскрыты возможности их применения в экономической теории. Уделено внимание матричному методу решения систем линейных уравнений, линейной модели обмена, модели уравновешенных цен, полярной системе координат, крывым второго порядка, кривым спроса и предложения, паутиноподобной модели рынка.

Висвітлено питання з лінійної алгебри та аналітичної геометрії. Наведено розв'язки типових задач з лінійної алгебри, описано види матриць. Розкрито економічний зміст математичних понять, розглянуто найпростіше застосування математики в економіці.

Освещены вопросы по линейной алгебре и аналитической геометрии. Приведены решения типичных задач по линейной алгебре, описаны виды матриц. Раскрыто экономическое содержание математических понятий, рассмотрено найболее простое применение математики в экономике.

В точковому численні досліджено спосіб визначення дуги кривої третього порядку як лінії перетину двох конусів другого порядку зі спільною твірною.

Висвітлено основні теоретичні положення аналітичної геометрії та лінійної алгебри. Розглянуто матриці та дії над ними, скалярний, векторний і мішаний добуток векторів, метод координат на площині та у просторі. Викладено загальне рівняння ліній другого порядку та методику його зведення до канонічного вигляду. Наведено відомості про пряму на площині, розроблено завдання для самостійної роботи, запропоновано зразки розв'язання типових задач.

Освещены основные теоретические положения аналитической геометрии и линейной алгебры. Рассмотрены матрицы и действия над ними, скалярное, векторное и смешанное произведение векторов, метод координат на плоскости и в пространстве. Дано общее уравнение линий второго порядка и методика его приведения к каноническому виду. Изложены теоретические сведения о прямой на плоскости, разработаны задания для самостоятельной работы, приведены образцы решения типичных задач.

Висвітлено питання лінійної алгебри й аналітичної геометрії. Розглянуто системи лінійних рівнянь, основні алгебричні структури, елементи векторної алгебри, взаємне розміщення прямих на площині. Наведено інформацію про визначники матриць, лінійні операції над геометричними векторами, узагальнену теорему Вієта, лінійний векторний простір.

Освещены вопросы линейной алгебры и аналитической геометрии. Рассмотрены системы линейных уравнений, основные алгебраические структуры, элементы векторной алгебры, взаимное размещение прямых на плоскости. Дана информация об определителях матриц, линейных операциях над геометрическими векторами, обобщенной теореме Виета, линейном векторном пространстве.

Виведено рівняння, які описують ізоптичні кривих, заданих параметрично. Розглянуто ізоптичні криві деяких кубік. Побудовано графіки ізоптичних півкубічної параболи, цисоїди Діоклеса, листка Декарта, строфоїди, трисектриси Маклорена, кубіки Чирнгаузена, верзієри. Графіки побудовано за допомогою комп'ютерних систем MathCAD і AutoCAD. Описано деякі властивості ізоптичних кубік.

Запропоновано геометричну схему формування обводу з монотонною зміною кривини другого порядку фіксації методом згущень. Положення точки згущення призначається виходячи з розміру та положення стичних кіл обводу, призначених у вихідних вузлах і точці згущення.