Розглядається необхідна і достатня умова, за якої визначене на паралелепіпеді афінне відображення можна задати скінченним перетворювачем.

В цій статті знайдено цілком геодезичні підмноговиди на гіперповерхнях обертання в евклідовому просторі.

Висвітлено питання утворення спряжених поверхонь, які є робочими поверхнями зубців різноманітних зубчастих коліс і широко використовуються в технології машинобудування, а також є вихідними інструментальними поверхнями найрізноманітніших інструментів. Розглянуто питання визначення спряжених кривих і поверхонь за різних відносних їх рухів, утворення спряжених поверхонь за допомогою допоміжної твірної, умови стикання спряжених поверхонь. Наведено розв'язання типових задач і запропоновано завдання для самостійної роботи студентів.

Геометрична властивість одношарових конформних відображень - кривини ліній, які здобуто при відображенні пучка прямих, цілком визначаються одним вектором - використовується для явного опису електромагнітних сил, що діють на заряди та струми в площинних задачах електродинаміки.

Висвітлено основні поняття диференціальної геометрії та топології у загально прийнятій символіці. Викладено робочу програму курсу. Наведено елементи тензорної алгебри, тензорного аналізу та ріманової геометрії. Запропоновано вправи та задачі до розділу "Елементи тензорної алгебри, тензорного аналізу та ріманової геометрії".

Представлено стислий виклад основ теорії кривих і поверхонь у тривимірному евклідовому просторі. Запропоновано більш загальний підхід до означення кривих та поверхонь у топологічних многовидах як до класу відображень спеціального виду. Розглянуто векторні функції скалярного аргументу, локальні властивості точкових множин, заданих неявними рівняннями, а також першу та другу квадратичну форми поверхні, внутрішню геометрію поверхні, деякі спеціальні криві на поверхні (лінії кривини, асимптотичні та геодезичні лінії). Наведено формули Френе, теорему Меньє щодо елементів теорії кривих, формулу Ейлера, теорему Родріга для теорії елементарних поверхонь тощо.

Досліджено парні добутки модулів сімей кривих на рімановому листку Мьобіуса та одержані оцінки для цих добутків. Як один із множників розглядається модуль сім'ї дуг з широкого класу таких сімей (і для кожної з них знайдено модуль та екстремальну метрику).

Поверхні обертання постійної середньої кривини в евклідовому тривимірному просторі відомі як поверхні Ш. Делоне. Вони мають видатну властивість: їх профільні криві (генератриси) є траєкторіями фокусів конічних перерізів при їх котінні вздовж прямої. Аналогічну конструкцію реалізовано в просторових формах H³ і S³. Виклад обмежено випадком мінімальних поверхонь і доведенням наступної теореми. Теорема. Генератрисою катеноїда обертання просторової форми H³(S³) є траєкторія фокуса гіперболічної (сферичної) параболи при її котінні вздовж геодезичного променя.

Р.П. Н'юмен довів, що геодезично повний у часоподібних напрямках лоренців простір з невід'ємною кривиною Річчі для часоподібних напрямків, в якому існує часоподібна пряма, є метричним добутком прямої і простороподібного ріманового простору. В цій статті доводиться зовнішньогеометричний аналог цієї теореми для багатовимірних поверхонь Мінковського. Більш того, доводиться, що k - сильно параболічні геодезично повні підмноговиди в псевдо-евклідовому просторі з невід'ємною кривиною Річчі у простороподібних напрямках є циліндрами з k-вимірними твірними.

Встановлено необхідну та достатню умову спряженості m-функцій на поверхнях.

Келерові многовиди, що допускають голоморфні ріманові субмерсії, з необхідністю є звідними. Тому у статті в основному розглядаються конформні субмерсії, які не є рімановими. Отримано опис будови тензора кривини келерова многовиду E, що допускає голоморфну конформну субмерсію на інший келеров многовид. Шари субмерсії припускаються цілком геодезичними. Для субмерсії зазначеного типу, шари якої мають комплексну вимірність, рівну 1, отримано опис будови келерової метрики многовиду E. Доведено конкретні приклади. Надалі буде запропоновано метод конструювання розшарувань, проекція яких є голоморфною конформною (нерімановою) субмерсією з вертикальним показником конформності та цілком геодезичними шарами. Метод дозволяє конструювати повні, у тому числі компактні, келерові розшаровані простори з проекцією зазначеного типу. Буде показано, що для існування таких розшарувань необхідно та достатньо, щоб база була ходжевим многовидом.

Наведені результати про модулі та екстремальні метрики сімей кривих в деяких неорієнтовних або скручених ріманових многовидах. Введено та досліджено також вагові l-модулі сімей кривих та відповідні екстремальні метрики.

Вивчено відображення грассманова багатовиду G_kⁿ, які зберігають клас іррегулярних підмножин. Доведено, що у випадку n symbol Щ 2k ці відображення індуковані лінійними автоморфізмами Rⁿ.

Описаны свойства корней из гомеоморфизмов как динамических систем в терминах разложения многообразия на множества точек с различным динамическим поведением. Освещена структура корней из гомеоморфизмов одномерных многообразий - прямой и окружности. Рассмотрены условия существования корней для плотного класса диффеоморфизмов двумерных поверхностей (диффеоморфизмов Морса - Смейла).

Розглянуто лінійні та евклідові простори, поняття розмірності та базису простору, ізоморфізм просторів, підпростори лінійного простору. Особливу увагу приділено лінійним операторам та елементам спектральної теорії операторів. Описано кільце багаточленів над різними полями. Висвітлено основну теорему алгебри багаточленів, дійсні корені багаточлена та наближені методи розв'язання алгебричних і трансцедентних рівнянь. Проаналізовано методи диференціального числення кривих і поверхні в евклідовому просторі. Розглянуто тригранник і формули Френе, поняття кривини і скруту просторової лінії, першу квадратичну форму поверхні.

З використанням методу В.Х.Навояна висвітлено проблему знаходження екстремальних метрик і модулів сімей кривих, що лежать у деяких неорієнтовних n-вимірних (<$En >= >3) ріманових багатовидах. Розкрито суть поняття замкненої кривої <$Eeta> в <$EP sup n>.

С использованием метода В.Х.Навояна освещена проблема нахождения экстремальных метрик и модулей семей кривых, лежащих в некоторых неориентированных n-измеримых (<$En >= >3) римановых многовидах. Раскрыто содержание понятия замкнутой кривой <$Eeta> в <$EP sup n>.

Впервые в монографической литературе на русском языке изложены локальные и глобальные вопросы геометрии подмногообразий. Освещены теории кривых в n-мерном евклидовом пространстве, определена кривизна кривой, определены формулы для их вычислений. Рассмотрены подмногообразия большой размерности, предложены коэффициенты фундаментальных форм, связанных между собой уравнениями Гаусса - Кодацци - Риччи. Охарактеризованы двумерные поверхности в четырехмерном евклидовом пространстве. Приведено доказательство теоремы о неустойчивости минимальной двухмерной поверхности гомеоморфной сферы в римановом пространстве положительной защемленной кривизны.

Освещены свойства дифференциально-геометрических структур, интерпретирующиеся как функторы расслоений и морфизмы между ними, определенные на подходящей категории над многообразиями. Описаны геометрические конструкции, которые интерпретируются как естественные преобразования между функторами. Рассмотрены естественные преобразования функторов, преобразующие сечения одного естественного расслоения в сечение другого и коммутирующие с индуцированными действиями локальных диффеоморфизмов базисных многообразий. Изложена концепция интерпретации геометрического как естественного. Значительное внимание уделено проблеме описания (классификации) всех естественных операций для заданных функторов расслоений.

Рассмотрена проблема существования бесконечно малых изгибаний регулярных поверхностей класса C<^>3 произвольной гауссовой кривизны, а также изгибаний поверхностей как непрерывных деформаций. Описаны механическая и геометрическая структуры изгибающих полей и полей вращений при бесконечно малых изгибаниях.

Наведено теоретичні відомості з курсу диференціальної геометрії, розглянуто лінії, поверхні та многогранники в евклідовому просторі. Виклад програмного матеріалу супроводжується прикладами розв'язання запропонованих завдань, детальними поясненнями розв'язків. Розроблено завдання для самостійної роботи, наведено стислі біографічні відомості про видатних вчених та історію виникнення і розвитку класичної диференціальної геометрії.

Приведены краткие теоретические сведения по курсу дифференциальной геометрии, рассмотрены линии, поверхности и многогранники в эвклидовом пространстве. Изложение программного материала сопровождается примерами решения предложеных заданий, их детальным объяснением. Приведены задания для самостоятельной работы, краткие биографические сведения о выдающихся ученых, а также по истории возникновения и развития классической дифференциальной геометрии.