Для нелінійних крайових задач з монотонним оператором побудовано триточкові різницеві схеми високого порядку точності на нерівномірній сітці. Доведено існування й єдиність розв'язку триточкових різницевих схем, одержано оцінку точності як стосовно до розв'язку <$E { roman bold u} (x)>, так і до потоку <$E K(x)d { roman bold u} "/" dx>.

Оцінено похибку розв'язування задач Коші для систем звичайних диференціальних рівнянь за умов наближених вихідних даних. Показано, як необхідно формувати програму обчислення правих частин системи, щоб автоматично розпаралелювалось їх обчислення. Наведено діаграми, що ілюструють ефективність розпаралелювання обчислень.

Розглянуто побудову нового числового методу розв'язування задачі Коші для систем звичайних диференціальних рівнянь, в основі якого лежить апроксимація функції некласичною мажорантою Ньютона. Встановлено достатні умови збіжності методу.

Предложен алгоритм численного метода решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений (задачи Коши), представляющий собой явную схему. Алгоритм позволяет решать жесткие уравнения.

Обобщены результаты исследований с помощью параллельных методов численного решения задачи Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений, что является продолжением ранее опубликованных работ. Приведено доказательство сходимости приближенного решения для m-шаговых k-точечных блочных методов.

Побудовано нову ітераційну процедуру для знаходження розв'язків нетерової слабконелінійної крайової задачі для системи звичайних диференціальних рівнянь у некритичному випадку.

Одержано конструктивні умови існування та побудовано модифіковану ітераційну процедуру для знаходження розв'язків автономної нетерової слабконелінійної крайової задачі для системи звичайних диференціальних рівнянь у критичному випадку.

Досліджено задачу про знаходження умов існування та побудову розв'язків нетерових слабконелінійних крайових задач для систем звичайних диференціальних рівнянь. Побудовано нову ітераційну процедуру з прискореною збіжністю для знаходження розв'язків нетерової слабконелінійної крайової задачі для системи звичайних диференціальних рівнянь у критичному випадку.

Для звичайних диференціальних рівнянь другого порядку та їх систем з крайовими умовами першого роду побудовано точну триточкову різницеву систему (ППРС). На базі методу монотонних операторів доведено існування та єдність її розв'язку, а також збіжність методу простої ітерації для її розв'язування. Розроблено алгоритмічну реалізацію ТТРС з застосуванням триточкових різницевих схем (ТРС) рангу <$Em bar ~=~2[(m~+~1)"/"2]> (m - ціле додатне, <$E[~ cdot ~]> - ціла частина. Доведено існування та єдність розв'язку ТРС рангу <$Em bar>. Показано, що ці схеми мають порядок точності <$Em bar> стосовно розв'язку та його потоку. Доведено збіжність й одержано оцінку точності методу послідовних наближень розв'язування ТРС порядку точності <$Em bar>. Ефективність запропонованого підходу показано на числових прикладах.

  Скачати повний текст

Індекс рубрикатора НБУВ: В192.162.11

Рубрики:

Наближене розв'язання систем звичайних диференціальних рівнянь

Шифр НБУВ: РА348805 Пошук видання у каталогах НБУВ 

Схему класичного методу найменших квадратів використано для побудови наближеного псевдорозв'язку лінійної некоректно поставленої крайової задачі з імпульсним впливом для системи звичайних диференціальних рівнянь у критичному випадку у вигляді часткових сум узагальненого ряду Фур'є.

Зазначено, що для забезпечення належної якісної характеристики наближеного числового розв'язування задачі Коші для систем звичайних диференціальних рівнянь необхідно сформулювати певні вимоги, які повинні задовольняти числові методи. Ефективність числового методу визначається побудовою алгоритму зміни кроку інтегрування та вибором порядку методу. Побудова такого методу вимагає попереднього визначення величини допустимої похибки методу на кожному кроці інтегрування. Сформульовано теорему про оцінку локальної похибки багатокрокових числових методів p-го порядку зі змінним кроком інтегрування без урахування похибки заокруглення. Ця теорема дозволяє побудувати ефективний алгоритм зміни кроку та вибір відповідного порядку методу.

Предложена методика решения краевых задач для систем обычных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами на примере задач стойкости плоской формы изгиба тонкостенных стержневых систем. Проинтегрованы уравнения стойкости тонкостенного стержня при постоянном значении гибочного момента, а решение задачи Коши надано в нормальной форме. Сформировано уравнение краевой задачи дискретизированной стержневой системы по алгоритму метода предельных элементов, а критические силы и моменты определяются из трансцендентного уравнения.

Предложена модификация метода Петрова - Галеркина для численного решения уравнения Бюргерса с доминирующим конвективным членом, основанная на использовании адаптивных весовых функций, динамически изменяющихся в зависимости от профиля эволюционирующего решения. Построена конечномерная модель описываемого уравнением процесса в виде системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Эффективность предложенного метода продемонстрирована на примерах путем сравнения численного решения с аналитическим.

Побудовано та обгрунтовано точну триточкову різницеву схему для числового розв'язування крайових задач на півпрямій для систем нелінійних звичайних диференціальних рівнянь другого порядку. За умов існування та єдиності розв'язку крайової задачі доведено існування та єдиність розв'язку точної триточкової різницевої схеми. Доведено збіжність методу послідовних наближень для її розв'язування.

We present the asymptotic estimate for an approximate solution to the Cauchy problem for singularly perturbed linear systems of differential equations with degeneration under a pulse action at fixed time moments in the case of multiple roots.

A new numerical-analytic method for investigating the boundary-value problems for nonlinear differential systems is suggested.

Приведен обзор современных архитектур и классов параллельных вычислительных систем, описаны базовые топологические структуры, введены основные принципы и методика распараллеливания; выполнен анализ динамических характеристик качества параллельных вычислений. Проанализированы существующие методы решения динамических задач, описываемых системой обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ). Исследованы параллельные явные методы численного решения систем ОДУ с оценкой локальной апостериорной погрешности. Разработаны методы, ориентированы на использование в многопроцессорных системах SІMD-, MIMD-, CLUSTER-архитектур с распределенной памятью и различными топологиями соединения процессорных элементов и процессоров. Обоснованы новые параллельные методы решения ОДУ с использованием неявных одношаговых разностных схем. Проведен сравнительный анализ неявных одношаговых методов решения нелинейной задачи Коши на основе блочных k-точечных и полностью неявных методов типа Рунге - Кутты. Осуществлено обобщение методов, реализующих разностные многоточечные одношаговые блочные схемы для решения систем ОДУ. Получены вычислительные схемы интегрирования, соответствующие параллельным экспоненциальным методам решения линейной задачи с контролем погрешности на шаге. Для ускорения наиболее ресурсоемких операции экспоненциального метода матричного произведения предложен параллельный алгоритм на основе комбинации быстрого рекурсивного и систолического алгоритмов, а также модификация систолического алгоритма, которая снимает ограничения на порядок перемножаемых матриц.