Досліджено збіжність методу з порядком збіжності 1,839... для розв'язування нелінійних операторних рівнянь у банахових просторах за узагальнених умов Ліпшиця для поділених різниць першого та другого порядку. Встановлено умови та швидкість збіжності цього методу, знайдено область єдиності розв'язку задачі.

Встановлено достатні умови збіжності одного класу методів ітеративного агрегування для лінійних рівнянь з обмеженими операторами. Ці умови не містять вимог про знакосталість оператора і не потребують, щоб був меншим від одиниці його спектральний радіус.

Досліджено дворівневі монотонні варіаційні нерівності у нескінченновимірному гільбертовому просторі. Запропоновано два алгоритми проекційного типу. Доведено теореми сильної збіжності у випадку сильно монотонних операторів нерівності другого рівня.

Запропоновано, у точковій формі, 2 обчислювальних алгоритми аналітичного визначення точки, яка належить прямій, до найближчої до іншої прямої, якщо ці прямі є мимобіжними.

Представлена архитектура обобщенного итерационного алгоритма метода группового учета аргументов, частные случаи которого - алгоритмы многорядного и релаксационного типов, а также разновидности итерационно-комбинаторных алгоритмов. На основе предложенной методики численного анализа эффективности итерационных алгоритмов выполнено их сравнительное исследование, включая сходимость к истинной модели.

Розглянуто проблему наближеного розв'язування жорстко некоректних задач зі збуреними вхідними даними. До регулювання таких задач застосовано ітерований метод Тіхонова з правилом зупинки згідно з принципом рівноваги. Для запропонованого підходу знайдено порядкову оцінку похибки на класі задач, що досліджуються.

Розглянуто матричну обернену задачу на власні значення. Для числового розв'язання цієї задачі запропоновано алгоритм на базі ітераційного процесу Ньютона, у якому для побудови якобіана використовується числова процедура обчислення точних похідних від детермінанта матриці.

Обгрунтовано та розвинуто модифікований метод послідовних наближень (ММПН), призначений для обчислення характеристичних чисел (простих і кратних) лінійного цілком неперервного оператора, що діє у нормованому функціональному просторі, а також відповідних їм власних і приєднаних (якщо такі є) функцій. Запропоновано спосіб апостеріорної оцінки точності одержаних характеристичних чисел. ММПН поширено на узагальнені спектральні задачі з поліноміальними матричними пучками та квадратичними пучками лінійних цілком неперервних операторів, що діють у гільбертовому просторі. Розроблено алгоритми та програми числової та аналітичної реалізації методу. На прикладах розв'язування багатьох задач продемонстровано високу ефективність ММПН, його переваги у порівнянні з іншими методами розв'язування спектральних задач.

Розроблено теоретичні засади, алгоритмічне та програмне забезпечення побудови моделей вхід - вихід статичних систем за умов представлення вихідних змінних в інтервальному вигляді - інтервальних моделей статичних систем. На теоретичних засадах розвинуто нові методи планування експериментів, ідентифікації оптимальних структур інтервальних моделей, локалізації та припустимого оцінювання множин їх параметрів, наближення складних моделей простішими та розв'язано нові прикладні задачі. Запропоновано та реалізовано систематизований підхід для порівняльного аналізу властивостей інтервальних моделей у разі застосування різних методів локалізації параметрів інтервальних моделей. Розроблено новий ітераційний метод локалізації множини параметрів інтервальних моделей з виділенням оптимального насиченого блоку експерименту. Побудовано критерії оптимальності локалізаційних експериментів і синтезовано оптимальні локалізаційні плани для активної ідентифікації множини параметрів інтервальних моделей. Для випадку збігу кількості вихідних характеристик системи з кількістю параметрів її моделі одержано формулу множини припустимих багатомірних еліпсоїдів, оптимальну припустиму багатомірну еліпсоїдну оцінку множини параметрів лінеаризованої моделі статичної системи та зв'язок між властивостями цієї множини та ймовірністю працездатності системи. Розроблено методи та алгоритми припустимого оцінювання параметрів інтервальних моделей статичних систем багатомірними еліпсоїдами. Для інтервальної моделі статичної системи, лінійної за вхідними змінними на області експерименту - багатомірній кулі запропоновано методи

Обгрунтовано двосторонні аналоги методу Ньютона для знаходження власних значень нелінійних спектральних задач. Вперше досліджено нові властивості методу Геллі. Запропоновано нову ефективну чисельну процедуру обчислення похідних (першої та другої) від детермінанта алгебраїчної спектральної задачі, не розкриваючи самого детермінанта. Використовуючи чисельну процедуру обчислення похідних від детермінанта матриці, побудовано алгоритм, який дозволяє обчислити кількість власних значень спектральної задачі, які знаходяться в заданій області комплексної площини та деяке наближення до кожного з них. Запропоновано нову модифікацію алгоритму побудови кривих власних значень лінійних та нелінійних за спектральними параметрами двопараметричних задач на власні значення, який дозволяє знайти всі власні криві, які попадають у задану область зміни спектральних параметрів задачі. Запропоновано й обгрунтовано варіаційний підхід до розв'язування лінійних і нелінійних багатопараметричних (двопараметричних) спектральних задач в абстрактному гільбертовому просторі. Вперше застосовано ітераційні процеси двосторонніх наближень до власних значень для знаходження точок галуження розв'язків нелінійних інтегральних рівнянь, що виникають у задачах синтезу випромінюючих систем за заданою амплітудною діаграмою напрямленості.

Запропоновано новий підхід щодо дослідження операторних рівнянь з обмеженнями, згідно з яким керування вводиться в обмеження. За допомогою даного підходу встановлено умови їх сумісності. На основі результатів, які одержано для даних рівнянь, визначено умови сумісності нелінійного інтегрального рівняння з обмеженнями. Розроблено інтеграційний та модифікований проекційно-ітеративний методи знаходження наближених розв'язків операторних рівнянь з обмеженнями. Визначено достатні умови збіжності та оцінки похибки зазначених методів. Застосовано інтеграційний та модифікований проекційно-ітеративний методи до лінійних інтегральних рівнянь з обмеженнями, надано обгрунтування методів і на їх основі запропоновано зручні обчислювальні схеми. Встановлено умови сумісності нелінійної крайової задачі для звичайних диференціальних рівнянь з обмеженнями. Обгрунтовано застосування до неї ітераційного та модифікованого проекційно-ітеративного методів. На основі даних методів розроблено обчислювальні схеми.

Доказана сходимость Обобщенного Релаксационного Итерационного Алгоритма метода группового учета аргументов. Показана сходимость алгоритма к истинной модели при наличии фиктивных аргументов в матрице данных.

Рассмотрены основные теоретические и методические вопросы создания аппроксимирующих моделей геологической среды и фильтрационных итерационных методов устойчивого решения линейных и линеаризованых вариантов нелинейных обратных задач непосредственно для полевых измерений гравитационного и магнитного полей. Введено понятие сеточно-блоковой интерпретационной модели и требования к ней как необходимые условия существования устойчивого решения обратных задач грави- и магнитометрии. Изложены методы автоматизации процесса формирования начальных условий и комплексные технологии аппроксимации геологической среды блоковыми и другими моделями для итерационных процессов.

За допомогою заміни мономів довільною послідовністю в рекурентній лемі Брессо (1983) встановлено декілька загальних формул перетворення однобічних кратних основних гіпергеометричних рядів у двобічні одновимірні ряди, які потім використовуються для виведення численних тотожностей типу Роджерса - Рамануджана для кратних рядів.

За єдиною схемою обгрунтовано локальну збіжність найбільш відомих ітераційно-різницевих методів розв'язування нелінійних операторних рівнянь і знайдено радіуси їх збіжності. Вперше застосовано теорію нелінійних мажорант для дослідження напівлокальної збіжності методу хорд, методу Курчатова та методу з надквадратичною збіжністю. Побудовано відповідні мажорантні функції. Запропоновано узагальнення умови Ліпшиця для поділених різниць першого порядку та за цих умов проведено дослідження методу хорд, Стеффенсена, Потра та двокрокового ітераційного методу для нелінійних рівнянь і двокрокової модифікації методу Гаусса - Ньютона для нелінійних задач найменших квадратів. Розроблено й обгрунтовано модифікації параметричних методів з послідовною та паралельною апроксимацією оберненого оператора для нелінійних рівнянь і задач найменших квадратів. Побудовано неточні різницеві ітераційні методи та неточні ньютонівські методи, в яких використовують внутрішні лінійні ітераційні процеси. Проведено обгрунтування ітераційних різницевих методів Курчатова та Потра за умов неперервності за Гьольдером других поділених різниць. Розроблено квазіньютонівські двокрокові ітераційні процеси для нелінійних рівнянь і нелінійних задач найменших квадратів і двокроковий алгоритм для нелінійних рівнянь з негладким оператором. Застосовано методи типу Гаусса - Ньютона для оцінки параметрів розподілу в задачах теорії надійності та нелінійних задач найменших квадратів з обмеженнями типу рівностей і типу нерівностей, розв'язано нелінійні задачі теплопровідності та задачу змішування потоків у каналах, що звужуються.

Розглянуто питання розробки та дослідження нових ефективних щодо кількості обчислень, методів для розвТязування задачі безумовної мінімізації функцій багатьох змінних. Запропоновано нові методи, які базуються на комбінації відомих методів, що дозволяє повніше використовувати переваги кожного з базових методів, а також інформацію про обчислене значення функції та її похідних. Теоретично обгрунтовано кращу збіжність методів, побудованих таким чином, і показано кращі результати за умов апробації, в сенсі кількості обчислень в порівнянні з результатами базових методів. На основі запропонованого підходу побудовано ряд трикрокових ітераційних методів, а саме: трикроковий метод на основі методу Ньютона, модифікації методу Ньютона, квазіньютонівських методів, методу Стеффенсена, методу хорд, методу лінійної інтерполяції запропонованого В. А. Курчатовим. Сформульовано та доведено теореми про збіжність даних методів та визначено порядок їх збіжності. Побудовано та досліджено рекурсивний процес на основі модифікації методу Ньютона. Запропоновано ряд дво- та трикрокових модифікацій градієнтного методу. Застосовано трикрокові методи у випадку задач умовної мінімізації.

Предложен метод неполной столбцово-строчной факторизации матриц. Метод не требует перестановок строк и столбцов в субматрицах. Вычислительная устойчивость метода обеспечивается таким выбором ведущих элементов в субматрицах, при котором на каждом шаге факторизации достигается минимум отклонений по норме Фробениуса между преобразуемыми и получаемыми субматрицами. Значимость элементов факторных матриц определяется путем сравнения соответствующих норм строк и столбцов преобразуемых и вычитаемых субматриц. Новый метод использует меньшие объемы памяти, по сравнению с методами факторизаци AINV, ILUС и RIF-Ns.

Надано огляд основ теорії проекційно-ітеративних методів та загальної теорії наближених методів розв'язання операторних рівнянь, створеної М. С. Курпелем (до 30-річчя пам'яті Миколи Степановича Курпеля).

Для формирования предобусловливателей предложен метод неполной столбцово-строчной (ICR) факторизации несимметричных матриц. Метод не требует перестановок строк и столбцов в субматрицах. Полученные факторные матрицы не являются треугольными. Оригинальная процедура поиска ведущего элемента в субматрице по критерию минимума расхождения по норме Фробениуса между преобразуемой и преобразованной субматрицами обеспечивает устойчивость вычислений для плохо обусловленных матриц. В методе ICR-факторизации применена оригинальная оценка значимости элементов факторных матриц, основанная на сопоставлении норм строк и столбцов преобразуемых и вычитаемых субматриц. Приведены примеры решения тестовых систем уравнений с использованием итерационных методов проекций решений на подпространства Крылова, подтверждающие преимущества предложеного метода.

Індекс рубрикатора НБУВ: В192.16 + В192.18

Рубрики:

Наближене розв'язання рівнянь

Метод ітерації

Шифр НБУВ: Ж14163 Пошук видання у каталогах НБУВ 
Повний текст  Наукова періодика України 

Розглянуто задачу генерації поліноміальних інваріантів спеціального типу ітераційних циклів з лінійним відображенням у тілі циклу. Запропоновано нову техніку побудови таких інваріантів, основану на аналізі характеристичних поліномів лінійних відображень.