Встановлено загальні теореми про сукупну неперервність нарізно неперервних відображень від багатьох змінних. Для просторів з умовами зліченності отримані теореми охоплюють відомі раніше результати по цій темі.

Показано, що підмножина добутку n метризовних просторів є множиною точок розриву деякої нарізно неперервної функції й лише тоді, коли її можна подати у вигляді об'єднання послідовності F_sigma-множин, які є локально проективні першої категорії.

Показано, що кожна функція Каратеодорі f : T times X -> Y, де T - топологічний простір з регулярною sigma-скінченною мірою, простори X і Y - метризовні та сепарабельні, X - локально компактний, має властивість Скорца-Драгоні. Аналогічний результат одержано, коли простір T - локально компактний і X = R^inf.

Розглянуто простір лінійних неперервних операторів, зокрема, моно-, епі-, ізоморфізмів, а також факторопростори векторного простору. Наведено теорему Тихонова про скінченновимірні ізоморфні векторні простори. Визначено критерій скінченновимірності. Проаналізовано особливості проективних топологій, наведено їх приклади. Розглянуто індуктивні, фінальні типології, а також бочкові та борнологічні простори. Наведено третє доведення принципу рівномірної обмеженості.

Рассмотрены пространство линейных беспрерывных операторов, в частности, моно-, эпи-, изоморфизмы, а также факторопространства векторного пространства. Приведена теорема Тихонова об конечноизмерительных изоморфных векторных пространствах. Определен критерий конечноизмеримости. Проанализированы особенности проективных топологий, приведены их примеры. Рассмотрены индуктивные, финальные типологии, а также бочковые и борнологические пространства. Приведено третье доказательство принципа равномерной ограниченности.

Розглянуто класи топологічних векторних просторів (нормовані, полінормовані, локально опуклі, метризовані). Наведено функціонали Мінковського, запропоновано критерії нормовності Колмогорова та метризовності Біркгофа - Какутані. Описано повні та берівські топологічні векторні простори, досліджено властивості околів нуля в даних просторах. Запропоновано спосіб побудови лінійної топологічної структури. Наведено теорему Осгуда про поточково обмежені сім'ї неперервних функцій, а також теорему Бора про категорію.

Рассмотрены классы топологических векторных пространств (нормированные, полинормированные, локально выпуклые, метризованные). Приведены функционалы Минковского, предложены критерии нормированности Колмогорова и метризованости Биркгофа - Какутани. Описаны полные и бериковские топологические векторные пространства, исследованы свойства окружностей нуля в данных прстранствах. Предложен способ построения линейной топологической структуры. Приведены теорема Осгуда о поточечно ограниченной семьи беспрерывных функций, а также теорему Бора о категории.

Розглянуто теореми теорії множин, поняття множини та відображення, добутки і суми сімей множин, впорядковані множини, кардинальні та порядкові числа. Наведено аксіому вибору разом з еквівалентними їй твердженнями.

Рассмотрены теоремы теории множеств, понятие множеств и отображений, произведения и суммы семей множеств, упорядоченные множества, кардинальные и порядковые числа. Приведена аксиома выбора вместе с эквивалентными ей утверждениями.

Висвітлено життєвий та творчий шлях Г.Гана (1879 - 1934) - відомого австрійського математика, професора Чернівецького (1909 - 1916 рр.), Боннського (1916 - 1921 рр.) і Віденського (1921 - 1934 рр.) університетів. Розглянуто принцип рівномірної обмеженості та теорему про продовження лінійного функціоналу. Наведено покажчик наукових праць ученого.

Освещен жизненный и творческий путь Г.Гана (1879 - 1934) - известного австрийского математика, профессора Черновецкого (1909 - 1916 гг.), Боннского (1916 - 1921 гг.) и Виденского (1921 - 1934 гг.) университетов. Рассмотрены принцип равномерной ограниченности и теорема о продолжении линейного функционала. Предложен указатель научных трудов ученого.

Викладено основні положення теорії двоїстості топологічних векторних просторів. Розглянуто теорему Гана - Банаха в аналітичній та геометричній формі та її наслідки про відокремлення опуклих множин. Охарактеризовано лінійні неперервні функціонали та їх продовження. Наведено методи відокремлення опуклих множин. Розкрито сутність дуальної пари, слабкої топології, поляра, топології рівномірної збіжності. Доведено теорему про біполяру, а також теореми Алаоглу - Бурбакі та Маккі - Аренса. Сформульовано теореми про відкрите відображення та замкнений графік як їх класичний варіант для повнометризованих просторів. Здійснено узагальнення, пов'язані з бочковими та ультрабочковими просторами та просторами Птака. Викладено теореми Еберлейна - Шмульяна та Крейна - Мільмана.

Изложены основные положения теории двоистости топологических векторных пространств. Рассмотрена теорема Гана - Банаха в аналитической и геометрической форме и ее последствия об отделении опуклых множеств. Охарактеризованы линейные беспрерывные функционалы и их продолжение. Приведены методы отделения опуклых множеств. Раскрыта сущность дуальной пары, слабой топологии, поляра, топологии равномерных совпадений. Приведена теорема о биполяре, а также теоремы Алаоглу - Бурбаки и Макки - Аренса. Сформулированы теоремы об открытом отображении и замкнутый график как их классический вариант для полнометризированных пространств. Проведены обобщения, связанные с бочковыми и ультрабочковыми пространствами и пространствами Птака. Приведены теоремы Эберлейна - Шмульяна и Крейна - Мильмана.

Показано, що множина <$E D(f)> точок розриву функції <$E f:~{bold roman R} sup 2~symbol О~bold roman R>, яка неперервна у кожній точці <$E p> відносно двох змінних лінійно незалежних напрямків <$E e sub 1 (p)> і <$E e sub 2 (p)>, є множиною першої категорії; якщо ж <$E f> ще й диференційовна відносно одного з напрямків, то <$E D(f)> - ніде не щільна.

Наведено узагальнення відомої теореми Куратовського - Монтгомері про лебегівську класифікацію нарізно неперервних відображень.

Доведено, що для метризовного простору X зі скінченною розмірністю Лебега - Чеха, топологічного простору Y і топологічного векторного простору Z кожне відображення <$E f~:~X~symbol Ф~Y~symbol О~Z>, яке неперервне відносно першої змінної та належить до берівського класу <$E alpha> відносно другої змінної, коли значення першої змінної перебігають скрізь щільну в Х множину, належить до (<$E alpha~+~1>)-го класу Бера.

Доведено теореми про сукупну неперервність відображень з класу <$E K sub h C> зі значеннями в <$E sigma>-метризовних просторах і наслідок, що стосується функцій багатьох змінниих.

Досліджено питання про те, до яких берівських класів належать інтеграли <$E g ( y )~=~( If ) ( y )~=~int sub X^f ( x ,~y ) d mu ( x )>, залежні від параметра y, що пробігає топологічний простір Y, для нарізно неперервних і подібних до них функцій f, та обернена задача про побудову для даної функції g такої функції f, що g = If. Зокрема, доведено, що для компактних просторів X і Y і скінченної борелівської міри <$E mu> на X для того, щоб існувала нарізно неперервна функція <$E f :~X~times~Y~symbol О~bold roman R> з g = If, необхідно і досить, щоб усі звуження <$E g~|~sub {Y sub n}> функції <$E g :~Y~symbol О~bold roman R> були неперервними для деякого замкненого покриття {<$E Y sub n~:~n~symbol <174>~bold roman N>} простору Y.

С помощью теоремы Серпинского о континууме доказано, что каждое непрерывное сверху двузначное отображение линейно связного или даже C-связного пространства (пространства, любые две точки которого связываются континуумом) в прямую Зоргенфрея обязательно постоянно.

Доказано, что для метризуемого пространства X, совершенно нормального пространства Y и сильно <$E sigma>-метризуемого топологического векторного пространства Z, имеющего исчерпывание, которое состоит из замкнутых метризуемых сепарабельных линейно связных и локально линейно связных подпространств Zm пространства Z, набор (X, Y, Z) является тройкой Лебега.

Введено понятие категорно кликового отображения и доказано, что для каждого <$E K sub h C>-отображения <$E f:~X~times~Y~symbol О~Z> (где X - топологическое пространство, Y - пространство с первой аксиомой счетности, Z - пространство Мура) с категорно кликовыми горизонтальными y-разрезами <$E f sub y> множества <$E C sub y (f)> для каждого <$E y~symbol <174>~Y> являются остаточными множествами типа <$E G sub delta> в X.

Досліджено зв'язки між сукупною і нарізною неперервністю, питання берівської та лібеуівської класифікації нарізно неперервних відображень і простори Кете. Отримано найзагальніші теореми про величину множини точок сукупної неперервності нарізно неперервних відображень заданих на добутках n просторів, що задовольняють певним умовам зліченості та набувають значень в метризовних чи сильно sigma-метризовних просторах. Надано повний опис множин точок розриву нарізно неперервних функцій від багатьох змінних на добутках метризовних просторів, а також коли співмножники є добутками сепарабельних метризовних просторів. Визначено умови, за яких кожне нарізно ледь неперервне відображення є сукупно майже неперервним, досліджено їх істотність. Доведено нові теореми про берівську і лебегівську класифікації нарізно неперервних відображень та їх аналогів, в яких використовуються розбиття одиниці, паракомпактність і теореми про продовження. Вперше в абстрактній ситуації здійснено побудову нарізно неперервної функції від багатьох змінних з даною діагоналлю, що належить відповідному класу Бера. Досліджено питання про умови збігу просторів Кете l_p(R).

Розглянуто елементи теорій множин і міри. Подано інформацію про системи множин, властивості напівкілець, борелівські множини, ін'єктивні, сур'єктивні та бієктивні відображення, відношення еквівалентності, теорему Кантора про незліченність числової прямої та існування трансцедентних чисел. Увагу приділено зліченно адитивним функціям множини та міри, зовнішнім мірам і вимірним множинам, мірам Лебега та Лебега - Стілт'єса, структурі вимірних множин скінченної міри.

Вивчено перші топологічні поняття і неперервні відображення, відновлення повноти основних просторів, зокрема сепарабельних. Доведено теорему Бера про категорію, яка використовується під час доведення існування неперервних недиференційовних функцій для повнометризованих просторів, а також теорему про існування і єдність нерухомої точки для стискаючого відображення, яка застосовується під час розв'язання інтегральних рівнянь Фредгольма і Вольтерри у просторі неперервних функцій.

Изучены первые топологические понятия и непрерывные отражения, восстановление полноты основных пространств, в частности сепарабельных. Доказаны теорема Бера о категории, используемая при доказательстве существования непрерывных недифференцированных функций для полнометризированных пространств, а также теорема о существовании и единстве неподвижной точки для сжимающего отражения, применяемой при решении интегральных уравнений Фредгольма и Вольтерры в пространстве непрерывных функций.

Наведено інформацію про лінійні неперервні оператори та функціонали в нормованих просторах. Розглянуто основні принципи лінійного функціонального аналізу та показано можливості їх застосування до таких питань аналізу, як мультиплікатори, методи підсумовування, проблема моментів, системи з нескінченним числом невідомих, збіжні послідовності та множини, базиси, матричні оператори. Увагу приділено теоремам Гана - Банаха про продовження лінійного неперервного функціонала з збереженням норми, функціям обмеженої варіації, обчисленню інтегралів Стілт'єса, теоремам про відкрите відображення та замкнений графік.

Дана информация о линейных непрерывных операторах и функционалах в нормированных пространствах. Рассмотрены основные принципы линейного функционального анализа и показаны возможности их применения к таким вопросам анализа, как мультипликаторы, методы подитоживания, проблема моментов, системы с бесконечным числом неизвестных, совпадающие последовательности и множества, базисы, матричные операторы. Уделено внимание теоремам Хана - Банаха о продлении линейного непрерывного функционала с сохранением нормы, функциям ограниченной вариации, вычислению интегралов Стилтьеса, теоремам об открытом отображении и замкнутом графике.