Пропонована стаття є продовженням дослідження, приcвяченого формулі Лакса u(x, t) = infinity from y, що належать Rⁿ {nu(y) + 1/2t ||x - y||²} (1) розв'язку задачі Коші для нелінійного диференціального рівняння Гамільтона - Якобі з частинними похідними: du/dt + 1/2 || набла u||² = 0, u|_{t = 0⁺} = nu (2). Доведено, що формула Лакса (1) є розв'язком задачі Коші (2) в усіх точках x, що належать Rⁿ, t, що належать R₊, за винятком деякої множини точок R типу F_sigma Лебегової міри нуль.

В оглядовій статті, присвяченій розв'язкам диференціальних рівнянь в'язкості з частинними похідними першого та другого порядків, наведено точну формулу Лакса u(x, t) = inf from y, що належать Rⁿ {nu(y) + ||x - y||² / 2t} (1) для розв'язку нелінійного диференціального рівняння Гамільтона - Якобі з частинними похідними du/dt + 1/2||набла u||² = 0, u|_{t = 0} = nu (2). Там також показано, що не існує точного доведення формули Лакса, основаної на загальних властивостях рівняння Гамільтона - Якобі. У пропонованій статті розглянуто саме таке точне доведення формули Лакса.

Розглянуто задачу опису факторизованих операторних рівнянь, відповідних до загального факторизованого псевдодиференціального символу, що задовольняє стандартне рівняння типу Лакса. Асоційовані структури Пуассона визначено за допомогою спеціального перетворення типу Беклунда.

На основі структури елементів Казиміра, асоційованих із загальними алгебрами Хопфа, побудовано інтегровні потоки Ліувілля - Арнольда, що пов'язані з природно індукованими структурами Пуассона на довільній коалгебрі, та їх деформації. Розглянуто деякі цікаві спеціальні випадки, в тому числі коалгебричні структури, що пов'язані з осциляційною алгеброю Хейзенберга - Вейля, та спряжені з ними інтегровні гамільтонові системи.

Розвинуто геометричний підхід Картана - Монжа до методу характеристик для нелінійних диференціальних рівнянь (НДР) з частинними похідними першого та вищих порядків. Досліджено гамільтонову структуру характеристичних векторних полів, пов'язаних із НДР з частинними похідними першого порядку, та побудовано тензорні поля зі спеціальною структурою для визначення характеристичних полів, природно пов'язаних із НДР з частинними похідними вищих порядків.

Вивчено ергодичні міри для узагальнених перетворень булевого типу з використанням підходу твірних функцій інваріантних квазімір, що базуються на спеціальних розв'язках для оператора Фробеніуса - Перрона. Запропоновано нові двовимірні перетворення булевого типу та досліджено їх інваріантні міри та ергодичні властивості.

Установлено, що BSR поля, початково розвинені як засіб одержання надійних континуумних апроксимацій для динаміки гранулярних потоків на мові відносно простих інтегро-диференціальних рівнянь, можна використовувати для моделювання широкого спектра фізичних явищ. Завдяки результатам, одержаним для конфігурацій одновимірного гранулярного потоку, зроблено припущення, що BSR моделі полів із ідеально пружними взаємодіями є повністю інтегровними нескінченновимірними гамільтоновими системами. Це припущення доведено для BSR моделей в одновимірному просторі, і аналоги BSR полів, що включають часткові похідні за часом, досліджені стисло.

Запропоновано нову точно розв'язувану просторово-одновимірну квантову супервипромінювальну модель, що описує заряджене ферміонне середовище, взаємодіюче з зовнішнім електромагнітним полем. Сконструйовано скінченну ієрархію законів збереження та багаточастинкові власні стани Бете, що моделюють квантові солітонні імпульсні структури. Описано процедуру ренормалізації оператора Гамільтона щодо стійкого фізичного вакуума, обговорено квантові збудження та квантові солітони, асоційовані з термодинамічною рівновагою моделі.

Лаксівську інтегровність двокомпонентної поліноміальної динамічної системи типу Бюргерса проаналізовано за допомогою диференціально-алгебричного підходу. Побудовано її лінійне спряжене матричне лаксівське зображення. Відповідний рекурсивний оператор та нескінченну ієрархію нелінійних динамічних систем типу Бюргерса - Кортевега - де Фріза, інтегровних за Лаксом, одержано за допомогою градієнтно-голономного методу. Наведено відповідні лаксівські зображення.