На основі методів теорії функції комплексної змінної запропоновано прямий підхід до побудови інтегральних формул і рівнянь плоскої термоелектропружності для анізотропного біматеріалу з теплоізольованою межею поділу. Одержані співвідношення не містять інтегралів по області та залежать лише від фізично значимих крайових функцій, таких як температура, тепловий потік, розширені переміщення та напруження, що є основними перевагами цих співвідношень.

Розвинено варіаційний метод однорідних розв'язків для розв'язування вісесиметричних задач теорії пружності для півбезмежного та скінченого циліндрів, на торцевих поверхнях яких задані умови навантаження в напруженнях, переміщеннях чи змішані. Розв'язок надано у вигляді розвинення за системами власних функцій відповідної однорідної бігармонічної задачі у циліндричних координатах. Підпорядкування розв'язку умовам, заданим на торцях циліндра, здійснюється за квадратичною нормою. Як приклад застосування цього методу розглянуто задачу згинання товстого круглого диска зосередженими силами, прикладеними до його лицьових поверхонь.

Надано аналітичний розв'язок вісесиметричної задачі нестаціонарної термопружності для події теплового удару нескінченного двошарового пружного циліндра. Фізико-механічні властивості матеріалів циліндра вважалися незалежними від температури. Температурні граничні умови відповідають стрибкоподібній зміні температури середовища на внутрішній поверхні циліндра. Зовнішня поверхня циліндра вважається теплоізольованою. Цей розв'язок використано для розроблення аналітичного базису для побудови граничних кривих "температура - тиск", які застосовуються в аварійних інструкціях атомних електричних станцій. Проведено порівняння результатів застосування цього аналітичного підходу із результатами скінченно-елементного аналізу, одержаними в припущенні залежності властивостей матеріалів від температури. Результати порівняння свідчать про достатню практичну точність запропонованого методу.

Розглянуто міжелектронну взаємодію в напівобмеженому металі біля поверхні поділу. Досліджено вплив поправки на локальне поле та напруженості прикладеного зовнішнього електричного поля на двочастинкову кореляційну функцію електронів та ефективний потенціал міжелектронної взаємодії.

Досліджено спектральні методи розв'язування прикладних задач, зокрема обробка цифрової інформації (задачі апроксимації, стиску інформації, фільтрації сигналів), визначення характеру фізичного процесу, який моделюється, та побудови крайових умов під час формулювання задач математичної фізики тощо. Суть цих методів полягає в поданні відомих і шуканих функцій ортогональними рядами у вибраних базисах і побудові алгоритмів для обчислення коефіцієнтів цих рядів (узагальнених спектрів). Методи їх обчислення залежать від способу задання вхідної інформації (в дискретному або аналітичному видах). Запропоновано спосіб апроксимації функцій двох змінних в областях неканонічної форми.

Розглянуто задачу синтезу антен за заданою діаграмою напрямленості за потужністю з додатковою умовою рівності норм. Вона розв'язується з використанням концепції породжуючих поліномів. Сформульовано варіаційну постановку з наступним використанням методу множників Лагранжа. Рівняння Лагранжа - Ейлера для одержаного функціонала є нелінійним інтегральним рівнянням типу Гаммерштейна. Описано поліноміальний підхід у застосуванні до загального рівняння такого типу, яке охоплює різні типи антен. Для розв'язування інтегро-трансцендентних рівнянь, що одержуються у цьому випадку, використовується модифікований метод Ньютона. Підхід застосовано до конкретних задач, які стосуються лінійної антени, еквідистантної антенної гратки та кругової апертурної антени. Приведено та проаналізовано одержані числові результати.

Запропоновано числово-аналітичну методику знаходження теплового поля в обмеженому тілі з урахуванням залежності коефіцієнтів теплопровідності та тепловіддачі від температури та інтенсивності внутрішніх джерел. Обгрунтовано ефективність поєднання непрямих методів граничних і приграничних елементів з перетворенням Кірхгофа для часткової лінеаризації нелінійних тривимірних задач теплопровідності, якими змодельовано вказаний процес. З використанням інтегральних зображень для змінної Кірхгофа побудовано дискретно-континуальну модель задачі з мішаними граничними умовами першого, другого та третього роду. Здійснено низку обчислювальних експериментів для експоненційної залежності коефіцієнта теплопровідності від температури, оцінено вплив плоских та об'ємних джерел на розподіл температурного поля в паралелепіпеді.

Одержані наближені розв'язки одномірної нелінійної математичної моделі процесу сушіння пористих тіл надають можливість встановити температуру фазового переходу за довільних змін температурних режимів сушильного агента, зміну відносної вологості в тілі в процесі осушення, як функцію геометричних і фізичних параметрів, вплив швидкості та відносної вологості сушильного агента на процес сушіння з метою оптимізації процесу.

Досліджено та розраховано дво- і тричастинкові кореляційні функції моделі виродженого релятивістського однорідного електронного газу з кулонівськими взаємодіями за T = 0 K в імпульсно-частотному зображенні у наближенні локального поля. Цих функцій достатньо для коректного розрахунку рівняння стану електрон-ядерної моделі за густин, що відповідають виродженим карликам.

Досліджено термомеханічну поведінку неоднорідних в'язкопластичних елементів конструкцій у випадку циклічного навантаження на прикладі задачі про гармонічний згин і дисипативний розігрів тришарової балки. Використано дві постановки задачі. Одна базується на узагальненій термодинамічно узгодженій моделі непружної течії (повна постановка задачі), а інша формулюється з використанням наближеної склерономної моделі поведінки матеріалу (наближена постановка задачі). Алюмінієвий сплав і сталь вибрані як матеріали шарів. Проведено порівняння результатів, одержаних у межах повної та наближеної постановок. Надано порівняльну оцінку коефіцієнта втрат для різних конфігурацій балки.

Вивчено зміну резонансних властивостей системи рідина - конструкція, зумовлену зміною розподілу власних частот коливань. Показано, що різні типи рухомості тіла, що несе рідину, (поступальний або обертальний рух з різними в'язями) спричиняють збільшення величин власних частот, які відповідають антисиметричним коливанням вільної поверхні рідини, а інші частоти залишаються незмінними. Звичайний розподіл власних частот, який відповідає випадку нерухомого резервуару суттєво порушується. В цьому випадку проявляються деякі нові типи внутрішніх резонансів у системах рідина - конструкція. Досліджено дві базові задачі з перерозподілом порядку власних частот: параметричний резонанс у рухомому в поперечному напрямку циліндричному резервуарі в узагальненій задачі Фарадея і в вимушених коливаннях рідини в циліндричному резервуарі на маятникову підвісі з різними довжинами підвісу. Обговорено деякі загальні закономірності развитку динамічних процесів у цих системах.

Проаналізовано квантову ємність металічної, напівпровідникової та напівметалічної нанопластинок у квантуючому магнітному полі. Показано, що така ємність має сходинкову залежність від положення рівня Фермі чи потенціалу зміщення, що визначається майже винятково просторово-розмірними станами. Квантування Ландау проявляється за низьких температур як незначне перенормування сходинок без зміни їх розмірів.

Розглянуто систему електронів у металевій плівці, яка описується моделлю "желе". Потенціал, який формує поверхні плівки, змодельовано безмежно високою прямокутною потенціальною ямою. Використовуючи деякі наближення, одержано аналітичні вирази для ефективного потенціалу міжелектронної взаємодії як всередині плівки, так і поза нею.

Вплив інтеркаляції на електронну зонну структуру шаруватої наногібридної сполуки типу GaSe зі стадійним впорядкуванням (3 шари в пакеті в цьому випадку) вивчено у модифікованій версії періодичної моделі Андерсона. Густину електронних станів інтеркальованої системи розраховано як у наближенні однорівневої домішки, так і домішки з лоренцівським розмиттям рівня, спричиненим електронними кореляціями. Інтеркальовані частинки формують додаткову зону (зазвичай, розташовану біля дна основної зони) у вигляді вузької домішкової зони (за достатньої віддаленості від основної) або достатньо широкої, що гібридизується з основною (у разі їх перекриття). Найбільш виражена зміна основної зони відбувається поблизу домішкового рівня. Проаналізовано зміни у повній густині електронних станів, що виникають завдяки розширенню домішкових рівнів і збільшенню концентрації інтеркалянта.

Для числового розв'язування крайових задач на півпрямій для систем нелінійних звичайних диференціальних рівнянь другого порядку з несамоспряженим оператором побудовано точну триточкову різницеву схему (ТРС). За умов існування та єдиності розв'язку крайової задачі доведено існування та єдиність розв'язку точної ТРС і збіжність методу послідовних наближень для його знаходження.

Запропоновано конкретний спосіб поєднання методу скінченних елементів і безсіткового методу. Цей метод базується на тому, що безсіткові вузли розташовуються в середині скінченного елемента і таким чином покращують загальну апроксимацію на елементі. Розгялнуто та проаналізовано переваги та недоліки такого підходу. Показано, що такий підхід підпорядковується більш загальній схемі поєднання методів. Наведено результати числових експериментів і проведено їх аналіз.

Розглянуто 2 узагальнення класичної задачі Фарадея про розвиток параметричного резонансу в механічній системі резервуар - рідина з вільною поверхнею: вплив додаткового ступеня вільності - можливості горизонтального руху резервуару за рахунок поперечних коливань вільної поверхні рідини; вплив додаткового ступеня вільності - можливості кутових коливань резервуару, що висить на маятниковому підвісі, за рахунок коливань вільної поверхні рідини. Дослідження виконано на базі ефективної нелінійної багатомодової моделі, яка враховує сумісний рух резервуару та вільної поверхні рідини. Показано, що на відміну від класичної задачі Фарадея, динамічні процеси в системі розвиваються як сукупність механізмів параметричних і вимушених коливань. Для розглянутих узагальнень задачі Фарадея є можливим вихід коливань вільної поверхні рідини у нелінійний діапазон амплітуд за будь-якої частоти зовнішнього вертикального збурення.

Розглянуто задачу моделювання процесу очищення рідин від багатокомпонентного забруднення просторовим фільтром, яка враховує зворотний вплив визначальних факторів (концентрації забруднення рідини та осаду) на характеристики середовища (коефіцієнт пористості, дифузії) і надає можливість визначення малого масообмінного коефіцієнта за умов домінування конвективних складових над дифузійними. Запропоновано алгоритм розв'язку відповідної нелінійної оберненої сингулярно збуреної задачі типу конвекція - дифузія - масообмін.

У рамках динамічної постановки зв'язаної задачі термомеханіки досліджено напружено-деформований стан диска, який виникає внаслідок теплового опромінення, з урахуванням мікроструктурних перетворень, які супроводжують нагрівання та наступне охолодження матеріалу. Розв'язування вісесиметричної задачі проведено числово з використанням термодинамічно узгодженої теорії непружної поведінки матеріалу з застосуванням скінченно-елементної методики та врахуванням залежності фізико-механічних властивостей матеріалу від температури. Вивчено вплив мікроструктурних перетворень на динамічну та квазістатичну реакцію матеріалу, а також на залишковий напружено-деформований стан в зоні опромінення.

Розглянуто модель взаємодії поляризованого світла з неоднорідно деформованим немагнітним діелектричним тілом. Встановлено променеві інтеграли фотопружності, які пов'язують розподіли компонент тензора деформації у будь-якому напрямку в об'ємі тіла з вимірювальними поляризаційно-оптичними параметрами світлового променя, що поширюється у цьому напрямку. Модель можна використати для розроблення математичних методів для поляризаційно-оптичної обчислювальної томографії напружено-деформованого стану діелектричних тіл.