Побудовано класи "тестових" функцій, що характеризують підпростори єдиності елемента найкращого <$Eroman L sub 1>-наближення для неперервних на метричному компакті функцій зі значеннями у строго нормованому банаховому просторі. Аналогічний результат отримано також для найкращого несиметричного <$Eroman L sub1>-наближення для неперервних на метричному компакті функцій зі значеннями у строго нормованому КВ-просторі. Доведено існування елемента найкращого <$Eroman L sub 1>-наближення у підпросторі скінченної слабкої вимірності для неперервних на метричному компакті функцій зі значеннями в сепарабельному банаховому просторі. Досліджено задачу найкращого несиметричного та однобічного наближення у загальних напіввпорядкованих просторах (КВ-просторах), доведено теорему двоїстості і визначено критерії елемента найкращого наближення. Для найкращого несиметричного <$Eroman L sub 1>-наближення неперевних на метричному компакті функцій зі значеннями в КВ-просторі в термінах "тестових" функцій охарактеризовано підпростори єдності елемента найкращого наближення. Для задачі найкращого наближення за наявності обмежень на коефіцієнти апроксимуючих елементів в термінах "тестових" функцій одержано нову характеризацію підпросторів єдиності елемента найкращого <$Eroman L sub 1>-наближення. Визначено необхідну та достатню умови єдиності елемента найкращого <$Eroman L sub 1>-наближення для неперевних на компактній підмножині простору <$Eroman { bold R sup n }> дійснозначних функцій множиною лінійних комбінацій скінченного набору базисних функцій за наявності обмежень на коефіцієнти.