Розглянуто лінійне стаціонарне диференціальне рівняння другого порядку. За допомогою методу кроків і створення ітераційної процедури записано розв'язок задачі Коші.

Домени білок-білкової взаємодії беруть участь у різноманітних біологічних процесах та є перспективними терапевтичними мішенями. Представлено застосування комплексу методів молекулярного моделювання для пошуку нових низькомолекулярних лігандів для родин доменів PDZ та SH2. Тисячі тривимірних структур доменів та більше мільйона низькомолекулярних хімічних сполук були проаналізовані та кластери звані із застосуванням методів геометричного моделювання з метою одержання різноманітних вибірок, які були застосовані у молекулярному докінгу. Одержані комплекси білок - ліганд були пропущені крізь геометричні фільтри для автоматизації післядокінгової візуальної експертизи. У результаті для кожної з родин доменів одержано таргетну бібліотеку розміром порядку тисяч сполук. Одержані бібліотеки є загальним засобом для використання як стартової точки під час пошуку лігандів експериментальними методами і розроблені з метою використання із будь-яким доменом відповідної родини.

Вивчено асимптотичну поведінку неавтономної коливної системи, яка описується диференціальним рівнянням третього порядку з малими періодичними нелінійними зовнішніми збуреннями типу багатовимірного "білого" та Пауссонівського шумів. Розглянуто резонансний випадок.

Запропоновано молекулярний механізм перетворень подвійної спіралі ДНК за умов гіпертермії. Експериментально досліджено затверділі трьохкомпонентні рідинні системи "NaCl - дистильована вода - сухий препарат ДНК". Показано, що плівки, сформовані за температур <$E20~symbol Р roman C> та <$E42~symbol Р roman C>, відрізняються за своєю структурою. Встановлено, що імовірною причиною такої різниці є утворення уступів в спіралі ДНК, що виникають в результаті розриву водневих зв'язків під час динамічного фазового переходу за температури <$E42~symbol Р roman C>.

Досліджено задачу лінійної дискримінації як один з варіантів задачі групування інформації (ЗГІ), що є принциповою у прикладних дослідженнях. Вона може поставати в одному з варіантів: як задача відновлення функції, представленої своїми спостереженнями, чи - у вигляді задачі класифікації, кластеризації, розпізнавання образів. Задача лінійної дискримінації (ЛД-задача) 2-х класів є важливим представником останнього варіанта ЗГІ. На відміну від класичного варіанта, ЛД-задача розглядається для елементів евклідового простору матриць фіксованої розмірності. Важливість такої постановки задачі визначається тим, що в багатьох важливих прикладних задачах природнім представником об'єктів, що піддаються групуванню, виступають матриці, як це має місце в обробці зображень та для спектрограм в обробці аудіосигналів. Постановка та розв'язання ЛД-задачі базується на використанні спеціального класу лінійних операторів: так званих кортежних, введених в одній з попередніх робіт авторів ([Донченко, Зінько, Скотаренко, 2012]). В роботі наведено необхідні факти з теорії кортежних операторів, необхідні для визначення SVD-подання та конструкцій на його основі: псевдообернення за Муром - Пенроузом та основних ортогональних проекторів. Важливо, що SVD-розклад та всі побудови на його основі для кортежних операторів зводяться до задачі на власні значення для звичайних матриць.

Наведено практичне застосування попередніх теоретичних результатів про оцінки точності методу моделювання Монте-Карло розв'язків параболічного рівняння з сингулярними коефіцієнтами, ілюструючи вплив сингулярного коефіцієнта на розв'язок задачі Коші. Один із результатів забезпечує теоретичну можливість застосування такого методу. Інший надає оцінку точності наближення W-функціоналу різницевими адитивними функціоналами. Попередні результати залишають відкритим питання оцінки точності методу моделювання Монте-Карло, що розв'язується в роботі. Аргументами функціоналів являються багатовимірна дифузія та її відповідні різницеві апроксимації.

Розглянуто стійкі методи числового розв'язання диференціальних рівнянь руху заряджених частинок. Застосовано методи регуляризації для визначення стійких траєкторій. Числове рішення системи рівнянь для поточних показників Ляпунова надає змогу визначати оператор регуляризації у вигляді інтегрального оператора Джексона з індексом подібності, що визначає розмірність ляпуновської траєкторії. Уточнено зв'язок між декрементом загасання і коефіцієнтом подібності.

Досліджено проблему коливань кружляння бурового долота, що обертається, за умов його контактної взаємодії з шорстким дном свердловини. Вже давно відомо про руйнівний вплив коливань кружляння на бурове долото та бурильну колону. Вважається, що зворотні кружляння трапляються в 40 % всіх випадків буріння глибоких свердловин. Це показує, що ситуація пов'язана зі збільшенням сили тиску та її наближення до критичного значення Ейлера. Тоді згинна жорсткість бурильної колони зменшується, що призводить до її вигинання, і алмазні вкраплення, що є на поверхні долота, проникають вглиб породи. Коли таке стається, вісь долота нахиляється і починає прецесувати. Слід особливо підкреслити, що у такому стані долото знаходиться під дією вертикальної сили (навантаження на долото), що суттєво перевершує всі інші сили. Вона притискає долото до дна свердловини (не до її стінки) і долото втрачає здатність ковзати по дну і починає котитися по його поверхні, відстаючи або випереджаючи обертання бурильної колони. В результаті точка контакту долота з зазначеною поверхнею (миттєвий центр швидкостей) може описувати надзвичайно складні траєкторії у вигляді петель і точок загострення і змінює напрям руху. Як приклад, розглянуто обертання долота сферичної форми.

Перевантаження комп'ютерних мереж виникає внаслідок відправки пакетів, кількість яких перевищує пропускну здатність напряму передачі. Через це певна кількість пакетів не доходить до одержувача або надходить зі значною затримкою. Для розв'язання цих проблем використовуються алгоритми контролю та уникнення перевантажень в мережах, які застосовуються у протоколах прикладного рівня. Запропоновано новий алгоритм контролю перевантажень, який передає дані якомога більшій кількості отримувачів і в той же час мінімізує кількість втрачених пакетів та затримку передачі, що є принциповим моментом для відеотрансляцій. На відміну від існуючих розробок даний алгоритм використовує інформацію про перевантаження одразу від усіх отримуючих вузлів, що надає змогу більш ефективно використовувати мережу за рахунок об'єктивної оцінки навантажень. Також запропонований підхід не потребує додаткової затримки перед відправкою кожного пакету, що покращує якість сервісу для кінцевих користувачів та надає змогу використовувати його в однорангових мережах деревоподібного типу для відеотрансляцій.

За допомогою методів числення Малявена одержано представлення для другої похідної за параметром логарифмічної функції вірогідності, побудованої на дискретних спостереженнях процесу заданого лінійним стохастичним диференціальним рівнянням, керованим процесом Леві.

Розглянуто процес конструювання інтегральних структур для формування елементів на основі вуглецевих нанотрубок. Виміряно реакцію подібних структур, створених на основі різних типів нанотрубок для токсичних речовин.

Розглянуто математичну модель надбаного імунітету, яка описується системою нелінійних диференціальних рівнянь із запізненням. Проаналізовано вплив запізнення на стійкість стаціонарних точок, наведено біологічні наслідки.

Опис процесів типу Леві як розв'язків СДР є класичною задачею та бере свій початок від робіт А. В. Скорохода початку 60-тих рр. Ідея, що лягла в основу його методу, полягає у представленні довільної міри Леві як образу фіксованої міри за допомогою спеціально побудованих відображень. Умови теореми про існування та єдиність розв'язку накладаються на відображення, задані неявно. Метод, запропонований в цій роботі, надає змогу значно спростити побудову таких відображень за допомогою правильного вибору фіксованої міри. Ця конструкція дозволяє будувати процеси типу Леві у випадках, коли ядро Леві процесу розпадається у суму ядер спеціального типу та ядер обмеженої інтенсивності. Наведено побудову процесів типу <$Echi sup 2>, гамма- та alpha-стійкого типів.

Розглянуто задачу про побудову математичної моделі оптимального інвестиційного портфеля акцій.

Наведено необхідні та достатні умови подвійної еквівалентності пари, що складається з функції Морса та градієнтно-подібного поля на тривимірному многовиді, тобто існування гомеоморфізму, що є одночасно топологічною еквівалентністю функцій і еквівалентністю полів. Будується повний топологічний інваріант пари.

Досліджено задачу оптимального лінійного оцінювання функціонала від невідомих значень стаціонарного стохастичного процесу за даними спостережень процесу з шумом, коли не всі спостереження відомі. Знайдено формули для обчислення середньоквадратичної похибки та спектральної характеристики оптимальної оцінки функціонала за умови, що спектральні щільності процесів відомі. У випадку, коли вигляд спектральних щільностей невідомий, але задано множини допустимих спектральних щільностей, застосовано мінімаксний метод оцінювання. Для заданих множин допустимих спектральних щільностей визначено найменш сприятливі спектральні щільності та мінімаксні спектральні характеристики оптимальної лінійної оцінки функціонала.

Досліджено задачу оптимального оцінювання лінійного функціонала від невідомих значень гармонізованого alpha-стійкого випадкового процесу <$Exi (t)>, t >> 0 за спостереженнями процесу <$Exi (t)~+~eta (t)> у точках t << 0, де <$Exi (t),~t~symbol <174>~roman bold R> та <$Eeta (t),~t~symbol <174>~roman bold R> - взаємно незалежні гармонізовані alpha-стійкі випадкові процеси. Одержано формули для обчислення величини похибки та визначення спектральної характеристики оптимальної оцінки функціонала за умови, що спектральні щільності процесів відомі. У тому випадку, коли спектральні щільності невідомі, але задані множини допустимих спектральних щільностей, застосовано мінімаксний метод оцінювання.

Розглянуто групу, що є діагональною границею гіпероктаедральних груп з зануреннями дублювання. Ця група реалізується також як скрізьщільна підгрупа групи ізометрій 2^inf-періодичного простору Хемінга. Охарактеризовано її нормальну структуру.

Описано самоподібні замикання певних скінченно станових точних зображень вільних добутків циклічних груп порядку 2.

Розглянуто зображення випадкових функцій зі значеннями в нормованих просторах у вигляді функціональних рядів з випадковими коефіцієнтами за широких припущень відносно їх аргументів та властивостей.