Обчислюються невласні інтеграли, що виникають при розв'язанні стаціонарних задач математичної фізики неоднорідних структур, дослідженні математичних моделей лінійних і нелінійних процесів та ін. Підінтегральні функції є суперпозицією алгебраїчних функцій, тригонометричних функцій, функцій Бесселя та функцій Лежандра і являють собою власні функції, породжені гібридними диференціальними операторами (всілякі сполучення диференціальних операторів другого порядку Фур'є, Бесселя та Лежандра на декартовій і полярній осі з точками спряження).

Узагальнено операцію дробового диференціювання у просторах формальних тригонометричних рядів, запропонована В.В.Городецьким, а також сформульовано теореми про розв'язність та властивість локалізації розв'язків деякої узагальненої задачі Коші в просторах періодичних функцій.

Розглянуто особливості обчислення невласних інтегралів методами гібридних інтегральних перетворень типу Фур'є - (Конторовича - Лебедєва) на декартовій осі, (Конторовича - Лебедєва) - Ганкеля 2-го роду на сегменті [O,R], (Конторовича - Лебедєва) 1-го роду - Фур'є - Фур'є на сегменті полярної осі, Лежандра 2-го роду - (Конторовича - Лебедєва) 2-го роду - Лежандра, (Конторовича - Лебедєва) 1-го роду - Ганкеля 2-го роду - Вебера.

Рассмотрены особенности вычисления несобственных интегралов методами гибридных интегральных преобразований типа Фурье - (Конторовича - Лебедева) на декартовой оси, (Конторовича - Лебедева) - Ганкеля 2-го рода на сегменте [O,R], (Конторовича - Лебедева) 1-го рода - Фурье - Фурье на сегменте полярной оси, Лежандра 2-го рода - (Конторовича - Лебедева) 2-го рода - Лежандра, (Конторовича - Лебедева) 1-го рода - Ганкеля 2-го рода - Вебера.

Розкрито суть понять похідної та диференціалу, розглянуто питання диференціювання функцій, заданих явно, неявно та параметрично. Описано диференціали першого та другого порядків.

Раскрыто содержание понятий производной и дифференциала, рассмотрены вопросы дифференцирования функций, заданных явно, неявно и параметрически. Описаны дифференциалы первого и второго порядков.

Розглянуто питання застосування похідної у фізиці, механіці, хімії, електротехніці, опору матеріалів. Описано теореми Ролля, Лагранжа, Коші та формулу Тейлора.

Рассмотрены вопросы применения производной в физике, механике, химии, электротехнике, сопротивлении материалов. Описаны теоремы Ролля, Лагранжа, Коши и формула Тейлора.

Описано простори основних функцій, які є певним узагальненням просторів типу S та W, і у цих просторах установлено цілковиту розв'язність задачі Коші для одного рівняння інтегрального вигляду з оператором Бесселя дробового інтегро-диференціювання.

Установлено критерій згортувачів у деяких просторах типу S, завдяки якому одержано коректну розв'язність (в обидва боки) однієї задачі Коші у цих просторах.

Встановлено коректну розв'язність (в обидва боки) у просторах типу S задачі Коші для параболічних за Петровським рівнянь з коефіцієнтами, залежними від часу, а також доведено властивість стабілізації до нуля розв'язку даної задачі у сенсі топології цих просторів.

Для одного класса псевдодифференциальных систем с гладкими символами, зависящими от времени, исследованы свойства фундаментальной матрицы решений; сформулированы достаточные, а для некоторых систем и необходимые условия корректной разрешимости задачи Коши с обобщенными начальными данными. При этом построены пространства основных и обобщенных функций, являющиеся обобщениями некоторых классических пространств.

Завдяки опуклим донизу функціям описано клас псевдодиференціальних систем з цілими аналітичними символами, який містить у собі параболічні за С. Д. Ейдельманом системи диференціальних рівнянь з частинними похідними з неперервними, залежними від часу коефіцієнтами. Доведено теорему про коректну розв'язність задачі Коші для таких систем у випадку, коли початкові дані є узагальненими функціями, а також встановлено принцип локалізації розв'язку цієї задачі.

У класі узагальнених функцій скінченного порядку встановлено коректну розв'язність задачі Коші для псевдодиференціального рівняння, символи якого є однорідними функціями виміру <$E gamma~>>~0>, і доведено теорему про властивість локалізації розв'язку цієї задачі.

Досліджено властивості фундаментального розв'язку та встановлено коректну розв'язність задачі Коші для одного класу вироджених рівнянь типу Колмогорова з <$E left { p vec ,~h Vec right }>-параболічною частиною за основною групою змінних і додатним векторним родом у випадку, коли розв'язки є нескінченно диференційовними функціями, а їх початкові значення можуть бути узагальненими функціями типу ультра-розподілів Жевре.

Визначено нові класи параболічних псевдодиференціальних рівнянь і систем рівнянь з гладкими, що характеризуються опуклими вниз функціями, таточково-негладкими, з характерними властивостями для степеневих функцій, символами псевдодиференціювання, які доповнюють і розширюють класи рівномірно параболічних за Ейдельманом і за Шиловим систем рівнянь з частинними похідними, та <$E{2B} sup 35 back 45 symbol О>-параболічні сингулярні системи першого порядку за часовою змінною з коефіцієнтами, незалежними від просторової змінної. Побудовано теорію коректної розв'язності задачі Коші для таких рівнянь і систем у просторах Гельфанда та Шилова, Гуревича, Городецького та їм подібних, а також у класах Жевре типу Рум'є. Розвинуто методику дослідження властивостей фундаментальних розв'язків і фундаментальних матриць розв'язків для параболічних псевдодиференціальних рівнянь і систем. У випадку гладких символів псевдодиференціювання розроблено схему опису всіх початкових даних задачі Коші, які забезпечують існування та єдність її звичайного розв'язку та наявність у нього властивостей, характерних для фундаментального розв'язку цієї задачі; для рівномірно параболічних за Ейдельманом і за Шиловим з додатним родом систем розширено клас узагальнених початкових даних, за яких відповідна задача Коші має звичайний нескінченно диференційовний за просторовою змінною розв'язок. Одержано результати стосовно теорії просторів основних і узагальнених функцій, які використовуються для встановлення коректної розв'язності задачі Коші та формування середовища дослідження цієї задачі. Насамперед, це розширення просторів Гуревича та побудова їх аналогів для періодичних

функцій; критерії згортувачів і мультиплікаторів у просторах Гельфана, Шилова та Гуревича та подібних до них; характеристики елементів у термінах перетворення Фур'є; множини згортувачів у класах нескіченно диференційовних <$E2 pi>-періодичних функцій; уточнення топології простору Городецького та його узагальнення. Досліджено питання про можливість зображення операції Поста узагальненого диференціювання у класичній формі дробового диференціювання; узагальнено оператор Бесселя дробового інтегро-диференціювання.

Исследованы свойства фундаментального решения и установлена корректная разрешимость задачи Коши для одного класса вырожденных уравнений типа Колмогорова с {<$E p vec ,~h Vec>}-параболической частью по основной группе переменных и неположительным векторным родом в случае, когда решения являются бесконечно дифференцируемыми функциями, а их начальные значения могут быть обобщенными функциями типа ультрараспределений Жевре.

Установлен принцип локального усиления сходимости решения задачи Коши при <$E t~symbol О~+ 0> к своему граничному значению для одного класса вырожденных параболических уравнений типа Колмогорова с <$E 2b Vec>-параболической частью, коэффициенты которой являются непрерывными зависящими только от t функциями, в случае, когда начальные данные являются обобщенными функциями типа распределений Жевре, для которых корректно классическое понятие равенства двух функций на множестве.

Построены аналоги пространств типа S, элементы которых являются четными функциями относительно части компонент своих аргументов. Получена формула представления степени оператора Бесселя через соответствующие степени дифференциального оператора, позволяющая установить связь между этими пространствами в терминах преобразования Фурье - Бесселя и выяснить некоторые основные свойства типовых операций над их элементами.

Для одного класу параболічних систем рівнянь типу Шилова з невід'ємним родом і гладкими обмеженими коефіцієнтами, залежними від просторової й часової змінних, наведено твердження про стабілізацію розв'язків задачі Коші та сформульовано теорему типу Ліувілля.

The class of convolutors is described in the spaces S and S-type, which contains the generalized functions with compact carrier. The criteria of multiplicator and convolutor are obtained in some spaces of S-type. The complete solvability in these spaces is obtained for a Cauchy problem studied in [1, 2]. The localization principle and the property of stabilization of a solution of this problem are formulated.

Побудовано фундаментальний розв’язок задачі Коші та досліджено його властивості для одного класу параболічних рівнянь типу Шилова зі змінними коефіцієнтами обмеженої гладкості та невід’ємним родом.

We built the fundamental solution of the Caushy problem and investigated its properties for a class of Shilov parabolic equations with variable coefficients bounded smooth and integral form.

Сформульовано та доведено теорему про сильну стабілізацію класичних розв'язків одного параболічного рівняння інтегрального вигляду з оператором Бесселя дробового інтегродиференціювання з додатним параметром. Граничні значення цих розв'язків є згортувачами у просторах основних функцій, елементи яких мають характерні для фундаментального розв'язку задачі Коші цього рівняння властивості гладкості та поведінку в околі нескінченно віддалених просторових точок.

Formulated and proven theorem about the strong stabilizing of classic decisions of one parabolic equation in the integral form with the operator of Bessell fractional integro-differential with a positive parameter. Scope values of these decisions are convolutions in spaces of basic functions elements of which characteristic for the fundamental decision of problem Cauchy of this equation of property have.