Описано множину тих <$E gamma~symbol <174>~bold roman R>, за яких існують четвірки проекторів <$E P sub i> для фіксованого набору чисел <$E alpha sub i~symbol <174>~{bold roman R} sub +>, <$E i~=~{1 ,^4} Bar>, такі, що <$E alpha sub 1 P sub 1~+~alpha sub 2 P sub 2~+~alpha sub 3 P sub 3~+~alpha sub 4 P sub 4~=~gamma I>.

Досліджено *-алгебри, асоційовані з зірчастими графами. Такі алгебри виникають як узагальнення відомої проблеми Германа Вейля про суму двох ермітових матриць. Досліджено випадок, коли зірчастий граф - це розширений граф Динкіна. Для графа <$E{D bar } sub 4> одержано повний опис множини параметрів, за яких відповідна алгебра має *-зображення. З'ясовано, за яких умов незвідні зображення породжують усі транзитивні системи з чотирьох підпросторів. Для інших розширених графів Динкіна досліджено структурні властивості множин параметрів, за яких відповідні алгебри мають *-зображення. Установлено необхідні та достатні умови, за яких такі множини нескінченні.