Виведено явну формулу для поля Якобі, що діє в розширеному фоківському просторі та відповідає деякому (R-значному) процесу Леві на рімановому багатовиді. Припущено, що міра стрибків у зображенні Леві - Хінчина для процесу Леві має носій з нескінченного числа точок. Гамма-, Паскаль- і Мейкснер-процеси характеризуються як такі, для яких відповідне поле Якобі залишає інваріантною множину фінітних неперервних елементів розширеного фоківського простору.

Розглянуто два типи рівноважних стохастичних динамік нескінченно-частинкових систем у континуумі: перестрибуючі частинки (динаміка Кавасакі), тобто динаміка, коли кожна частинка випадковим чином перескакує в просторі; динаміка типу народження-знищення (динаміка Глаубера), за якої частинки не рухаються, а народжуються та знищуються випадковим чином. Доведено, що для широкого класу динамік Глаубера кожну таку динаміку можна одержати як скейлінгову границю динаміки Кавасакі. Точніше, доведено збіжність відповідних генераторів на множині циліндричних функцій в нормі <$E L sup 2> відносно відповідної інваріантної міри процесу. Остання є мірою Гіббса, що відповідає потенціалу парної взаємодії в режимі мала активність - високі температури. Результат узагальнює результат роботи інших авторів, одержаний для спеціальних типів динамік Глаубера та Кавасакі.

We study the problem of identification of a proper state-space for the stochastic dynamics of free particles in continuum, with their possible birth and death. In this dynamics, the motion of each separate particle is described by a fixed Markov process M on a Riemannian manifold X. The main problem arising here is a possible collapse of the system, in the sense that, though the initial configuration of particles is locally finite, there could exist a compact set in X such that, with probability one, infinitely many particles will arrive at this set at some time <$E t~>>~0>. We assume that X has infinite volume and, for each <$E alpha~symbol У~1>, we consider the set <$E THETA sub alpha> of all infinite configurations in X for which the number of particles in a compact set is bounded by a constant times the <$E alpha>-th power of the volume of the set. We find quite general conditions on the process M which guarantee that the corresponding infinite particle process can start at each configuration from <$E THETA sub alpha>, will never leave <$E THETA sub alpha>, and has cadlag (or, even, continuous) sample paths in the vague topology. We consider the following examples of applications of our results: Brownian motion on the configuration space, free Glauber dynamics on the configuration space (or a birth-and-death process in X), and free Kawasaki dynamics on the configuration space. We also show that if <$E X~=~{bold roman R} sup d>, then for a wide class of starting distributions, the (non-equilibrium) free Glauber dynamics is a scaling limit of (non-equilibrium) free Kawasaki dynamics.

In [8], the Jacobi field of a Levy process was derived. This field consists of commuting self-adjoint operators acting in an extended (interacting) Fock space. However, these operators have a quite complicated structure. In this note, using ideas from [1, 16], we obtain a unitary equivalent representation of the Jacobi field of a Levy process. In this representation, the operators act in a usual symmetric Fock space and have a much simpler structure.

We construct two types of equilibrium dynamics of infinite particle systems in a locally compact Polish space X, for which certain fermion point processes are invariant. The Glauber dynamics is a birth-and-death process in X, while in the case of the Kawasaki dynamics interacting particles randomly hop over X. We establish conditions on generators of both dynamics under which corresponding conservative Markov processes exist.

We construct two types of equilibrium dynamics of an infinite particle system in a locally compact metric space X for which a permanental point process is a symmetrizing, and hence invariant measure. The Glauber dynamics is a birth-and-death process in X, while in the Kawasaki dynamics interacting particles randomly hop over X. In the case X = R<^I>d, we consider a diffusion approximation for the Kawasaki dynamics at the level of Dirichlet forms. This leads us to an equilibrium dynamics of interacting Brownian particles for which a permanental point process is a symmetrizing measure.

We review several applications of Berezansky's projection spectral theorem to Jacobi fields in a symmetric Fock space, which lead to Levy white noise measures.

Let X be a locally compact Polish space. Let K(X) denote the space of discrete Radon measures on X. Let <$Emu> be a completely random discrete measure on X, i.e., <$Emu> is (the distribution of) a completely random measure on X that is concentrated on K(X). We consider the multiplicative (current) group <$EC sub 0 (X~symbol О~ roman R sub + )> consisting of functions on X that take values in <$Eroman R sub + ~=~(0,~inf )> and are equal to 1 outside a compact set. Each element <$Etheta~symbol <174>~C sub 0 (X~symbol О~ roman R sub + )> maps K(X) onto itself; more precisely, <$Etheta> sends a discrete Radon measure <$ESIGMA sub i s sub i delta sub {x sub i }> to <$ESIGMA sub i theta (s sub i ) s sub i delta sub {x sub i }>. Thus, elements of <$EC sub 0 (X~symbol О~ roman R sub + )> transform the weights of discrete Radon measures. We study conditions under which the measure <$Emu> is quasi-invariant under the action of the current group <$EC sub 0 (X~symbol О~ roman R sub + )> and consider several classes of examples. We further assume that X = R<^>d and consider the group of local diffeomorphisms Diff0(X). Elements of this group also map K(X) onto itself. More precisely, a diffeomorphism <$Ephi~symbol <174>~roman Diff sub 0 (X)> sends a discrete Radon measure <$ESIGMA sub i s sub i delta sub {x sub i }> to <$ESIGMA sub i s sub i delta sub { phi (x sub i )}>. Thus, diffeomorphisms from Diff0(X) transform the atoms of discrete Radon measures. We study quasi-invariance of <$Emu> under the action of Diff0(X). We finally consider the semidirect product <$EG~:=~roman Diff sub 0 (X)~times~C sub 0 (X~symbol О~ roman R sub + )> and study conditions of quasi-invariance and partial quasi-invariance of <$Emu> under the action of G.