Як відомо, рівняння Бельтрамі, якому присвячено дану роботиу, є комплексною формою запису одного з основних рівнянь математичної фізики на площині, див., наприклад, теорему 16.1.6 в [3]. Реальна частина його розв'язків описує потенційну функцію, а уявна - функцію струму відповідних фізичних субстанцій в анізотропних і неоднорідних середовищах. Таким чином, рівняння Бельтрамі має великий потенціал для застосувань. Зокрема, теорія рівнянь Бельтрамі знайшла велику кількість значних застосувань в теорії стаціонарних потоків, гідродинаміки, магніто- та електростатики і теорії еластичності. Рівняння Бельтрамі виявилося також корисним у вивченні риманових поверхонь, просторів Тейхмюллера, клейнових груп, мероморфних функцій, топології малих розмірностей, голоморфних рухів, комплексної динаміки, аналізу Кліффорда, теорії контролю, робототехніки тощо. Найбільше застосування є на основі їх тісного відношення до квазіконформних відображеннь та їх узагальнень. Відомо, що це рівняння у рівномірно еліптичному випадку тісно пов'язане з квазіконформними функціями та відображеннями, які були першим кроком в узагальненні аналітичних функцій і виникли у роботах 1928 р. Г. Греча та М. О. Лаврентьєва. Останній приділяв особливу увагу застосуванням цих відображень до задач математичної фізики. Стаття М. О. Лаврентьєва (1935) була особливо важливою та основоположною роботою в цій новій теорії. Крайові задачі для рівняння Бельтрамі сходять до відомої дисертації Рімана (1851) в найпростішому випадку аналітичних функцій та відомих праць Гільберта (1904, 1924) та Пуанкаре (1910) для відповідної системі Коші - Рімана. Звичайно, задачу Діріхле було добре вивчено для рівномірно еліптичних систем, див., наприклад, [4] і [39]. Більше того, відповідні результати задачі Діріхле для вироджених рівнянь Бельтрамі в одиничному крузі можна знайти в монографії [9]. У статті авторів [15], див. також [17] і [19], було показано, що кожний узагальнений гомеоморфний розв'язок рівняння Бельтрамі - це так званий нижній Q-гомеоморфізм з його дилатаційним відношенням як Q та розроблено на цій основі теорію граничної поведінки таких розв'язків. У наступних роботах [16] і [18], останнє надало змогу авторам розв'язати задачу Діріхле з неперервними граничними даними для широкого кола вироджених рівнянь Бельтрамі у скінченнозв'язній жордановій області, див. також [19 - 21]. Аналогічні проблеми досліджувались і у випадку обмежених скінченнозв'язних областей з точки зору простих кінців за Каратеодорі в роботах [23 - 24] і [29 - 30]. В даній роботіті доведено ряд ефективних критеріїв існування псевдорегулярних та багатозначних розв'язків задачі Діріхле для вироджених рівнянь Бельтрамі у довільних обмежених скінченнозв'язних областях у термінах простих кінців за Каратеодорі.

 Наукова періодика України 

---

  Якщо, ви не знайшли інформацію про автора(ів) публікації, маєте бажання виправити або відобразити більш докладну інформацію про науковців України запрошуємо заповнити "Анкету науковця"