Проведено математичне моделювання течій в'язкої рідини у одно- та багатозв'язних областях на базі методу R-функцій. Розглянуто лінійну задачу (течію Стокса), нелінійні задачі відносно функцій струму та функції струму й температури. Для моделювання течій в'язкої теплопровідної рідини у однозв'язних областях на базі спільного використання метода послідовних наближень і структурно-варіаційного метода побудовано й обгрунтовано новий числовий метод, одержано умови й оцінки швидкості збіжності. Для моделювання течій в'язкої рідини у багатозв'язних областях на підставі спільного використання принципу суперпозиції, метода послідовних наближень і структурно-варіаційного метода побудовано новий числовий метод, одержано умови й оцінки швидкості його збіжності. Математичну модель модифіковано за рахунок введення додаткових інтегральних співвідношень, що забезпечують однозначність тиску у багатозв'язній області. Дані інтегральні співвідношення використано для побудови числових методів. Ефективність розроблених методів підтверджено обчислювальними експериментами та порівнянням з відомими числовими розв'язками, одержаними за допомогою інших методів.

  Скачати повний текст

Об'єкт дослідження – процеси, математичними моделями яких є задачі для напівлінійних еліптичних рівнянь, систем напівлінійних еліптичних рівнянь і напівлінійних параболічних рівнянь. Мета роботи – розробка двобічних ітераційних методів розв'язання першої крайової задачі для напівлінійного еліптичного рівняння та системи напівлінійних еліптичних рівнянь і методу розв'язання першої початково-крайової задачі для напівлінійного параболічного рівняння на основі сумісного застосування методів Роте і двобічних наближень. Методи дослідження: методи теорії нелінійних операторних рівнянь у напівупорядкованих просторах, методи математичної фізики, конструктивний апарат теорії R-функцій. Теоретичні і практичні результати – отримані у роботі результати у сукупності є розв'язанням наукової проблеми побудови методів двобічних наближень розв'язання задач для нелінійних рівнянь математичної фізики, а саме, уроботі розроблено двобічні ітераційні методи розв'язання першої крайової задачі для напівлінійного еліптичного рівняння та системи напівлінійних еліптичних рівнянь і напівдискретний метод розв'язання першої початково-крайової задачі для напівлінійного параболічного рівняння на основі сумісного використання методів Роте та двобічних наближень. Наукова новизна отриманих результатів полягає в тому, що вперше введено поняття квазіфункції Гріна-Рвачова першої крайової задачі для невироджуваного еліптичного оператора другого порядку і з її допомогою отримано інтегральне рівняння, еквівалентне першій крайовій задачі для напівлінійного еліптичного рівняння, та систему інтегральних рівнянь, еквівалентну першій крайовій задачі для системи напівлінійних еліптичних рівнянь, у областях, геометрію яких можна аналітично описати за допомогою конструктивних засобів теорії R-функцій; вперше виділено клас напівлінійних звичайних диференціальних рівнянь, перша крайова задача для яких дозволяє її подання (за допомогою функції Гріна) у вигляді нелінійного операторного рівняння з оператором гетеротонного типу, і клас напівлінійних еліптичних рівнянь та систем напівлінійних еліптичних рівнянь, перша крайова задача для яких дозволяє її подання (за допомогою функції Гріна чи квазіфункції Гріна-Рвачова) у вигляді нелінійного операторного рівняння з оператором гетеротонного типу, що дозволяє будувати двобічні ітераційні методи знаходження додатних розв'язків цих задач; отримав подальший розвиток метод двобічних наближень розв'язання першої крайової задачі для напівлінійного звичайного диференціального рівняння на основі використання функції Гріна в частині його застосування до рівнянь більш загального вигляду; отримав подальший розвиток метод двобічних наближень розв'язання першої крайової задачі для напівлінійного еліптичного рівняння на основі використання функції Гріна в частині його застосування до рівнянь більш загального вигляду; вперше розроблено метод двобічних наближень розв'язання першої крайової задачі для напівлінійного еліптичного рівняння на основі використання квазіфункції Гріна-Рвачова; вперше розроблено методи двобічних наближень розв'язання першої крайової задачі для системи напівлінійних еліптичних рівнянь на основі використання функції Гріна чи квазіфункції Гріна-Рвачова; вперше на основі сумісного використання методів Роте та двобічних наближень розроблено напівдискретний метод розв'язання першої початково-крайової задачі для напівлінійного параболічного рівняння; вперше з рівнянь з нелінійним коефіцієнтом теплопровідності виділено клас рівнянь, розв'язок першої крайової задачі для яких може бути знайдений методом двобічних наближень, що дало можливість отримати умови існування єдиного додатного розв'язку задачі та збіжності до нього послідовних наближень; вперше до розв'язання нелінійної задачі Нав'є застосовано метод двобічних наближень, на основі чого отримано умови існування єдиного додатного розв'язку задачі та збіжності до нього послідовних наближень; удосконалено метод побудови сильно інваріантного конусного відрізка в частині використання апарату теорії R-функцій для вибору його нижнього та верхнього кінців, які обираються за початкові наближення при реалізації двобічних ітераційних методів. Результати дисертаційної роботи впроваджено в освітньому процесі Харківського національного університету радіоелектроніки. Отримані результати можуть бути використані при математичному моделюванні процесів, що описуються першою крайовою задачею для напівлінійного еліптичного рівняння та системою напівлінійних еліптичних рівнянь і першою початково-крайовою задачею для напівлінійного параболічного рівняння.^UThe object of study is processes whose mathematical models are problems for semilinear elliptic equations, systems of semilinear elliptic equations, and semilinear parabolic equations. The purpose of the work is to develop two-sided iterative methods for solving the first boundary-value problem for the semilinear elliptic equation and the system of semilinear elliptic equations, and the method for solving the first initial-boundary-value problem for the semilinear parabolic equation based on the joint application of the Rothe method and two-sided approximations. Research methods: methods of theory of nonlinear operator equations in semi-ordered spaces, methods of mathematical physics, constructive apparatus of the R-functions theory. Theoretical and practical results – the obtained results are a solution of the scientific problem of constructing methods of two-sided approximations for solving problems for nonlinear equations of mathematical physics. Namely, the work developed two-sided iterative methods for solving the first boundary-value problem for a semilinear elliptic equation and a system of semilinear elliptic equations and a semidiscrete method for solving the first initial-boundary value problem for a semilinear parabolic equation based on the joint use of Rothe method and two-sided approximations. The scientific novelty of the results obtained is that the concept of the Green-Rvachev quasifunction of the first boundary value problem for a nondegenerate second-order elliptic operator was introduced for the first time and with its help it was obtained an integral equation equivalent to the first boundary-value problem for a semilinear elliptic equation and a system of integral equations equivalent to the first boundary problem for a system of semilinear elliptic equations, in domains, whose geometry can be analytically described using structural tools of R-functions theory; it was firstly distinguished the class of semilinear ordinary differential equations, the first boundary-value problem for which allows its representation (using the Green function) as a nonlinear operator equation with a heterotone type operator and the class of semilinear elliptic equations and systems of semilinear elliptic equations, the first boundary-value problem for which allows its representation (using the Green function or the Green-Rvachev quasifunction) in the form of a nonlinear operator equation with a heterotone type operator, which allows build two-sided iterative methods for finding positive solutions of these problems; it was further developed the method of two-sided approximations for solving the first boundary-value problem for semilinear ordinary differential equations and for solving the first boundary-value problem for a semilinear elliptic equation based on the use of the Green function in its application to equations of a more general form; it was developed for the first time the method of two-sided approximations for solving the first boundary-value problem for a semilinear elliptic equation based on the use of the Green-Rvachev quasifunction; it were developed for the first time the methods for two-sided approximations for solving the first boundary-value problem for a system of semilinear elliptic equations based on the use of the Green function or the Green-Rvachev quasifunction; it was developed for the first time a semidiscrete method for solving the first initial-boundary value problem for a semilinear parabolic equation based on the joint use of Rothe methods and two-sided approximations; for the first time from the equations with a non-linear coefficient of thermal conductivity a class of equations has been singled out whose solution to the first boundary-value problem can be found by the method of two-sided approximations, which made it possible to obtain the conditions for the existence of a unique positive solution to the problem and the convergence of successive approximations to it; for the first time, the method of two-sided approximations was applied to the solution of the nonlinear Navier problem, on the basis of which it were obtained the conditions for the existence of a unique positive solution to the problem and the convergence of successive approximations to it; it was improved the method of constructing a strongly invariant cone segment in terms of using the apparatus of the theory of R-functions to select its lower and upper ends, chosen as initial approximations in the implementation of two-sided iterative methods. The results of the thesis are introduced in the educational process of the Kharkov National University of Radio Electronics. The results can be used in mathematical modeling of the processes described by the first boundary-value problem for a semilinear elliptic equation and a system of semilinear elliptic equations and the first initial-boundary value problem for a semilinear parabolic equation.

У дисертаційному дослідженні йдеться про агентно-орієнтоване (агентне) моделювання, метод, що дозволяє з'ясувати, яким чином дії і взаємодії агентів на мікро-рівні призводять до виникнення соціальних явищ або процесів макро-рівня. Агентне моделювання дає змогу провести теоретичний аналіз складних систем. Теорії можуть бути як вербальними (сформульованими природною мовою), так і формальними. Формальна теорія передбачає, що ми здійснюємо запис вербальної теорії за допомогою однієї чи кількох формальних мов (наприклад, за допомогою певної мови програмування). Для пояснення поведінки складних систем є сенс використовувати саме формальні теорії. Адже, по-перше, складна система є емерджентною. Властивості поведінки складної системи не можна звести до властивостей її окремих компонентів. По-друге, складна система динамічна, її стан змінюється з плином часу. По-третє, складна система, як правило, нелінійна. Причинно-наслідкові зв'язки у ній не можуть бути описані за допомогою лінійної функції. Агентне моделювання дозволяє створювати агентні моделі – формальні теорії, представлені у вигляді комп'ютерних програм – та проводити комп'ютерні експерименти (симуляції) з ними. З цього випливає, що створення агентної моделі потребує процедури формалізації. У процесі формалізації соціологічна теорія, сформульована природною мовою, представляється у вигляді агентної моделі. Однак у зв'язку з цим виникає ряд запитань. По-перше, які саме соціологічні теорії можуть бути представлені у вигляді агентних моделей і як вони мають бути сформульовані. По-друге, як має виглядати процес їх формалізації. По-третє, яким чином слід проводити комп'ютерні експерименти з агентною моделлю. Дана дисертаційна робота спрямована на те, щоб надати відповіді на ці запитання.^UThis thesis is about agent-based modeling, a method allows us to figure out how actions and interactions of agents at the micro-level can lead to the emergence of macro-level social phenomena. Agent-based modeling is a method of theoretical analysis of complex systems. There are verbal theories (theories are expressed in natural language) and formal theories. Formal theory is the verbal theory is written in one or more formal languages (for example, a programming language). It makes sense to use formal theories in order to explain the behavior of complex systems. First, complex system is emergent. The properties of behavior of complex system cannot be reduced to the properties of the components of this system. Second, complex system is dynamic and its state changes over time. Third, complex system usually is nonlinear. Causation in the complex system cannot be described by a linear function. Agent-based modeling allows us to create agent-based models (there are formal theories presented as computer programs) and conduct computer experiments (simulations) with them. Building an agent-based model requires the formalization procedure. Formalization assumes that sociological theory expressed in natural language is presented as an agent-based model. However, it raises a number of questions. First, what sociological theories can be presented as agent-based models and how they should be formulated. Second, how to formalize sociological theory. Third, how to conduct computer experiments with an agent-based model. The thesis aims to answer these questions.

У дисертаційному дослідженні йдеться про агентно-орієнтоване (агентне) моделювання, метод, що дозволяє з'ясувати, яким чином дії і взаємодії агентів на мікро-рівні призводять до виникнення соціальних явищ або процесів макро-рівня. Агентне моделювання дає змогу провести теоретичний аналіз складних систем. Теорії можуть бути як вербальними (сформульованими природною мовою), так і формальними. Формальна теорія передбачає, що ми здійснюємо запис вербальної теорії за допомогою однієї чи кількох формальних мов (наприклад, за допомогою певної мови програмування). Для пояснення поведінки складних систем є сенс використовувати саме формальні теорії. Адже, по-перше, складна система є емерджентною. Властивості поведінки складної системи не можна звести до властивостей її окремих компонентів. По-друге, складна система динамічна, її стан змінюється з плином часу. По-третє, складна система, як правило, нелінійна. Причинно-наслідкові зв'язки у ній не можуть бути описані за допомогою лінійної функції. Агентне моделювання дозволяє створювати агентні моделі – формальні теорії, представлені у вигляді комп'ютерних програм – та проводити комп'ютерні експерименти (симуляції) з ними. З цього випливає, що створення агентної моделі потребує процедури формалізації. У процесі формалізації соціологічна теорія, сформульована природною мовою, представляється у вигляді агентної моделі. Однак у зв'язку з цим виникає ряд запитань. По-перше, які саме соціологічні теорії можуть бути представлені у вигляді агентних моделей і як вони мають бути сформульовані. По-друге, як має виглядати процес їх формалізації. По-третє, яким чином слід проводити комп'ютерні експерименти з агентною моделлю. Дана дисертаційна робота спрямована на те, щоб надати відповіді на ці запитання.^UThis thesis is about agent-based modeling, a method allows us to figure out how actions and interactions of agents at the micro-level can lead to the emergence of macro-level social phenomena. Agent-based modeling is a method of theoretical analysis of complex systems. There are verbal theories (theories are expressed in natural language) and formal theories. Formal theory is the verbal theory is written in one or more formal languages (for example, a programming language). It makes sense to use formal theories in order to explain the behavior of complex systems. First, complex system is emergent. The properties of behavior of complex system cannot be reduced to the properties of the components of this system. Second, complex system is dynamic and its state changes over time. Third, complex system usually is nonlinear. Causation in the complex system cannot be described by a linear function. Agent-based modeling allows us to create agent-based models (there are formal theories presented as computer programs) and conduct computer experiments (simulations) with them. Building an agent-based model requires the formalization procedure. Formalization assumes that sociological theory expressed in natural language is presented as an agent-based model. However, it raises a number of questions. First, what sociological theories can be presented as agent-based models and how they should be formulated. Second, how to formalize sociological theory. Third, how to conduct computer experiments with an agent-based model. The thesis aims to answer these questions.