Розглянуто асимптотичну поведінку моменту поглинання та числа нульових стрибків у випадковому блуканні з бар'єром. Досліджено основні характеристики моделі граток Бернуллі. Встановлено критерії існування межового розподілу для певним чином нормалізованої та центрованої послідовності. Доведено аналогічний результат для числа зайнятих інтервалів. Визначено асимптотичну поведінку числа порожніх інтервалів і числа точок в останньому зайнятому інтервалі. Розглянуто асимптотичну поведінку хвоста розподілу супремума регулярного мартингалу, пов'язаного з гіллястим випадковим блуканням.

  Скачати повний текст

Досліджено сильні межові теореми для багатовимірних мартингалів, нормованих невипадковими лінійними операторами, та розв'язки багатовимірних стохастичних рекурентних (і диференційних) рівнянь. Знайдено загальні достатні умови типу Прохорова - Лоева збіжності майже напевно до нуля та обмеженості майже напевно операторно-нормованих послідовностей випадкових векторів, за допомогою яких виведено умови збіжності до нуля та обмеженості операторно-нормованих багатовимірних мартингалів з дискретним часом. Розглянуто мартингали з додатковими обмеженнями, зокрема, мартингали з моментами вищих порядків та субгауссівські мартингали. Деякі результати узагальнено на мартингали з неперервним часом. Розглянуто рівняння авторегресії зі стискаючим оператором у сепарабельному банаховому просторі. Одержані результати застосовуються для знаходження точних констант у швидкості збіжності багатовимірних процедур стохастичної апроксимації загального виду. Досліджено точну асимптотичну поведінку майже напевно розв'язків багатовимірних рівнянь авторегресії та їх узагальнень.

  Скачати повний текст

Введено операцію завчасного зупинення випадкових процесів і показано, що вона зберігає властивість мартингальності. Знайдено умови збіжності послідовності локально квадратично інтегровних мартингалів у термінах їх квадратичних характеристик. Для послідовності мірозначних випадкових функцій знайдено умови збіжності скінченновимірних розподілів, а також відносної компактності в термінах характеристичних функцій. Зокрема, теорему неперервності Леві узагальнено на випадкові мірозначні функції. Введено нову детерміновану функціональну характеристику мірозначної випадкової функції - коваристику. Це поняття охарактеризовано набором властивостей. Знайдена характеризація є узагальненням теореми Бохнера - Хінчина. Визначено умови збіжності послідовності мірозначних випадкових функцій у термінах коваристик. Доведено збіжність мірозначних процесів, породжених змінними випадковими полями або системами великого числа частинок, до суміші пуассонових чи гаусових мір, параметри яких випадково змінюються з часом, а також функціональну центральну межову теорему для міри області, покритої асимпотично інтенсивним потоком асимптотично малих випадкових множин. Знайдено асимптотичні вирази інформаційної функції та ентропії породженого таким же потоком розбиття простору та асимптотичну оцінку міри атома розбиття.

  Скачати повний текст

Удосконалено теоретико-методологічні положення моделювання на сучасному ринку деривативів. Розроблено нові економіко-математичні моделі процесів ціноутворення нестандартних опціонів із урахуванням стохастичного характеру їх параметрів. За допомогою математичного інструментарію та сучасних засобів програмування розроблено ефективні методи практичного обчислення цін нестандартних опціонів із стохастично змінними параметрами. Запропоновано нові підходи до моделювання на безарбітражних ринках динаміки цін нестандартних опціонів з метою вирішення проблеми врахування стохастичного характеру їх параметрів, які базуються на послабленні ряду обмежень в класичних моделях типу Блека - Шоулса та нових способах обчислення умовного математичного сподівання від мартингалів, які описують такі процеси ціноутворення. З'ясовано, що, на відміну від відомих моделей із фіксованими параметрами, нові підходи дозволяють суттєвим чином підвищувати точність прогнозованих цін опціонів. Розроблено економіко-математичні моделі ціноутворення: стандартних і нестандартних опціонів європейского стилю виконання із урахуванням стохастичних стрибкоподібних змін відсоткової ставки без ризику; нестандартних опціонів європейського стилю виконання із урахуванням стохастичного стрибкоподібного характеру дохідності базового активу; нестандартних опціонів європейського стилю виконання з урахуванням стохастичного характеру параметрів змінності цін інвестиційного портфеля декількох базових активів. У межах розроблених моделей виведено формули для визначення цін широкого класу нестандартних опціонів, на базі яких проведено експериментальні розрахунки із використанням сучасних засобів математичного програмування, зокрема, на реальних даних ряду суб'єктів господарювання під час побудови їх інвестиційних стратегій і стратегій хеджування, за допомогою портфелів активів із нестандартних опціонів, що дозволило більш точно прогнозувати ціни таких деривативів у разі раптових випадкових змін ринкової кон'юнктури.

  Скачати повний текст

Досліджено змішані броунівські-дробово-броунівські моделі. Для стохастичних диференціальних рівнянь, керованих сумішшю стандартного (СБР) та дробового броунівського руху (ДБР), доведено існування та єдність їх розв'язку. Розглянуто задачу фільтрації у системі з процесом-сигналом, керованим сумішшю СБР і ДБР. У загальному випадку виведено рівняння для оптимального фільтра процесу-сигналу стосовно процесу-спостереження. Увагу приділено лінійній системі, для неї виведено замкнену систему рівнянь для середнього оптимального фільтра та варіації помилки фільтрації. Для (B, S)-ринку цінних паперів з волатильністю, керованою чистим ДБР і його сумішшю з СБР, доведено безарбітражність та неповноту. З використанням поняття мінімальної мартингальної міри виведено вираз для справедливої ціни платіжного зобов'язання Європейського типу. У випадку присутності суміші СБР і ДБР у волатильності для ціни платіжного зобов'зання виведено диференціальне рівняння у частинних похідних.

  Скачати повний текст

Встановлено необхідні та достатні умови існування моментів спеціального вигляду (НДУІМ СВ) збіжних випадкових рядів, породжених лінійними рекурсіями. Одержано НДУІМ СВ граничних випадкових величин для мартингалів, пов'язаних з гіллястими випадковими блуканнями. Встановлено, що з правильної зміни хвостів розподілів випадкових величин, що є значеннями мартингалів в момент часу 1, випливає правильна зміна й еквівалентність на нескінченності хвостів розподілів декількох операторів, що діють на мартингалах, пов'язаних з гіллястими випадковими блуканнями.

  Скачати повний текст

Побудовано операції інтегрування відносно двопараметричного дробового броунівського руху. Вперше виведено зображення двопараметричного сильного мартингалу Молчана через інтеграл відносно двопараметричного дробового броунівського руху на скінченному прямокутнику. Знайдено зображення двопараметричного дробового броунівського руху у вигляді інтеграла за двопараметричним віннерівським процесом. Уперше доведено властивості дробових узагальнених двопараметричних інтегралів Лебега - Стілтьєса. Доведено, що у випадку неперервної підінтегральної функції та інтегратора обмеженої варіації узагальнений двопараметричний інтеграл є інтегралом Рімана - Стільєса. Наведено конструкцію узагальненого двопараметричного інтеграла від дробових броунівських полів. Вперше доведено властивості прямого та оберненого узагальненого інтеграла Руссо - Валлуа для випадкових двопараметричних полів. Виведено формулу Іто в термінах узагальненого інтеграла Руссо - Валлуа для випадкових двопараметричних полів. Уведено простори типу Бєсова для двопараметричних полів на площині та узагальнений стохастичний інтеграл Лебега - Стілтьєса з інтеграндом та інтегратором, які належать до деякого простору типу Бєсова. Доведено існування та єдиність розв'язку стохастичного диференціального рівняння, яке містить дробове броунівське поле.

  Скачати повний текст

Дисертацію присвячено питанням існування локальних часів та оптимальних моментів зупинки для випадкових процесів та полів. Доведено існування локального часу для двопараметричних чисто розривних сильних мартингалів та за допомогою теорії потенціалів досліджено такі його властивості як неперервність та існування скінченних моментів. За допомогою мартингальних методів побудовано дві теорії відшукання оптимальних моментів зупинки для випадкових процесів, які застосовано до розв'язання фінансових задач оптимального переключення для різних типів стохастичних диференціальних рівнянь.

  Скачати повний текст