Для періодичних у вузькому сенсі (скінченновимірних розподілів) систем диференціальних рівнянь з випадковою регулярною правою частиною та випадковою імпульсною дією отримано необхідні та достатні умови існування періодичних зв'язків. Досліджено поведінку стійкого, компактного інваріантного багатовиду автономної систем звичайних диференціальних рівнянь за малих періодичних випадкових регулярних та імпульсних збурень її правих частин. Визначено умови існування, єдності та стійкості періодичних розв'язків лінійних та слабко нелінійних систем з випадковими імпульсними збуреннями. У термінах функцій Ляпунова для імпульсних детермінованих систем отримано умови стійкості імпульсних систем з випадковими збуреннями. Для систем з імпульсною дією у випадкові моменти часу обгрунтовано принцип усереднення. Визначено умови існування та стійкості інваріантних множин систем диференціальних рівнянь з випадковими регулярними збуреннями правих частин та систем стохастичних рівнянь Іто. Для систем з регулярними випадковими збуреннями та стохастичних систем Іто одержано аналоги принципів зведення В.А.Пліса та А.М.Самойленка. Це дало змогу дослідити стійкість систем детермінованих. Обгрунтовано метод усереднення на нескінченному проміжку часу для систем диференціальних рівнянь. Досліджено експоненціальну дихотомію в середньому квадратичному лінійних стохастичних систем Іто. Для лінійних та слабко нелінійних стохастичних систем Іто зі змінною матрицею лінійної частини з'ясовано достатні умови існування обмежених в середньому квадратичному на осі періодичних та стаціонарних розв'язків. Одержано інтегральне зображення випадкових інваріантних торів лінійних стохастичних розширень динамічних систем на торі. Встановлено умови існування інваріантних випадкових торів у слабко нелінійних коливних систем. Наведено ергодичну теорему для стохастичних систем з тороїдальним многовидом.

  Скачати повний текст

Дисертацію присвячено питанням розповсюдження чисельно-аналітичного методу послідовних наближень на дослідження крайових задач для зліченних систем нелінійних диференціальних рівнянь першого порядку нормального вигляду і частково вирішених щодо похідної, у випадку зліченноточкових крайових умов (лінійних та нелінійних), заданих на відрізку та на всій додатній півосі. Розроблено ітераційні схеми побудови розв'язків у вигляді рівномірно збіжної послідовності функцій, одержано достатні та необхідні умови розв'язання крайових задач. Для крайових задач з крайовими умовами на відрізку побудовано редукцію до скінченновимірного багатоточкового випадку, а з лінійними крайовими умовами оцінено похибку обчислення початкового значення розв'язку. Реалізацію методу показано на прикладі зліченної нелінійної неавтономної системи першого порядку нормального вигляду зі зліченноточковою лінійною крайовою умовою.

  Скачати повний текст

Розроблено числово-асимптотичний метод розв'язування задачі оптимального керування системами з постійним, асимптотично великим, змінним запізненням та максимумом з застосуванням методу усереднення рівнянь керованого руху, а також одержано оцінку множин досяжності керованих систем з запізненням за допомогою відповідних диференціальних рівнянь з похідною Хукухари. Обгрунтовано метод усереднення для керованих диференціальних рівнянь з похідною Хукухари та запізненням, а також для квазідиференціальних рівнянь з запізненням у локально компактному метричному просторі. Одержано числово-асимптотичний метод розв'язування задачі оптимального керування в'язками траєкторій та числово-асимптотичний метод побудови оптимальних керувань для керованих процесів у локально-компактних метричних просторах.

  Скачати повний текст

Розроблено й обгрунтовано схеми усереднення для систем диференціально-функціональних рівнянь з повільними та швидкими змінними, які у процесі еволюції проходять через резонанс. Введено резонансне співвідношення для частот, яке залежить від запізнення у швидких змінних. Побудовано рівнозмінні оцінки для осциляційних інтегралів, що відповідають багаточастотним системам у випадку сталого та змінного запізнення. Розглянуто випадок лінійного запізнення. У разі накладених умов асимптотика оцінок непокращувана. На підставі одержаних оцінок доведено нові теореми з обгрунтування методу усереднення для систем зі сталим і змінним запізненням, у випадках, коли частоти залежать від повільного часу або від повільних змінних. Вивчено випадок систем з лінійно перетвореним аргументом. Запропоновано й обгрунтовано схеми усереднення для систем з запізненням, коли задаються багатоточкові або інтегральні крайові умови. Процедура усереднення застосовується також до інтегральних крайових умов. У малому околі розв'язку усередненої задачі доведено існування та єдність розв'язку або його існування, якщо вектор часот залежить від повільних змінних. Обгрунтовано схеми усереднення для систем вищого наближення, якщо задано початкові або крайові умови. Розглянуто задачу коливання нескінченної струни під дією багаточастотних збурень і наведено для неї обгрунтування методу усереднення. Запропоновані схеми усереднення використано для розв'язання певних модельних прикладних завдань.

  Скачати повний текст

Використано метод усереднення для вивчення розв'язності крайових задач для деяких класів нелінійних систем звичайних диференціальних рівнянь з повільними та швидкими рухами. Показано, що такого типу системи застосуються в математичній теорії багаточастотних систем і в теорії нелінійних коливань. Розв'язано багатоточкові задачі для коливних систем з майже періодичними за швидкими змінними правими частинами і залежними від повільних змінних частотами. Встановлено кількісну залежність похибки методу усереднення від величини малого параметра. Доведено нові теореми існування та єдиності розв'язків крайових задач з параметрами і багатоточковими та інтегральними крайовими умовами для коливних систем, частоти яких залежать від "повільного часу". Подано оцінки частинних похідних за початковими даними і параметрами різниці розв'язків задачі Коші для вихідних та усереднених коливних систем з імпульсним впливом. Знайдені оцінки використано для розв'язання крайових задач з параметрами та без них для імпульсних систем.

  Скачати повний текст

Узагальнено умови монотонності топлогічної ентропії для одного класу неполіноміальних сімей унімодальних відображень і знайдено принципово нові відображення, для яких топологічна ентропія - монотонна функція параметра. Для деяких однопараметричних сімей кусково-лінійних унімодальних відображень доведено, що нідинг-інваріант та топологічна ентропія - монотонно зростаючі функції параметра. Для сімей барн-відображень знайдено таку множину параметрів, за якої нідинг-інваріант та топологічна ентропія не є монотонними функціями параметра. Методами теорії динамічних систем дано пояснення, чому такі відображення не можна апроксимувати відображеннями з від'ємним шварціаном. Досліджено символьну складність підзсувів, які породжуються відображеннями інтервалу з заданими комбінаторними властивостями. Зокрема, одержано точні формули функцій складності p(n) для Фібоначчі-подібних нідинг-підзсувів.

  Скачати повний текст

Досліджено властивості топологічно транзитивних і мінімальних відображень на компактних хаусдорфових (метричних) просторах. Показано, що мінімальне відображення є майже відкритим, яким воно може бути лише коли є гомеоморфізмом. Доведено існування компактних хаусдорфових просторів, які припускають існування мінімальних необернених неперервних відображень, але не допускають мінімальних геоморфізмів. Для довільних динамічних систем на метричних компактних просторах, досліджено концепцію хаосу Лі-Йорка, яку було вивчено раніше в основному тільки для одновимірної динаміки. Показано, що система з додатною топологічною ентропією є хаотичними в сенсі Лі - Йорка. Запропоновано нову концепцію хаотичних систем, що поєднує ідеї чутливості та хаосу в сенсі Лі - Йорка - чутливість Лі-Йорка. Доведено, що для довільної слабко змішаної динамічної системи проксимальна клітка будь-якої точки фазового простору скрізь щільна (резидуальна) у ньому. Розроблено засади теорії трикутних неперервних відображень та топологічної ентропії неавтономних динамічних систем. Знайдено та досліджено аксіоматичні означення топологічної ентропії та топологічного хаосу для неперервних відображень відрізка.

  Скачати повний текст

Побудовано інваріанти замкнених l-форм на замкнених поверхнях та на поверхнях з краєм, які дозволяють розрізняти топологічно нееквівалентні замкнені l-форми. Встановлено вигляд інтегральних кривих замкненої l-форми. Знайдено структуру областей замкненої поверхні, заповнених інтегральними кривими однотипної поведінки. Одержано умови, за яких довільні криві, задані на замкненій поверхні, будуть інтегральними кривими деякої замкненої l-форми. Доведено теорему реалізації для замкненої l-форми з замкненими рекурентними кривими. Підраховано число топологічно нееквівалентних замкнених l-форм із замкненими рекурентними кривими, з трьома, чотирма, п'ятьма ребрами на сфері та торі. Підраховано число топологічно нееквівалентних замкнених l-форм з одним нулем, однією, двома петлями та з сумірними числами обертання Пуанкаре незамкнених рекурентних кривих на орієнтованій поверхні роду 2.

  Скачати повний текст

Проведено структурування деяких класів нелінійних дискретних систем до уніфікованого дробово-раціонального вигляду. Доведено використання методу функцій Ляпунова до нелінійних різницевих систем із запізненням. Одержаний підхід використано під час дослідження стійкості лінійних систем великої розмірності, а також нелінійних систем із дробово-раціональною правою частиною. За допомогою методу функціоналів Ляпунова - Красовського квадратичного вигляду одержано умови стійкості та обчислено показники збіжності розв'язків лінійних різницевих систем з запізненням. Розроблено метод побудови оптимальних функціоналів Ляпунова - Красовського для одержання гарантованих умов стійкості в класі функціоналів квадратичного виду.

  Скачати повний текст

Висвітлено актуальний напрямок розвинення теорії динамічних систем (ДС), зокрема: розроблено методи встановлення умов стійкості та керованості диференціальних та різницевих систем рівнянь, коефіцієнти яких випадкові функції від часу, а випадковий розв'язок зазнає стрибків і випадкових перетворень. Зазначено, що даний напрямок знаходиться на межі математичних дисциплін теорії ймовірностей, диференціальних рівнянь, теорії стійкості та стабілізації. Розвинуто методи побудови функцій Ляпунова та моментних рівнянь для широких класів ДС з випадковими коефіцієнтами та додатковими умовами на розв'язки. Одержано системи різницевих рівнянь для визначення дискретних скінченнозначних напівмарковських процесів та інтегральні рівняння для неперервних процесів. Вперше побудовано моментні рівняння для різних класів нелінійних диференціальних і різницевих рівнянь (ДіРР) з випадковими коефіцієнтами та додатковими умовами на розв'язки. Обгрунтовано та розроблено метод побудови функцій Ляпунова для систем лінійних і нелінійних ДіРР, праві частини яких залежать від напівмарковського процесу (НМП). Одержано умови оптимальності розв'язків систем лінійних ДіРР, коефіцієнти яких залежать від НМП, а розв'язки зазнають випадкових перетворень. Розв'язано задачі синтезу оптимального керування для систем лінійних і нелінійних ДіРР, праві частини яких залежать від НМП за додаткових умов на їх розв'язок.

  Скачати повний текст

Визначено достатні умови трансверсальної стійкості та стійкості в цілому для періодичних розв'язків, які додатково задовольняють умови циклічності.

  Скачати повний текст

Розроблено методи дослідження динаміки процесів, що моделюються сукупністю диференціальних і різницевих рівнянь, які поєднані логічними законами перемикання. Основну увагу приділено вивченню ключової якісної властивості таких систем - їх стійкості, показано її суттєве значення у проектуванні систем керування. Досліджено поведінку розв'язку й одержано оцінки стійкості логіко-динамічної системи з часовим перемиканням, яка складається з підсистем, що описуються системами лінійних диференціальних рівнянь зі сталими коефіцієнтами, а також дискретних рівнянь. Одержано оцінки розв'язку логіко-динамічної системи, яка складається з підсистем, що описуються системами лінійних диференціальних і дискретних рівнянь із запізненням. Наведено оцінки розв'язку систем рівнянь нейтрального типу. Розроблено модель прискорювальної системи руху тіла з трьома степенями свободи під дією безконтактних сил і здійснено оцінку її розв'язку аналітичним методом та за допомогою чисельного експерименту. З'ясовано, що проблема динамічної поведінки вільних об'єктів, особливо стійкості траєкторії, виникає у ряді задач, зокрема, для систем прискорення заряджених частинок, а також прискорення або гальмування магніто-левітуючого транспорту. Теоретичні результати, одержані для лінійних систем, підтверджено експериментальними даними моделювання динаміки системи з часовим перемиканням.

  Скачати повний текст

Досліджено стійкість руху великомасштабних неперервних та дискретних за часом систем загального вигляду, лінійних неавтономних, квазілінійних та керованих систем на основі матрично-значних функцій Ляпунова. Запропоновано новий спосіб побудови елементів матрично-значних функцій Ляпунова, на основі якого встановлено нові достатні умови асимптотичної стійкості рухів нелінійних великомасштабних систем, лінійних неавтономних систем, лінійних та квазілінійних дискретних за часом систем, умови експоненціальної полістійкості рухів автономних систем та x-полістійкості руху одного класу нелінійних систем. На основі побудованої матрично-значної функції Ляпунова одержано форму керувань, що стабілізують рух абсолютно твердого тіла, яке несе рухомі матеріальні точки.

  Скачати повний текст

Досліджено сильну та слабку стійкість (нестійкість) повністю та частково синхронізованих розв'язків систем зв'язаних відображень з неоднорідними матрицями зв'язків. Запропоновано й обгрунтовано три типи матриць зв'язків. Для кожного з них досліджено випадки кусково-лінійного та квадритичного базових відображень. Доведено існування повністю та частково синхронізованих розв'язків для розглянутих систем зв'язаних відображень. Одержано необхідні умови сильної та слабкої стійкості (нестійкості) повністю та частково синхронізованих розв'язків. Визначено залежність меж областей стійкості синхронізованих розв'язків від розмірності системи зв'язаних відображень. Для випадків наявності цієї залежності одержано аналітичні вирази для критичних значень розмірності.

  Скачати повний текст

Досліджено синхронізацію на рівні атрактора на прикладі складеної системи зв'язаних рівнянь Бергера. Одержано результати: для системи m >= 2 лінійно демпфірованих рівнянь зі зв'язком глобального характеру вигляду "симетричний зв'язок великої інтенсивності плюс малий довільний додаток"; системи двох нелінійно демпфірованих рівнянь із симетричним зв'язком глобального характеру; системи двох лінійно демпфірованих рівнянь із симетричним зв'язком, що є локалізованим за просторовою змінною. Доведено у кожному з випадків напівнеперервність зверху атрактора в метриці Хаусдорфа за параметром gamma, що характеризує інтенсивність зв'язку в системі.

  Скачати повний текст

Досліджено синхронізацію на рівні атрактора на прикладі складеної системи зв'язаних рівнянь Бергера. Одержано результати: для системи m 2 лінійно демпфірованих рівнянь зі зв'язком глобального характеру вигляду "симетричний зв'язок великої інтенсивності плюс малий довільний додаток"; системи двох нелінійно демпфірованих рівнянь із симетричним зв'язком глобального характеру; системи двох лінійно демпфірованих рівнянь із симетричним зв'язком, що є локалізованим за просторовою змінною. Доведено у кожному з випадків напівнеперервність зверху атрактора в метриці Хаусдорфа за параметром , що характеризує інтенсивність зв'язку в системі.

  Скачати повний текст

З використанням методу істотно особливих функцій винайдено алгоритм побудови рівномірної асимптотики розв'язку сингулярно збуреного диференціального рівняння з псевдодифенціальною точкою звороту. Доведено теореми про асимптотику розв'язків сингулярно збурених диференціальних рівнянь третього та четвертого порядків з псевдодиференціальною точкою звороту для випадків стабільної, нестабільної та внутрішньої точок звороту.

  Скачати повний текст

Розроблено новий метод для побудови гомо- та гетероклінічних траєкторій у нелінійних динамічних системах з двовимірним фазовим простором у випадку малої дисипації з використанням Паде та квазі-Паде апроксимації. Одержано необхідну умову існування апроксимацій, а також умову у нескінченності, що дало змогу розв'язати крайову задачу, сформульовану для траєкторій, та обчислити початкові значення з припустимою точністю. Для випадку немалої дисипації запропоновано метод визначення початку хаосу, що базується на дослідженні взаємної нестійкості фазових траєкторій в областях хаотичної поведінки у динамічних системах. Даний метод дозволяє дослідити процес появи та збільшення областей хаотичної поведінки у разі зміни керуючих параметрів динамічної системи. За допомогою комплексу програм визначено нижні межі областей хаотичної поведінки у площинах параметрів для рівнянь, до яких зводиться розв'язання нелінійних задач динаміки, а саме: для неавтономного рівняння Дуффінга, рівнянь Ван дер Поля - Дуффінга, коливань ферми Мізеса, осцилятора з нелінійною характеристикою тертя та параметрично збуреного маятника. Достовірність одержаних результатів експериментально перевірено.

  Скачати повний текст

Побудовано загальний розв'язок лінійної неоднорідної дискретної системи зі слабким запізненням, а також загальний розв'язок лінійної неоднорідної дискретної системи з чистим запізненням. Визначено критерії керованості та створено керування системами з чистим запізненням. Розроблено математичну модель динаміки ціноутворення на ринку вільної конкуренції та проведено її дослідження. Визначено область стійкості розв'язків математичної моделі, оцінено вплив запізнення на поведінку системи. Проведено дослідження моделі Леслі. Запропоновано нелінійну модель Леслі, що враховує вплив щільності на інтенсивність народжуваності. З використанням цієї моделі описано динаміку розвитку фірми у рамках життєвого циклу товару. Наведено математичну модель динаміки платіжного календаря банку.

  Скачати повний текст

Одержано нові достатні умови рівномірної асимптотичної стійкості й експоненціальної стійкості, що допускають функції Ляпунова зі знакозмінними похідними. Запропоновано новий підхід у дослідженні стійкості за Ляпуновим для диференціальних рівнянь із запізненням, що використовує визначені властивості траєкторій у нескінченновимірному просторі відрізків траєкторій. З застосуванням цього підходу одержано теореми про достатні умови рівномірної асимптотичної стійкості та нестійкості нульового розв'язку функціонально-диференціального рівняння запізнюючого типу, що допускають використання знакоперемінних і немонотонних уздовж розв'язків рівняння функціоналів Ляпунова. Зазначено, що запропонований метод побудови функціоналів Ляпунова можна використовувати для дослідження параметричного резонансу в системі лінійних рівнянь з запізненням. Показано, що шляхом зміни величини запізнення можна знищити зони динамічної нестійкості та стабілізувати систему. Одержано нові достатні умови асимптотичної стійкості та нестійкості нульового розв'язку різницевого рівняння з запізненням, запропоновано нову схему обгрунтування принципу усереднення для різницевих рівнянь.

  Скачати повний текст