Вивчено топологічні властивості (ТВ) функцій на тривимірних многовидах (ТВМ). Доведено критерій геометричної еквівалентності функцій Морса - Смейла на замкнених ТВМ в термінах узагальнених упорядкованих діаграм Хегора, теорему реалізації для даних діаграм та обчислено число нееквівалентних функцій на поверхні Хегора роду один, на якій не більше, ніж шість точок перетину між меридіанами. Наведено геометричну та топологічну пошарові класифікації функцій Морса на замкнених ТВМ. Встановлено критерії геометричної та топологічної пошарової еквівалентності функцій загального положення на ТВМ з межею у термінах упорядкованих m-діаграм Хегора. Досліджено ТВ p-функцій, побудовано їх повні топологічні інваріанти, p-діаграму та p-граф. Описано властивості p-графа та доведено теорему про реалізацію.

  Скачати повний текст

Для неперервних функцій зі скінченною кількістю екстремумів, заданих на відрізку та колі, побудовано інваріанти, які описують їх з точністю до топологічної еквівалентності. Побудовано комбінаторну діаграму, яка описує з точністю до топологічної еквівалентності гладкі функції в крузі зі скінченним числом сідел. Знайдено достатні умови, які гарантують гладке продовження без критичних точок всередину круга неперевної функції зі скінченною кількістю екстремумів, яка задана на колі.

  Скачати повний текст

Розглянуто функції на поверхнях. Доведено, що граф Кронрода-Ріба з додатковою інформацією (знаками) задає функцію Морса загального положення на двовимірному многовиді. Зазначено, що кожному векторному полю Морса з нумерацією сідлових точок відповідає єдина функція Морса. Побудовано fd-граф і доведено, що він є повним топологічним інваріантом атомів критичних шарів гладких функцій з ізольованими особливостями на поверхнях. Проведено повну топологічну класифікацію гладких функцій з ізольованими особливостями на поверхнях за допомогою графів Кронрода-Ріба та fd-графів. Побудовано оснащений граф Кронрода-Ріба для гладкої функції з простими особливостями, які належать різним лініям рівня, на поверхні і доведено, що він задає таку функцію з точністю до гладкої еквівалентності. Наведено глобальну гладку класифікацію функцій з простими особливостями, які належать різним лініям рівня, на двовимірних многовидах.

  Скачати повний текст

Науково обгрунтовано методику формування стереометричних уявлень учнів V - VIII класів у процесі навчання математики. Встановлено, що запропонована методика суттєво розвиває пізнавальні можливості й інтереси, підвищує загальний рівень сформованості стереометричних уявлень учнів, їх інтелектуальний рівень. Відзначено, що формування даних уявлень є процесом відображення та закріплення в пам'яті зорового образу тривимірного геометричного тіла, його подальше осмислення, уточнення, збагачення, розширення у процесі різноманітної діяльності, перекодування просторової інформації та перехід від уявлень-образів до уявлень-суджень. Основними структурними компонентами процесу формування стереометричних уявлень є сприйняття інформації про геометричне тіло (форма, кількісна характеристика розмірів (довжина, ширина, висота), розміщення у просторі на відстані, осмислення одержаної інформації у процесі нового утворення образу, закріплення його у пам'яті й оперування уявленнями у процесі розв'язування задач, у практичній діяльності. Проаналізовано проблему вивчення стереометричного матеріалу у вітчизняних і зарубіжних школах у початкових і середніх класах (Болгарії, Великобританії, Ізраїлю, Китаю, Німеччини, Польщі, США, Японії). Запропоновані і методичні прийоми та засоби навчання та система завдань і унаочнення (моделей, таблиць) сприяють підвищенню рівня сформованості стереометричних уявлень в учнів V - VIII класів.

  Скачати повний текст

Запропоновано науково обгрунтовану модель методичної системи формування прийомів евристичної діяльності учнів на уроках геометрії в класах з поглибленим вивченням математики через актуалізацію евристичних ситуацій на базі евристичної задачі. Виявлено евристичні прийоми, методи та форми, що сприяють формуванню евристичної діяльності учнів на даних уроках. Установлено психолого-педагогічні передумови формування цієї діяльності учнів певного віку. Досліджено можливості застосування традиційних і сучасних засобів навчання в методиці організації та управління даною діяльністю.

  Скачати повний текст

Обгрунтовано методичні основи формування пізнавальної самостійності (ФПС) учнів VII - IX класів у процесі навчання геометрії з урахуванням освітнього стандарту з математики та інформатики. Розроблено методику використання педагогічних програмних засобів під час здійснення самоконтролю, описано систему лабораторно-практичних робіт з геометрії в даних класах та методику їх проведення з використанням комп'ютера, задачі на доведення. Обгрунтовано педагогічну доцільність поєднання самостійних і колективних форм навчання на основі інформаційно-комунікаційних технологій. Доведено ефективність запропонованої методики ФПС учнів загальноосвітньої школи в процесі навчання геометрії з використанням інформаційних технологій навчання.

  Скачати повний текст

Вперше виявлено та теоретично обгрунтовано педагогічні умови формування конструкторських умінь студентів (високий рівень професійної компетентності викладача, цілеспрямоване застосування системи інформаційно-графічного забезпечення навчальної дисципліни, перманентне залучення студентів до різновидів навчальної діяльності, в якій репродуктивні методи навчання послідовно змінюються продуктивними, творчими способами оволодіння графічними завданнями та розвитком технічного мислення), що пов'язані з особливостями змісту навчального матеріалу та пізнавальними можливостями студентів. Сформульовано теоретико-методичні основи формування конструкторських умінь студентів з урахуванням комплексу конструктивно-технологічних завдань. Удосконалено комплекс критеріїв (мотиваційно-динамічний, змістово-результативний, операційний) і розроблено рівні сформованості досліджуваних умінь студентів під час вивчення нарисної геометрії та інженерної графіки (репродуктивний, перехідний, творчий).

  Скачати повний текст

Визначено рівні і специфіка геометричної діяльності, розкрито зміст та операційний склад геометричних умінь учнів гуманітарного профілю навчання; обгрунтовані наукові принципи відбору загальних і окремих геометричних умінь. Доведено, що методика формування геометричних вмінь учнів старшої школи гуманітарного профілю навчання має бути операційно-орієнтованою, враховувати особливості навчальної діяльності учнів цього профілю, рівні вимог до вироблення вмінь та психолого-методичні закономірності формування геометричних вмінь учнів. Теоретично та експериментально обгрунтована методика (мета, зміст, методи, організаційні форми, прийоми і засоби) забезпечує ефективне формування геометричних вмінь учнів-гуманітаріїв і може бути використана вчителями загальноосвітніх навчальних закладів.

  Скачати повний текст

Здійснено побудову зображень результату обкатки фігур постійної ширини (на прикладі трикутника Релло), які рухаються по площині за гіпотрохоїдальним законом, або законом обертового переносу. Розроблено метод опису трикутника Релло рівнянням у неявному вигляді та схеми описів обкатки трикутників Релло для випадків гіпотрохоїдального закону та закону обертового переносу. Результати впроваджено під час проектування схем твердіння некруглих отворів, профілювання корпусів двигунів внутрішнього згоряння Ванкеля, проектування пари кулачків синхронного обертання з точковим контактом.

  Скачати повний текст

Встановлено критерій топологічної спряженості афінного відображення з відповідним лінійним, що дозволяє класифікувати широкий клас афінних відображень, з використанням лише їх лінійних частин. Так, для афінних перетворень без нерухомих точок встановлено кількість класів топологічної спряженості, а також побудовано відповідні перетворення, що їх визначають. Розглянуто необхідні та достатні умови топологічної спряженості дробово-лінійних перетворень в термінах їх нерухомих точок або матриць. Із використанням класифікації даних перетворень за стандартними формами висвітлено класи топологічно спряжених дробово-лінійних перетворень.

  Скачати повний текст

Запропоновано топологічну класифікацію функцій. Одержано результати стосовно встановлення умов топологічної еквівалентності неперервних функцій, заданих у колі та в одиничному крузі. Наведено топологічну класифікацію неперервних функцій зі скінченною кількістю екстремумів, заданих на колі, у термінах їх інваріантів, які дозволяють встановити числа топологічно нееквівалетних функцій. Доведено аналог гіпотези Арнольда в одновимірному випадку. Для неперервної функції, заданої в околі нуля, який є її ізольованим локальним мінімумом (максимумом), знайдено умови, за яких функція є топологічно еквівалентна конусу над плоскою кривою. Для псевдогармонічних функцій, що задані на диску та мають скінченне число екстремумів на межі, побудовано їх інваріант (комбінаторну діаграму) та знайдено необхідні та достатні умови топологічної еквівалентності функцій з даного класу. Вирішено проблему реалізації скіченного зв'язного графа зі строгим частковим порядком на вершинах як комбінаторного інваріанта деякої псевдогармонічної функції.

  Скачати повний текст

Розглянуто загальну нелінійну параболічну задачу для рівняння довільного парного порядку в циліндричній області. Розв'язок проаналізовано в анізотропному соболєвському просторі. Введено топологічні характеристики відображення. За допомогою топологічних методів доведено єдиність розв'язку дослідженої задачі та його локальне існування. Включення дослідженої проблеми до однопараметричної сім'ї параболічних проблем дозволило довести теорему про умовне існування розв'язку. Отримано результати про збереження області під дією оператора крайової задачі та сильну збіжність послідовності гальоркінських наближень.

  Скачати повний текст

Розглянуто задачу топологічної класифікації функцій та динамічних систем на маловимірних многовидах. З застосуванням методів теорії розкладів та ручки Смейда побудовано повні топологічні інваріанти - розрізняючі графи, еквівалентність яких легко перевірити. Відзначено, що одержані результати дослідження повною мірою розв'язують проблему топологічної класифікації векторних полів Морса - Смейла та функцій Морса на замкнених тривимірних многовидах і на двовимірних і тривимірних многовидах з краєм (m-поля та m-функції) та більш загальних об'єктів: функцій з ізольованими критичними точками на замкнених поверхнях, функцій з трьома та чотирма критичними точками на тривимірних многовидах, замкнених L-форм Морса на замкнених поверхнях, відображень Уітні замкненої поверхні на площину. Ефективність побудованих класифікацій продемонстровано на прикладах підрахувань числа топологічно нееквівалентних об'єктів з заданими властивостями. Доведено теорему про суму індексів потоку на стратифікованій множині.

  Скачати повний текст

Досліджено секційну кривину многовида Грассмана вздовж дотичної площини грассманового образу підмноговида в евклідовому просторі та кривину метрики грассманового образу. Доведена гіпотеза О.А.Борисенко для підмноговидів в евклідовому просторі, у яких корозмірність не перевищує розмірність. Встановлено виконання гіпотези в класі комплексно-аналітичних поверхонь. Доведена формула для нормальної кривини грассманового образу підмноговида в евклідовому просторі. Виведена формула для кривини метрики грассманового образу підмноговида з плоскою нормальною зв'язністю. Дано застосування цієї формули для ізопараметричного підмноговида.

  Скачати повний текст

  Скачати повний текст

Запропоновано спосіб подання сегментів поліномів третього, четвертого та п'ятого степенів з керуючими точками, що належать кривій. Розглянуто різні варіанти подання сегментів поліномів четвертого та п'ятого степенів за заданими точками, першими та другими похідними, що задані у цих точках, а також посередині сегменту. Одержано та досліджено умови досягнень гладкості сплайнових кривих від першого до четвертого порядків гладкості та досліджено властивості цих кривих, зокрема, притаманність до затухання коливань (осциляцій). З урахуванням гладких сплайнових кривих запропоновано способи визначення порцій поверхонь і бісплайнових поверхонь. Розглянуто умови досягнення повної гладкості поверхні другого, третього та четвертого порядків.

  Скачати повний текст

Запропоновано метод сильно універсальних і поглинальних просторів. Створено метод копоглинаючих просторів з метою їх подальшого застосування до проблеми топологічної класифікації опуклих множин у лінійних топологічних просторах: імовірнісних мір, слабких одиничних куль банахових просторів, операторних образів, сильних спряжених до монтелевих просторів Фреше та ядерних (LF)-просторів.

  Скачати повний текст

Визначено необхідні умови існування розв'язку узагальненої задачі Ферма, яка стала прототипом задачі Штейнера, у вигляді тригонометричних рівнянь. Виведено загальну формулу довжини мінімального дерева Штейнера для конструкцій типу "драбин". Доведено, що такі фрагменти мінімального остовного дерева, як спіралі, можна трансформувати у піддерева меншої довжини. Формалізовано постановку зваженої задачі Штейнера, яка відрізняється від класичної тим, що в ній ділянки мінімального дерева мають певну вагу. Виведено необхідні умови оптимальності її розв'язку. Побудовано три моделі зваженої задачі Штейнера, наближені до практичних задач. Запропоновано та теоретично обгрунтовано новий параметричний підхід до розв'язання класичної теорії Штейнера, на базі якого розроблено метод обгрунтування гіпотези Гільберта - Поллака, що зводить проблему до розв'язання задач нелінійного програмування. Наведено загальну схему для побудови трьохетапного алгоритму обгрунтування гіпотези Гільберта - Поллака.

  Скачати повний текст

  Скачати повний текст

Досліджено властивості квазінеперервних відображень, заданих на топологічних просторах. Наведено опис множини точок квазінеперервності та визначено наявність точок неперервності відображень двох змінних, які горизонтально квазінеперервні та неперервні щодо другої змінної, а також точок симетричної квазінеперервності сукупно квазінеперервних відображень. Розглянуто симетрично квазінеперервні та сукупно квазінеперервні відображення.

  Скачати повний текст