Показано, що функтор ймовірнісних мір утворює монаду на категорії ультраметричних просторів та нерозтягувальних відображень; природне перетворення носія є морфізмом монади ймовірнісних мір у монаду, породжену функтором гіперпростору. Визначено аналог ультраметризації Гартога та де Вінка для простору ідемпотентних мір (мір Маслова) на ультраметричних просторах. Показано, що утворений функтор у категорії ультраметричних просторів і нерозтягувальних відображень утворює монаду. Показано, що функтор ідемпотентних мір у категорії ультраметричних просторів зберігає клас повних ультраметричних просторів. Показано, що аналог конструкції Гартога та де Вінка напівнеперервних згори ємностей з компактними носіями на ультраметричних просторах породжує функтор у категорії ультраметричних просторів; цей функтор не зберігає повноти.

  Скачати повний текст

Дисертацію присвячено дослідженню категорних властивостей функціональних просторів. Розв'язано задачі існування функторіальних топологій і функторіальних диференційованих структур із заданими властивостями на функціональних просторах. Встановлено загальні критерії існування продовження контраваріантних функторів на категорії Клейслі і підняття контраваріантних функторів на категорії Ейленберга-Мура монад в термінах існування природних перетворень спеціального вигляду. Ці критерії застосовано до контраваріантного функтора просторів неперервних функцій в топології поточкової збіжності та його трансфінітних ітерацій для різних монад в категоріях тихоновських просторів.

  Скачати повний текст

  Скачати повний текст

  Скачати повний текст

Досліджено ізоморфні занурення скінченних метричних просторів (СМП) та властивості відстані Громова - Хаусдорфа між СМП. Запропоновано конструкцію та описано алгоритм ізоморфного довільного СМП у деякий простір Хемінга. Розглянуто континуальну родину попарно неізоморфних однорідних локально скінченних метричних просторів, кожен з яких містить ізоморфну копію довільного СМП. Визначено поняття експоненти Громова - Хаусдорфа СМП і досліджено деякі її властивості.

  Скачати повний текст

Вводяться та досліджуються так звані іррегулярні підмножини многовидів Грасмана. Їх властивості використовуються для дослідження проекцій IkD-вимірних підмножин R. nD на IkD-вимірні площини. Ця задача пов'язана з відомою гіпотезою Чогошвілі. Розглядається проблема Гуревича-Волмена та досліджується структура типової множини рівня відображень R. nD в R. mD.

  Скачати повний текст

  Скачати повний текст

Доведено, що трансфінітне продовження асимптотичного виміру asInd є тривіальним. Побудовано нетривіальне трансфінітне продовження асимптотичного виміру asdim, а також поглинальні простори для борелівських класів зліченновимірних просторів. Доведено, що підпростір у гіперпросторі евклідового простору, що складається з компактів, для яких відображення найближчої точки є неоднозначним на всюди щільній множині, гомеоморфний гільбертовому простору. Наведено повну класифікацію просторів і відображень імовірнісних мір над борелівськими підмножинами гільбертового кубу. Побудовано нормальний функтор H на базі конструкції Гартмана - Мицельського. Доведено відкритість функтора H й охарактеризовано компакти X, для яких HX гомеоморфний тихоновському кубу. Введено клас L-монад і показано, що кожна така монада має функціональне представлення. Побудовано L-монаду, алгебри якої не вкладаються в добуток відрізків. Знайдено конструкцію, що зіставляє кожній алгебрі довільної L-монади структуру опуклості, з'ясовано, що ці структури зберігаються морфізмами алгебр. Доведено м'якість відкритих відображень з опуклими шарами для бінарних опуклостей, а також відкритість функтора O й охарактеризовано компакти X, для яких OX гомеоморфний тихоновському кубу. Досліджено клас барицентрично м'яких компактів та розв'язано два питання В.В.Федорчука.

  Скачати повний текст

Проведено дослідення топології гіперпросторів компактів заданого виміру Гаусдорфа. У 90-х роках минулого століття розвинено потужну техніку поглинаюжчих систем, яку одразу ж було застосовано до опису топологічного типу систем гіперпросторів, пов'язаних з поняттям лебегового виміру. За даних умов застосовано лише поглинаючі системи, індексовані підмножинами множини натуральних чисел. Встановлено, що на відміну від топологічного виміру, вимір Гаусдорфа, маючи неперервну шкалу значень, дозволяє розглядати складніші системи множин, які, зокрема, можуть бути індексовані незліченними множинами. Результати наукового дослідження рекомендовано використовувати в топології нескінченновимірних многовидів, теорії виміру, фрактальній геометрії, теорії функцій.

  Скачати повний текст

Запропоновано конструкції та досліджено властивості операторів продовження метричних структур. Побудовано неперервні в типології Фелла оператори одночасного продовження напівнеперервних зверху (псевдо)метрик, визначених на опуклих компактних підмножинах локально опуклих топологічних просторів. Розглянуто задачу продовження ліпшицевих псевдометрик. Одержано результати побудови й опису властивостей однорідних операторів одночасного продовження неперервних ультраметрик і рівномірно незв'язних метрик, визначених на замкнених підмножинах нульвимірних компактних метризовних топологічних просторів. Доведено існування однорідного неперервного в топології поточкової збіжності оператора продовження ультраметрик, визначених на замкненій підмножині некомпактного нульвимірного топологічного простору. Побудовано оператор продовження сімей узгоджених ультраметрик, визначених на ланцюгах підмножин нульвимірного топологічного простору. Розгляуто задачу продовження грубо рівномірних метрик, визначених на замкненій підмножині метричного простору.

  Скачати повний текст

Досліджено властивості квазінеперервних відображень, заданих на топологічних просторах. Наведено опис множини точок квазінеперервності та визначено наявність точок неперервності відображень двох змінних, які горизонтально квазінеперервні та неперервні щодо другої змінної, а також точок симетричної квазінеперервності сукупно квазінеперервних відображень. Розглянуто симетрично квазінеперервні та сукупно квазінеперервні відображення.

  Скачати повний текст

Встановлено критерій топологічної спряженості афінного відображення з відповідним лінійним, що дозволяє класифікувати широкий клас афінних відображень, з використанням лише їх лінійних частин. Так, для афінних перетворень без нерухомих точок встановлено кількість класів топологічної спряженості, а також побудовано відповідні перетворення, що їх визначають. Розглянуто необхідні та достатні умови топологічної спряженості дробово-лінійних перетворень в термінах їх нерухомих точок або матриць. Із використанням класифікації даних перетворень за стандартними формами висвітлено класи топологічно спряжених дробово-лінійних перетворень.

  Скачати повний текст