Створено та програмно реалізовано автоматизовану систему діалогового моделювання прямих і обернених задач для систем, що описуються еліптичними та параболічними диференціальними рівняннями у тривимірному просторі. За допомогою розробленої системи розв'язано модельні приклади та практичні задачі. Загальну методику математичного моделювання прямих і обернених задач динаміки систем з розподіленими параметрами поширено на задачі моделювання процесів, що зводяться до розв'язання прямих і обернених задач для еліптичних систем. Побудовано множини функцій, якими з середньоквадратичною точністю описуються розв'язки прямих і обернених задач щодо досліджуваних процесів. Установлено критерії точності й однозначності цих розв'язків.

  Скачати повний текст

Розроблено й обгрунтовано новий числово-аналітичний метод дослідження існування та побудови періодичних розв'язків нелінійних систем звичайних диференціальних рівнянь і розв'язків, які задовольняють лінійні крайові умови. Для знаходження розв'язків побудовано послідовні наближення, знайдено умови й оцінки їх рівномірної збіжності, зв'язок межової функції з точними розв'язками. Встановлено модифікації методу, які досліджують задачі у некритичному та в критичному випадках. Визначено теорію систем лінійних диференціальних рівнянь з виродженою матрицею за похідної, які зводяться до центральної канонічної форми та піддаються імпульсному збуренню. Висвітлено необхідні та достатні умови існування та побудовано в аналітичному вигляді розв'язки лінійної нетерової крайової задачі для вироджених диференціальних систем з імпульсною дією типу "interface conditions".

  Скачати повний текст

Побудовано компактні різницеві схеми високого порядку точності для розв'язання крайових задач на скінченному відрізку та півосі для нелінійних звичайних диференціальних рівнянь та їх систем. У зв'язку з нелінійністю крайових задач і різницевих схем використано метод лінеаризації та принцип стискальних відображень, а також метод монотонних операторів. Побудовано точні компактні різницеві схеми, коефіцієнти та права частину яких у кожному вузлі сітки виражаються розв'язками додаткових задач Коші для звичайних диференціальних рівнянь на інтервалі довжиною в один крок. Доведено існування та єдність їх розв'язку, збіжність ітераційного методу послідовних наближень для його знаходження. Розроблено ефективні алгоритмічні реалізації точних схем через відсічені компактні різницеві схеми довільного порядку точності. Доведено існування й єдність розв'язку, одержано оцінки точності відсічених компаткних різницевих схем. Встановлено збіжність і наведено оцінки точності ітераційних методів (послідовних наближень, Ньютона) для знаходження їх розв'язку. Показано ефективність запропонованих підходів.

  Скачати повний текст

Висвітлено питання математичного моделювання гомогенних хімічних процесів, що протікають у розчинах за умов постійної температури, із застосуванням чисельних методів розв'язання задач Коші для звичайних диференціальних рівнянь та методів ідентифікації параметрів гомогенних фотохімічних процесів. Описано узагальнену математичну модель гомогенного хімічного процесу, яка являє собою задачу Коші для системи звичайних диференціальних рівнянь першого порядку. Запропоновано критерій щодо апріорного визначення жорсткості задачі Коші, виходячи з початкових даних. Вперше запропоновано підхід для визначення необхідної межі локальної похибки чисельного методу розв'язання задачі Коші, що гарантує збереження фізичного змісту чисельним розв'язком та дозволяє уникнути розбіжності методу. Даний підхід обгрунтовано доведенням відповідних теорем. Досліджено спосіб ідентифікації параметрів за декількома наборами експериментальних даних, що відповідають одному й тому ж фотохімічному процесу. Отримано нові наукові результати та розроблено програмний засіб "KinFitSim", що дозволяє моделювати гомогенні фотохімічні процеси та ідентифікувати їх параметри за експериментальними даними, доведено можливість їх використання під час розв'язання ряду складних фізико-хімічних та біохімічних задач, пов'язаних з гомогенними хімічними процесами.

  Скачати повний текст

Розглянуто розроблені на базі сплайнів нові методи ідентифікації параметрів математичних моделей параметричного коливального процесу лінійної динамічної системи другого порядку. Охарактеризовано розроблений на базі сплайнів новий підхід щодо ідентифікації параметрів дискретних моделей параметричних коливальних процесів за заданих початкових умов, коли параметри лінійної динамічної системи є функціями неперервними або мають скінченне число розривів першого роду. Наведено розв'язки задач, що є моделями з ідентифікованими параметрами на базі сплайнів, а також оцінки точності даних розв'язків, які свідчать про підвищення ступеня адекватності дискретних моделей реальним коливальним процесам. Удосконалено сплайн-колокаційний метод розв'язання крайових задач шляхом використання побудованих узагальнених базисних L-сплайнів замість поліноміальних сплайнів. Проведено відновлення розв'язку крайових задач на базі майже інтерполяційних L-сплайнів довільної природи, висвітлено проблеми точності одержаного розв'язку математичних моделей. Запропоновано алгоритми пошуку розв'язку моделей, наведено тестові приклади.

  Скачати повний текст

Досліджено точність методів без насичення точності для дискретизації абстрактної задачі Коші. У випадку скінченної гладкості початкового вектора для рівнянь I та II порядків у гільбертовому просторі з самоспряженим додатно визначеним сталим оператором одержано нові інтегральні оцінки швидкості збіжності методу перетворення Келі і доведено їх майже (з точністю до логарифма) непокращуваність за порядком. Показано, що за аналітичного початкового вектора метод перетворення Келі є експоненціально збіжним, а оцінка його точності - непокращуваною за порядком. Побудовано паралельний алгоритм розв'язування задачі Коші для лінійного диференціального рівняння першого порядку зі змінним оператором зі сталою областю визначення. Знайдено апріорні оцінки точності методу, якщо оператор сильно позитивний у банаховім або самоспряжений додатно визначений у гільбертовому просторах. Досліджено стійкість розв'язків та виконано числову реалізацію алгоритму.

  Скачати повний текст

Виявлено подібність, що об'єднує автономні нетерові крайові задачі та неавтономні періодичні крайові задачі в критичному випадку другого порядку. Для знаходження розв'язків періодичної задачі для рівняння Матьє та його власних функцій побудовано комбіновану ітераційну схему з використанням методу простих ітерацій, а також техніки найменших квадратів. На прикладі періодичних задач для рівнянь Матьє, Льєнара та Ван-дер-Поля розглянуто значне зменшення величини нев'язок побудованих розв'язків у порівнянні з традиційним методом простих ітерацій, а також технікою Бубнова - Гальоркіна.

  Скачати повний текст

Автор пропонує та досліджує новий клас різницевих апроксимацій - різницеві оператори Лапласа на неортогональних шаблонах прямокутної сітки. Детально розглянуто два важливі випадки - оператор на неортогональному семиточковому шаблоні на площині та на неортогональному тринадцятиточковому шаблоні у тривимірному просторі. Проведено аналіз спектральних та дисперсійних властивостей цих операторів. Доведено, що дисперсійні властивості різницевих схем на неортогональних шаблонах кращі за дисперсійні властивості звичайних схем на прямокутних сітках. Одержано оцінки точності схем, що використовують неортогональні шаблони, для еліптичних та гіперболічних рівнянь з негладкими розв'язками. Доводиться, що для схеми з оператором на семиточковому шаблоні вибором правої частини можна досягти четвертого порядку апроксимації як для еліптичного, так і для гіперболічного випадку. Запропоновано прямі методи розв'язування схем на неортогональних шаблонах. Показано, що перехід на прямокутну сітку для двовимірного рівняння дозволив збільшити ефективність алгоритмів у два рази, порівняно із трикутною сіткою, причому без погіршення апроксимаційних та дисперсійних властивостей схеми.

  Скачати повний текст

Для звичайних диференціальних рівнянь другого порядку та їх систем з крайовими умовами першого роду побудовано точну триточкову різницеву систему (ППРС). На базі методу монотонних операторів доведено існування та єдність її розв'язку, а також збіжність методу простої ітерації для її розв'язування.

  Скачати повний текст

  Скачати повний текст

Розроблено числово-аналітичні методи дослідження систем звичайних диференціальних рівнянь (ЗДР). Узагальнено аналітичний метод дослідження стійкості за Ляпуновим нульового розв'язку систем ЗДР другого порядку, запропонований D.L. Mingori (1970), який базується на використанні структурних перетворень, що зберігають властивість стійкості за Ляпуновим, з наступним застосуванням теорем Томсона - Тета - Четаєва. Обгрунтовано числово-аналітичний метод (FD-метод) наближеного розв'язання систем нелінійних ЗДР з початковими умовами, що базується на ідеї FD-методу розв'язання операторних рівнянь загального вигляду. Доведено теорему, що містить достатні умови збіжності методу з суперекспоненціальною швидкістю. Запропоновано алгоритм програмної реалізації методу з використання багатопроцесорних систем.

  Скачати повний текст

Дисертацію присвячено побудові нових конструктивних зображень розв'язків для абстрактної задачі Гурса зі змінним, обмеженим операторним коефіцієнтом у гільбертовому просторі та задачі Коші для лінійного гіперболічного рівняння першого порядку зі змінним необмеженим операторним коефіцієнтом у гільбертовому просторі. Встановлено, що для отримання розв'язків вказаних задач використано FD-метод. На підставі зображень точних розв'язків побудовано наближені методи розв'язування задачі Гурса та задачі Коші, одержано апріорні оцінки точності отриманих наближень. Встановлено необхідні та відповідні умови того, щоб розв'язки даних задач були поліномами у разі, що вихідні дані задач (початкові умови та праві частини рівнянь) є поліномами.

  Скачати повний текст