Розглянуті актуальні питання математичного моделювання фізичних процесів у складних областях з тонкими включеннями. Одержані оригінальні узагальнені постановки задач з розривними розв'язками і розривними потоками, показано існування та єдиність узагальнених розв'язків. Запропоновані і теоретично обгрунтовані високоточні схеми методу скінчених елементів для розв'язку задач з розривними розв'язками та розривними потоками. Розглянуті питання програмної реалізації обчислювальних алгоритмів у рамках системи САРПОК і підвищення ефективності систем скінченно-елементного розрахунку розривних полів.

  Скачати повний текст

Дисертація присвячена питанням розробки інформаційної технології комп'ютерної діагностики фізичних полів на основі ймовірнісно-геометричного підходу до моделювання дискретних елементів. Запропоновані нові моделі елементів сирендипової сім'ї, розроблені алгоритми та програмний комплекс, що дозволяє відновлювати фізичні поля за заданими граничними значеннями польової функції, досліджувати інтерполяційні якості дискретних моделей. Основні результати роботи впроваджені в системи автоматизованого проектування для розрахунків скалярних полів.

  Скачати повний текст

Розроблені конструктивні методи та алгоритми моделювання фізико- механічних полів на основі теорії R-функцій та нечіткої логіки, які дозволяють враховувати технічні та технологічні допуски на геометричну та фізичну інформацію, погрішності вимірів, помилки скруглення, та на основі аналізу їх комплексного впливу на розв'язок робити екпертний висновок. Запропоновані моделі фізичних полів, що містять допуски на геометричні та фізичні характеристики за допомогою врахування функції належності величин, що розглядаються, в межах заданих допусків. Методика, що розроблена, дозволяє отримувати допуски на розв'язок за допомогою варіювання цих величин в межах заданих допусків, а потім за допомогою отриманих допусків робити експертний висновок про прийнятність знайденого рішення. Побудовані інтервальні обчислювачі арифметичних операцій з врахуванням помилок округлення, які підвищують ефективність реалізації алгебри диференціальних кортежів, що лежить в основі обчислювального процесу. Досліджені можливості розпаралелювання обчислювального процесу на основі ярусно-паралельних форм. Результати, що отримані, застосовуються для розширення можливостей системи "Поле" на випадки вирішення крайових задач, в постановці яких суттєву роль грають допуски на геометричну та фізичну інформацію, погрішності вимірів та помилки округлення.

  Скачати повний текст

Одержано повну класифікацію (1+3)-вимірних рівнянь Шредінгера з вектор-потенціалом електромагнітного поля, що допускають відокремлення змінних (ВЗ), за результатами якого отримано одне звичайне диференціальне рівняння першого та три рівняння другого порядку. Доведено, що всі отримані вектор-потенціали та системи координат забезпечили ВЗ для (1+3)-вимірних рівнянь Гамільтона - Якобі з вектор-потенціалом і рівнянь Паулі для частинки зі спіном в електромагнітному полі. Отримано нові конфігурації вектора зносів, для яких (1+3)-вимірне рівняння Фоккера - Планка зі сталою діагональною матрицею дифузії допускає ВЗ. Повністю вирішено проблему ВЗ в (1+2)-вимірному рівнянні Крамерса, яке допускає нетривіальну групу симетрій.

  Скачати повний текст

Проведено класифікацію ряду хвильових рівнянь відносно конформних алгебр. Досліджено їх симетрійні властивості. За допомогою інваріантів побудовано анзаци і проведено редукцію даних рівнянь до звичайних диференціальних рівнянь і диференціальних рівнянь у частинних похідних із меншою кількістю змінних. Знайдено нові класи точних розв'язків окремих рівнянь математичної оцінки. Побудовано формули розмноження розв'язків.

  Скачати повний текст

Узагальнено іон-молекулярний підхід у теорії розчинів електролітів для випадку наявності асоціативних іон-іонних, іон-молекулярних і міжмолекулярних взаємодій. Знайдено аналітичний розв'язок асоціативного середньосферичного наближення для іон-дипольної моделі електроліту. Отримано аналітичні вирази для термодинамічних функцій і розраховано фазову діаграму системи рідина - рідина. Досліджено вплив іонної димеризації на можливості міжфазної області на контакті електрод - електроліт. Встановлено, що внаслідок утворення іонних пар діелектрична проникність із зростанням концентрації іонів зменшується повільніше, ніж у розчинах сильних електролітів. Отримані результати використано з метою інтерпретації експериментальних даних для діелектричної проникності водних розчинів електролітів, осмотичного коефіцієнта та молярної провідності електролітів у слабополярних розчинниках, а також для пояснення анамальної температурної залежності ємності подвійного електричного шару.

  Скачати повний текст

  Скачати повний текст

Вивчено нелінійні явища в імунній системі, суттєво віддаленій від стану термодинамічної рівноваги. Запропоновано математичну модель імунного відгуку, яку задано 12-ма нелінійними звичайними диференціальними рівняннями, два з яких є інтегралами руху, що знижує розмірність системи до 10-ти. Серед великої множини режимів функціонування біосистеми на підставі відбору параметрів виділено такі, що на фазовому просторі динамічної системи забезпечують інваріанти найкращого виживання (стійкі динамічні структури), здійснюють гомеостаз спряжених процесів в системі імунного відгуку. За таких режимів визначено роль підсистем, компонент підсистем, кооперації та взаємоузгодженості підсистем в організації імунного відгуку. Вивчено залежність кінетики від параметрів. Особливу увагу приділено дослідженню фазових портретів системи та їх характеристик: знаходженню точок біфуркації, визначенню типів атракторів, розрахунку їх періодів та інтервалів структурної стійкості, дослідженню хаотичних станів, що дозволяє проектувати оптимальні режими та передбачати шляхи стабільності та виживання авторегульованих або самоорганізуючих систем.

  Скачати повний текст

Досліджено модель дифузії з тензором її коефіцієнтів, що вироджується на множині асимптотично повної міри. Вивчено асимптотичну поведінку розв'язків відповідної початково-крайової задачі та показано, що головний член асимптотик описується усередненою моделлю з пам'яттю. Вивчено початково-крайову задачу для рівняння реакції-дифузії з коефіцієнтом дифузії, що асимптотично вироджується на <$Eepsilon>-періодичній множині. Знайдено усереднену двомасштабну модель, що описує асимптотичну поведінку розв'язків цієї задачі, коли <$Eepsilon ~ symbol О ~0>. Досліджено спектральну та нестаціонарну моделі коливань пружних середовищ з великим числом важких абсолютно твердих включень. Для спектральної моделі знайдено усереднену спектральну задачу для дрібно-раціонального операторного пучка, яка асимптотично описує глобальні коливання, що збуджують все середовище. Показано, що існують також локальні коливання, зосереджені в околі включень, вони відповідають власним значенням, які нагромаджуються в полюсах пучка. Для нестаціонарної моделі знайдено усереднену задачу, що є нелокальною за часом. Доведено теореми збіжності.

  Скачати повний текст

Системно проаналізовано проблему розробки систем управління, заснованих на явищах параметричного резонансу та дослідження генерації магнітного поля, які мають місце у рідких ядрах планет завдяки механізму припливного гальмування. Використано математичні методи асимптотичного аналізу в теорії коливань та магнітогідродинаміці. Запропоновано новий високоефективний метод резонансної динамічної стабілізації рівноваги в околі максимуму потенціальної енергії. Його рекомендовано для стабілізації жолобкових плазмових нестійкостей та інших збурень. Розглянуто узагальнений підхід до управління параметричними резонансними процесами в коливальних системах з багатьма ступенями вільності. Запропоновано метод селективного управління дрейфом заряджених частинок у замагніченій плазмі та керованого переносу енергії в термодинамічних системах. Побудовано математичні моделі кінематичного гідромагнітного динамо для плоскої течії Куетта та для диференціального обертання сферичного рідкого ядра Землі. Оцінено порогові величини магнітного числа Рейнольдса з урахуванням непровідності обмежувальних оболонок. Наведено епюри магнітних полів і струмів. Одержані результати підтверджують гіпотезу припливного механізму енергетичного приводу планетарного динамо.

  Скачати повний текст

Досліджено галілеївську інваріантність циліндрично-симетричного рівняння Шредінгера з нелінійною правою частиною. У випадку довільної степеневої нелінійності симетрійні властивості даного рівняння застосовано для побудови анзаців, редукції та знаходження точних розв'язків. Побудовано формули розмноження розв'язків цього рівняння. Проведено симетрійну класифікацію узагальненого рівняння Шредінгера з деривативною нелінійністю відносно алгебр Галілея. У разі конкретної нелінійності дане рівняння редуковане до рівняння з меншою кількістю незалежних змінних. Досліджено Q-умовну симетрію рівняння Шредінгера з деривативною нелінійністю відносно інволютивної множини двох операторів. Одержані результати використано для побудови точних зв'язків. Проведено класифікацію систем рівнянь конвекції - дифузії, інваріантних відносно алгебри Галілея та її розширень операторами масштабних та проективних перетворень. Проведено редукцію системи рівнянь конвекції - дифузії з логарифмічною нелінійністю. На підставі результатів проведених досліджень розглянуто модифіковану систему рівнянь Нав'є - Стокса. Досліджено її симетрійні властивості, використані для редукції, знаходження точних розв'язків та побудови формул розмноження розв'язків цієї системи. Побудовано клас важливих з точки зору фізики математичних моделей, що задовольняють принцип відносності Галілея: циліндрично-симетричне рівняння Шредінгера, рівняння Шредінгера з деривативною нелінійністю, систему рівнянь Гамільтона - Якобі, конвекції - дифузії, модифіковану систему рівнянь Нав'є - Стокса. З використанням симетрійних властивостей одержано класи точних розв'язків цих рівнянь. Зазначено, що дані розв'язки можуть бути застосовані у процесі вивчення конкретних фізичних процесів.

  Скачати повний текст

Досліджено інваріантність сумарної алгебраїчної кратності додатного спектра поліноміальної операторної в'язки симетричних операторів відносно збурень симетричними операторами, а також інваріантність відносно певного класу збурень сумарної алгебраїчної кратності спектра квадратичної операторної в'язки у правій півплощині для в'язок, що виникають у задачах механіки з гіроскопічними силами. Вивчено асимптотики спектрів малих коливань гладких неоднорідних струн, демпфірованих на одному кінці та в середині. Розв'язано обернені задачі Штурма - Ліувілля з крайовими умовами та (або) потенціалом, що залежать від спектрального параметра та обернених задач знаходження густини неоднорідної демпфованої струни за різних умов демпфування. Досліджено єдність розв'язків таких обернених задач. Проаналізовано спектр задачі Штурма - Ліувілля на компактному зіркоподібному графі за спектром такої задачі та спектрами допоміжних задач. Вивчено властивості функції Йоста задачі Штурма - Ліувілля на некомпактному петлеподібному графі та розв'язано обернену задачу відновлення потенціалу задачі Штурма - Ліувілля на некомпактному петлеподібному графі за функцією Йоста. Розв'язано пряму та обернену задачі для рівняння Шредінгера за всією віссю з потенціалом, лінійно залежним від спектрального параметра. Вивчено спектр малих поперечних коливань демпфованого в'язко-пружного стержня, а також пружної півсмуги.

  Скачати повний текст

Запропоновано новий підхід для обчислення термодинамічного потенціалу, який полягає у зведенні відповідного негауссівського функціонального інтеграла до гауссівської форми з перенормованою кореляційною функцією "густина - густина". Показано, що в такому підході для розрахунку цього потенціалу достатньо знати ефективний потенціал міжелектронної взаємодії. У цьому ж підході знайдено загальний вираз для s-частинкової функції розподілу електронів. Розраховано унарну та бінарну функції розподілу електронів у випадку моделювання поверхневого потенціалу потенціальною сходинкою. На їх основі проведено розрахунок поверхневих характеристик напівобмеженого металу: дипольного бар'єра та поверхневої енергії.

  Скачати повний текст

Базуючись на теорії операторних блок-матриць, що діють у гільбертових просторах, розроблено підхід, який дозволяє на основі вихідних початково-крайових задач для стратифікованих рідин розв'язувати рівнозначні задач Коші для диференціально-операторного рівняння у гільбертовому просторі. Вивчено задачу про малі рухи та нормальні коливання в'язкої стратифікованої рідини, що частково заповнює нерухому посудину, щільність якої у стані рівноваги має стійку стратифікацію, а також її узагальнення для випадку рівномірно обертової посудини. Одержано умови, за яких існують сильні за часом розв'язки відповідних початково-крайових задач, а також дані про структуру спектра та властивості кореневих функцій. Визначено асимптотичні формули для віток власних значень. Досліджено задачу про малі рухи та нормальні коливання частково дисипативної гідросистеми з двох важких рідин, що не зменшуються та частково заповнюють довільну посудину за умов, якщо нижньою, стосовно дії сили ваги є в'язка стратифікована рідина, а верхня - стратифікована ідеальна рідина. Доведено теорему про сильну розв'язність відповідної початково-крайової задачі. Наведено асимптотичні формули для трьох гілок власних значень.

  Скачати повний текст

Запропоновано новий підхід для знаходження законів збереження. Сформульовано поняття еквівалентності законів збереження відносно локальної групи перетворень. Обгрунтовано значення локальної залежності потенціалів. Класифіковано локальні закони збереження для класу рівнянь конвекції-дифузії, знайдено всі потенціальні закони збереження та побудовано нееквівалентні потенціальні системи. Знайдено потенціальні перетворення еквівалентності та потенціальні симетрії, досліджено зв'язок між потенціальними та класичними симетріями за допомогою потенціальних перетворень еквівалентності. Проведено групову класифікацію рівнянь конвекції-дифузії зі змінними коефіцієнтами. Для деяких підкласів побудовано точні інваріантні рішення. Розв'язано задачі групової класифікації нелінійних рівнянь Шрьодінгера з потенціалом. Знайдено достатні умови існування та єдності розв'язку задачі Коші для деяких підкласів даних рівнянь.

  Скачати повний текст

Розглянуто асимптотичну поведінку гармонічних 1-форм на ріманових поверхнях, коли їх рід зростає. Одержано усереднену модель, що суттєво відрізняється від вихідної. Вивчено асимптотичну поведінку гармонічних 1-форм на 4-вимірних псевдоріманових многовидах, що мають складну мікроструктуру. Одержано рівняння, що описують головний член асимптотик. Наведено усереднену задачу Коші для хвильового рівняння. Висвітлено асимптотичну поведінку розв'язків задачі Коші для однорідної системи рівнянь Максвелла на 4-вимірних многовидах спеціальної структури. Доведено, що густина електричного заряду з'являється в системі рівнянь Максвелла внаслідок усереднення.

  Скачати повний текст

Одержано системи рекурентних співвідношень, які дозволяють знайти межові моменти й умови на моменти ваги, достатні для виконання умови єдиності відновлювання межової міри, для ансамблів випадкових зважених матриць суміжності, операторів Лапласа на випадкових графах з випадковою вагою, спрощених регуляризованих матриць перехідних ймовірностей випадкових графів. Одержано систему співвідношень, яка дозволяє знайти головні члени асимптотики кореляторів моментів ансамблю випадкових зважених матриць суміжності. Доведено слабку збіжність за ймовірністю нормованих рахуючих мір та знайдено межове перетворення Стілтьєса для ансамблів випадкових зважених матриць суміжності, операторів Лапласа на випадкових графах з випадковою вагою, регуляризованих матриць перехідних ймовірностей випадкових графів.

  Скачати повний текст

Розв'язано задачу групової класифікації (1 + 1)-вимірних рівнянь реакції-дифузії зі змінними коефіцієнтами та степеневими нелінійностями відносно узагальненої розширеної групи еквівалентності та множини всіх допустимих перетворень цього класу. За одержаними симетріями з використанням методу редукції побудовано нові точні розв'язки. Класифіковано локальні закони збереження у цьому класі. Виконано вичерпну групову класифікацію (1 + 1)-вимірних нелінійних рівннь дифузії між пластинами. Знайдено локальні закони збереження, додаткові перевторення еквівалентності та точні розв'язки рівнянь з цього класу. Досліджено потенціальні некласичні симетрії (1 + 1)-вимірного рівняння швидкої дифузії. Знайдено нові широкі класи потенціальних некласичних симетрій рівняння швидкої дифузії. Показано, що всі відомі неліївські розв'язки рівняння швидкої дифузії вичерпуються розв'язками, які можна побудувати редукцією за одержаними операторами потенціальної некласичної геометрії. Виконано класифікацію некласичних симетрій у класі (1 + 1)-вимірних рівнянь фільтрації з довільною нелінійністю.

  Скачати повний текст

Доведено існування розв'язків, представлених методом нерівноважних кластерних розкладів, рівнянь Боголюбова для несиметричних одновимірних багаточастинкових динамічних систем. Удосконалено методи оцінок об'єму області взаємодії частинок і доведено існування слабкого глобального за часом розв'язку в кумулянтному представленні початкової задачі для ланцюжка рівнянь Боголюбова нескінченної одновимірної несиметричної системи частинок, що взаємодіють через потенціал скінченного радіусу дії з твердою серцевиною з початковими даними - локально збуреними рівноважними функціями розподілу у просторі послідовностей обмежених функцій. Запропоновано новий метод оцінки та доведено існування глобального за часом розв'язку у формі ряду ітерацій задачі Коші для ланцюжка рівнянь Боголюбова нескінченної одновимірної несиметричної системи частинок, що взаємодіють як пружні кулі (стрижні) для довільних початкових даних з простору послідовностей обмежених функцій. Доведено існування сильного глобального за часом розв'язку у кумулянтному представленні задачі Коші для ланцюжка рівнянь Боголюбова одновимірної несиметричної системи багатьох частинок, що взаємодіють як пружні кулі (стрижні), з початковими даними, що задовольняють умові хаосу в просторі сумованих функцій. Дану початкову задачу зведено до відповідної початкової задачі для узагальненого кінетичного рівняння. Вперше одержано узагальнене кінетичне рівняння для несиметричних систем.

  Скачати повний текст

Досліджено систему термопружності Міндліна - Тимошенка з різними законами розповсюдження тепла. Доведено, що системи з класичним законом та пам'яттю мають компактні глобальні атрактори скінченної фрактальної вимірності. Доведено, що сім'я атракторів задачі Міндліна - Тимошенка з класичним законом розповсюдження тепла є напівнеперервною зверху на нескінченності та за додаткових умов у нулі. Для задачі з пам'яттю та другим звуком доведено верхню напівнеперервність атрактора за параметром релаксації. Розглянуто абстрактну задачу для пов'язаних нелінійних параболіко-гіперболічних диференціальних рівнянь з частинними похідними, яка описує, зокрема, задачі Міндліна - Тимошенка. Доведено існування експоненціально притягуючого інваріантного багатовиду динамічної системи, породженої цією задачею.

  Скачати повний текст