Системно проаналізовано проблему розробки систем управління, заснованих на явищах параметричного резонансу та дослідження генерації магнітного поля, які мають місце у рідких ядрах планет завдяки механізму припливного гальмування. Використано математичні методи асимптотичного аналізу в теорії коливань та магнітогідродинаміці. Запропоновано новий високоефективний метод резонансної динамічної стабілізації рівноваги в околі максимуму потенціальної енергії. Його рекомендовано для стабілізації жолобкових плазмових нестійкостей та інших збурень. Розглянуто узагальнений підхід до управління параметричними резонансними процесами в коливальних системах з багатьма ступенями вільності. Запропоновано метод селективного управління дрейфом заряджених частинок у замагніченій плазмі та керованого переносу енергії в термодинамічних системах. Побудовано математичні моделі кінематичного гідромагнітного динамо для плоскої течії Куетта та для диференціального обертання сферичного рідкого ядра Землі. Оцінено порогові величини магнітного числа Рейнольдса з урахуванням непровідності обмежувальних оболонок. Наведено епюри магнітних полів і струмів. Одержані результати підтверджують гіпотезу припливного механізму енергетичного приводу планетарного динамо.

  Скачати повний текст

Досліджено систему термопружності Міндліна - Тимошенка з різними законами розповсюдження тепла. Доведено, що системи з класичним законом та пам'яттю мають компактні глобальні атрактори скінченної фрактальної вимірності. Доведено, що сім'я атракторів задачі Міндліна - Тимошенка з класичним законом розповсюдження тепла є напівнеперервною зверху на нескінченності та за додаткових умов у нулі. Для задачі з пам'яттю та другим звуком доведено верхню напівнеперервність атрактора за параметром релаксації. Розглянуто абстрактну задачу для пов'язаних нелінійних параболіко-гіперболічних диференціальних рівнянь з частинними похідними, яка описує, зокрема, задачі Міндліна - Тимошенка. Доведено існування експоненціально притягуючого інваріантного багатовиду динамічної системи, породженої цією задачею.

  Скачати повний текст

Одержано системи рекурентних співвідношень, які дозволяють знайти межові моменти й умови на моменти ваги, достатні для виконання умови єдиності відновлювання межової міри, для ансамблів випадкових зважених матриць суміжності, операторів Лапласа на випадкових графах з випадковою вагою, спрощених регуляризованих матриць перехідних ймовірностей випадкових графів. Одержано систему співвідношень, яка дозволяє знайти головні члени асимптотики кореляторів моментів ансамблю випадкових зважених матриць суміжності. Доведено слабку збіжність за ймовірністю нормованих рахуючих мір та знайдено межове перетворення Стілтьєса для ансамблів випадкових зважених матриць суміжності, операторів Лапласа на випадкових графах з випадковою вагою, регуляризованих матриць перехідних ймовірностей випадкових графів.

  Скачати повний текст

  Скачати повний текст

Узагальнено іон-молекулярний підхід у теорії розчинів електролітів для випадку наявності асоціативних іон-іонних, іон-молекулярних і міжмолекулярних взаємодій. Знайдено аналітичний розв'язок асоціативного середньосферичного наближення для іон-дипольної моделі електроліту. Отримано аналітичні вирази для термодинамічних функцій і розраховано фазову діаграму системи рідина - рідина. Досліджено вплив іонної димеризації на можливості міжфазної області на контакті електрод - електроліт. Встановлено, що внаслідок утворення іонних пар діелектрична проникність із зростанням концентрації іонів зменшується повільніше, ніж у розчинах сильних електролітів. Отримані результати використано з метою інтерпретації експериментальних даних для діелектричної проникності водних розчинів електролітів, осмотичного коефіцієнта та молярної провідності електролітів у слабополярних розчинниках, а також для пояснення анамальної температурної залежності ємності подвійного електричного шару.

  Скачати повний текст

Розв'язано задачу групової класифікації (1 + 1)-вимірних рівнянь реакції-дифузії зі змінними коефіцієнтами та степеневими нелінійностями відносно узагальненої розширеної групи еквівалентності та множини всіх допустимих перетворень цього класу. За одержаними симетріями з використанням методу редукції побудовано нові точні розв'язки. Класифіковано локальні закони збереження у цьому класі. Виконано вичерпну групову класифікацію (1 + 1)-вимірних нелінійних рівннь дифузії між пластинами. Знайдено локальні закони збереження, додаткові перевторення еквівалентності та точні розв'язки рівнянь з цього класу. Досліджено потенціальні некласичні симетрії (1 + 1)-вимірного рівняння швидкої дифузії. Знайдено нові широкі класи потенціальних некласичних симетрій рівняння швидкої дифузії. Показано, що всі відомі неліївські розв'язки рівняння швидкої дифузії вичерпуються розв'язками, які можна побудувати редукцією за одержаними операторами потенціальної некласичної геометрії. Виконано класифікацію некласичних симетрій у класі (1 + 1)-вимірних рівнянь фільтрації з довільною нелінійністю.

  Скачати повний текст

Запропоновано новий підхід для знаходження законів збереження. Сформульовано поняття еквівалентності законів збереження відносно локальної групи перетворень. Обгрунтовано значення локальної залежності потенціалів. Класифіковано локальні закони збереження для класу рівнянь конвекції-дифузії, знайдено всі потенціальні закони збереження та побудовано нееквівалентні потенціальні системи. Знайдено потенціальні перетворення еквівалентності та потенціальні симетрії, досліджено зв'язок між потенціальними та класичними симетріями за допомогою потенціальних перетворень еквівалентності. Проведено групову класифікацію рівнянь конвекції-дифузії зі змінними коефіцієнтами. Для деяких підкласів побудовано точні інваріантні рішення. Розв'язано задачі групової класифікації нелінійних рівнянь Шрьодінгера з потенціалом. Знайдено достатні умови існування та єдності розв'язку задачі Коші для деяких підкласів даних рівнянь.

  Скачати повний текст

Базуючись на теорії операторних блок-матриць, що діють у гільбертових просторах, розроблено підхід, який дозволяє на основі вихідних початково-крайових задач для стратифікованих рідин розв'язувати рівнозначні задач Коші для диференціально-операторного рівняння у гільбертовому просторі. Вивчено задачу про малі рухи та нормальні коливання в'язкої стратифікованої рідини, що частково заповнює нерухому посудину, щільність якої у стані рівноваги має стійку стратифікацію, а також її узагальнення для випадку рівномірно обертової посудини. Одержано умови, за яких існують сильні за часом розв'язки відповідних початково-крайових задач, а також дані про структуру спектра та властивості кореневих функцій. Визначено асимптотичні формули для віток власних значень. Досліджено задачу про малі рухи та нормальні коливання частково дисипативної гідросистеми з двох важких рідин, що не зменшуються та частково заповнюють довільну посудину за умов, якщо нижньою, стосовно дії сили ваги є в'язка стратифікована рідина, а верхня - стратифікована ідеальна рідина. Доведено теорему про сильну розв'язність відповідної початково-крайової задачі. Наведено асимптотичні формули для трьох гілок власних значень.

  Скачати повний текст

Вивчено початково-крайові задачі на скінченному інтервалі та на півосі для інтегровних за П. Лаксом рівнянь стимульованого раманівського розсіяння. Вперше за допомогою операторів перетворення запропоновано конструкцію узагальнених матричних власних функцій сумісних рівнянь пари Лакса. Проведено аналіз аналітичних властивостей даних власних функцій, одержано співвідношення між ними, відповідні спектральні функції й описано їх властивості. Встановлено формули для розв'язків початково-крайових задач через розв'язки відповідних їм матричних задач Рімана-Гільберта. Доведено розв'язність матричних задач Рімана-Гільберта. Одержано явні формули для опису асимптотичної поведінки розв'язку вихідної початково-крайової задачі у різних областях фазової площини.

  Скачати повний текст

Доведено існування розв'язків, представлених методом нерівноважних кластерних розкладів, рівнянь Боголюбова для несиметричних одновимірних багаточастинкових динамічних систем. Удосконалено методи оцінок об'єму області взаємодії частинок і доведено існування слабкого глобального за часом розв'язку в кумулянтному представленні початкової задачі для ланцюжка рівнянь Боголюбова нескінченної одновимірної несиметричної системи частинок, що взаємодіють через потенціал скінченного радіусу дії з твердою серцевиною з початковими даними - локально збуреними рівноважними функціями розподілу у просторі послідовностей обмежених функцій. Запропоновано новий метод оцінки та доведено існування глобального за часом розв'язку у формі ряду ітерацій задачі Коші для ланцюжка рівнянь Боголюбова нескінченної одновимірної несиметричної системи частинок, що взаємодіють як пружні кулі (стрижні) для довільних початкових даних з простору послідовностей обмежених функцій. Доведено існування сильного глобального за часом розв'язку у кумулянтному представленні задачі Коші для ланцюжка рівнянь Боголюбова одновимірної несиметричної системи багатьох частинок, що взаємодіють як пружні кулі (стрижні), з початковими даними, що задовольняють умові хаосу в просторі сумованих функцій. Дану початкову задачу зведено до відповідної початкової задачі для узагальненого кінетичного рівняння. Вперше одержано узагальнене кінетичне рівняння для несиметричних систем.

  Скачати повний текст

Побудовано теорію розсіювання для одновимірного оператора Шрьодінгера й оператора Якобі із коефіцієнтами, що мають різні скінченнозонні фонові асимтотики на півосях. Одержано характеристичні властивості даних розсіювання, що дозволили розв'язати пряму й обернену задачі розсіювання у класі збурень із заданою гладкістю та заданою кількістю скінченних моментів. Результати застосовані для розв'язання методом оберненої задачі розсіювання задач Коші для рівнянь КдФ, мКдФ та ієрархії Тоди із асимтотично скінченнозонними початковими умовами типу сходинки. Одержано точні асимптотичні формули, що описують поведінку розв'язку ланцюжка Тода з початковими умовами типу сходинки за великим часом (розпад розв'язку на асимп-тотичний ряд солітонів). Зінтегровано рівняння КдФ і дефокусуюче НШ у класах майже періодичних функцій, що мають заданий спектр канторівського типу. Доведено, що ці розв'язки є рівномірними майже періодичними функціями за часом. Методами теорії розсіювання досліджено деякі властивості дискретного спектру комплексних матриць Якобі.

  Скачати повний текст

Вивчено нелінійні явища в імунній системі, суттєво віддаленій від стану термодинамічної рівноваги. Запропоновано математичну модель імунного відгуку, яку задано 12-ма нелінійними звичайними диференціальними рівняннями, два з яких є інтегралами руху, що знижує розмірність системи до 10-ти. Серед великої множини режимів функціонування біосистеми на підставі відбору параметрів виділено такі, що на фазовому просторі динамічної системи забезпечують інваріанти найкращого виживання (стійкі динамічні структури), здійснюють гомеостаз спряжених процесів в системі імунного відгуку. За таких режимів визначено роль підсистем, компонент підсистем, кооперації та взаємоузгодженості підсистем в організації імунного відгуку. Вивчено залежність кінетики від параметрів. Особливу увагу приділено дослідженню фазових портретів системи та їх характеристик: знаходженню точок біфуркації, визначенню типів атракторів, розрахунку їх періодів та інтервалів структурної стійкості, дослідженню хаотичних станів, що дозволяє проектувати оптимальні режими та передбачати шляхи стабільності та виживання авторегульованих або самоорганізуючих систем.

  Скачати повний текст

Запропоновано нові узагальнені феноменологічні співвідношення високого порядку для середовищ з часовою та просторовою нелокальностями поблизу локальної рівноваги. Вперше для середовищ із часовою та просторовою нелокальностями аналітично одержано нелінійні динамічні рівняння стану різних порядків і зроблено їх узагальнення. Досліджено розповсюдження акустичних хвиль у нелінійному середовищі з часовою та просторовою нелокальностями та знайдено асимптотичний розклад поля швидкостей у випадку вимушених нерезонансних коливань. Вперше для середовищ з часовою нелокальністю одержано нелінійне узагальнене рівняння еволюції малого збурення.

  Скачати повний текст

Розв'язано обернені задачі розсіяння для операторів Шредінгера з неермітовими, зокрема трикутними, матричними потенціалами на півосі та на осі. Для систем з трикутними матричними потенціалами, дійсними на діагоналі та без віртуального рівня, визначено необхідні та достатні (для осі - з невеликою відмінністю) умови для того, щоб задані величини були даними розсіяння розглянутих задач. Установлено, зокрема, властивості нормувальних поліномів даних задач розсіяння. Для матричних потенціалів введено нове поняття фазової еквівалентності у кількох варіантах, а саме: фазова напівеквівалентність, фазова тильда-напівеквівалентність і фазова еквівалентність. Завдяки введенню понять і одержанню для них результатів розширено теорему Марченка - Аграновича про характеристичні властивості даних розсіяння для систем з ермітовим матричним потенціалом на характеристичні властивості даних розсіяння для введених класів неермітових задач. Визначено умови щодо припустимих, зокрема неермітових, збурень нормувальних матриць, які не виводять з класу задач з матричними потенціалами, фазово-еквівалентними одному й тому ж ермітовому потенціалу.

  Скачати повний текст

Досліджено умови формування дисипативних структур, переходу до хаотичного режиму у складних динамічнмх системах. Проаналізовано мультифакторні властивості складних статистичних систем і виявлено умови структуроутворення в розподілених стохастичних системах. Установлено, що в моделях напівкласичних оптично-бістабільних систем достатньою умовою стійкого періодичного випромінювання є наявність нелінійного пропускного фільтра. Показано, що перехід до хаотичного режиму відбувається або за сценарієм подвоєння періоду, або внаслідок реалізації стохастичного шару. Для складних статистичних систем з самоподібним фазовим простором знайдено зв'язок між їх термодинамічними характеристиками та мультифрактальними функціями. Проаналізовано розподілені стохастичні системи з залежним від поля кінетичним коефіцієнтом і показано, що внутрішній шум дестабілізує невпорядкований стан на ранніх стадіях, у стаціонарному випадку - стабілізує. Досліджено властивості відповідних просторових структур. Зростання інтенсивності шуму призводить до фазових переходів другого роду та некритичних переходів.

  Скачати повний текст

Досліджено прямі й обернені спектральні задачі, породжені рівнянням амплітудного вектора стільтьєсівської струни, тобто пружної невагомої нитки, що несе скінчену кількість зосереджених мас. Розглянуто випадки відсутності в'язкого тертя, яким відповідають самоспряжені крайові умови Діріхле та Неймана, а також випадки присутності точкового в'язкого тертя на одному кінці струни або в проміжній точці. Досліджено випадок, коли стільтьєсівські струни утворюють зірковий граф, виявлено умови на послідовність комплексних чисел, необхідні та достатні для того, щоб вона була спектром крайової задачі для стільтьєсівської струни з точковим в'язким тертям на одному з кінців, а також в проміжній точці. Запропоновано методи знаходження величин зосереджених мас, а також інтервалів між ними та коефіцієнта в'язкого тертя за спектром і загальною довжиною струни. Досліджено єдність розв'язку таких обернених задач, а також розв'язано обернену задачу для зіркового графу, який складається з стільтьєсівських струн.

  Скачати повний текст

Досліджено інваріантність сумарної алгебраїчної кратності додатного спектра поліноміальної операторної в'язки симетричних операторів відносно збурень симетричними операторами, а також інваріантність відносно певного класу збурень сумарної алгебраїчної кратності спектра квадратичної операторної в'язки у правій півплощині для в'язок, що виникають у задачах механіки з гіроскопічними силами. Вивчено асимптотики спектрів малих коливань гладких неоднорідних струн, демпфірованих на одному кінці та в середині. Розв'язано обернені задачі Штурма - Ліувілля з крайовими умовами та (або) потенціалом, що залежать від спектрального параметра та обернених задач знаходження густини неоднорідної демпфованої струни за різних умов демпфування. Досліджено єдність розв'язків таких обернених задач. Проаналізовано спектр задачі Штурма - Ліувілля на компактному зіркоподібному графі за спектром такої задачі та спектрами допоміжних задач. Вивчено властивості функції Йоста задачі Штурма - Ліувілля на некомпактному петлеподібному графі та розв'язано обернену задачу відновлення потенціалу задачі Штурма - Ліувілля на некомпактному петлеподібному графі за функцією Йоста. Розв'язано пряму та обернену задачі для рівняння Шредінгера за всією віссю з потенціалом, лінійно залежним від спектрального параметра. Вивчено спектр малих поперечних коливань демпфованого в'язко-пружного стержня, а також пружної півсмуги.

  Скачати повний текст

Досліджено галілеївську інваріантність циліндрично-симетричного рівняння Шредінгера з нелінійною правою частиною. У випадку довільної степеневої нелінійності симетрійні властивості даного рівняння застосовано для побудови анзаців, редукції та знаходження точних розв'язків. Побудовано формули розмноження розв'язків цього рівняння. Проведено симетрійну класифікацію узагальненого рівняння Шредінгера з деривативною нелінійністю відносно алгебр Галілея. У разі конкретної нелінійності дане рівняння редуковане до рівняння з меншою кількістю незалежних змінних. Досліджено Q-умовну симетрію рівняння Шредінгера з деривативною нелінійністю відносно інволютивної множини двох операторів. Одержані результати використано для побудови точних зв'язків. Проведено класифікацію систем рівнянь конвекції - дифузії, інваріантних відносно алгебри Галілея та її розширень операторами масштабних та проективних перетворень. Проведено редукцію системи рівнянь конвекції - дифузії з логарифмічною нелінійністю. На підставі результатів проведених досліджень розглянуто модифіковану систему рівнянь Нав'є - Стокса. Досліджено її симетрійні властивості, використані для редукції, знаходження точних розв'язків та побудови формул розмноження розв'язків цієї системи. Побудовано клас важливих з точки зору фізики математичних моделей, що задовольняють принцип відносності Галілея: циліндрично-симетричне рівняння Шредінгера, рівняння Шредінгера з деривативною нелінійністю, систему рівнянь Гамільтона - Якобі, конвекції - дифузії, модифіковану систему рівнянь Нав'є - Стокса. З використанням симетрійних властивостей одержано класи точних розв'язків цих рівнянь. Зазначено, що дані розв'язки можуть бути застосовані у процесі вивчення конкретних фізичних процесів.

  Скачати повний текст

Одержано повну класифікацію (1+3)-вимірних рівнянь Шредінгера з вектор-потенціалом електромагнітного поля, що допускають відокремлення змінних (ВЗ), за результатами якого отримано одне звичайне диференціальне рівняння першого та три рівняння другого порядку. Доведено, що всі отримані вектор-потенціали та системи координат забезпечили ВЗ для (1+3)-вимірних рівнянь Гамільтона - Якобі з вектор-потенціалом і рівнянь Паулі для частинки зі спіном в електромагнітному полі. Отримано нові конфігурації вектора зносів, для яких (1+3)-вимірне рівняння Фоккера - Планка зі сталою діагональною матрицею дифузії допускає ВЗ. Повністю вирішено проблему ВЗ в (1+2)-вимірному рівнянні Крамерса, яке допускає нетривіальну групу симетрій.

  Скачати повний текст

Проведено теоретичний аналіз явищ аномальної дифузії надповільної релаксації та переносу у сильнонерівноважних системах, які описуються за допомогою дробової похідної у часі. Побудовано лінійну теорію субдифузії у середовищах з пастками, одне з застосувань якої присвячене випадковим блуканням магнітних яскравих цяток у фотосфері Сонця. Запропоновано ймовірнісну інтерпретацію дробової похідної у часі. Показано, що часова субординація початкового, експоненціально спадаючого стану встановлює зв'язок з емпіричними законами надповільної релаксації. Введено та досліджено дробові коливання та їх опис дробовими рівняннями. Створено основи теорії нелінійних дробових систем у хаотичному стані. Встановлено, що дискретний аналог дробового рівняння може бути застосовано до опису часового ряду рентгенівського випромінювання Сонця під час високої сонячної активності.

  Скачати повний текст