Вивчено асимптотичну поведінку власних значень та власних підрозділів операторів Шредінгера зі сингулярними потенціалами на некомпактних зіркових графах. Одержано асимптотику коефіцієнтів розсіяння на сингулярних потенціалах, що локалізуються у вершинах графа. Як у випадку прямої, так і у випадку графів виявлено явище резонансу для межової поведінки спектра та коефіцієнтів розсіяння.

  Скачати повний текст

Вперше вивчено питання використання теплових моментів у ролі крайових умов та умов перевизначення. Доведено, що теплові моменти можна використовувати як джерело додаткової інформації під час визначення декількох параметрів теплового процесу. Виявлено умови існування та єдності розв'язку наступних задач: обернених задач визначення старшого коефіцієнта, коефіцієнта при невідомій функції та множника у вільному члені рівняння; обернених задач одночасної ідентифікації старшого коефіцієнта та коефіцієнта при молодшій похідній; обернених задач знаходження коефіцієнта температуропровідності у вигляді функції, що містить два невідомі залежні від часу коефіцієнти, коли залежність від x задана. Зазначено, що питання єдності розв'язку відповідних обернених задач встановлюється незалежно від питання існування розв'язку та зводиться до дослідження обернених задач визначення невідомого джерела в параболічному рівнянні з використанням властивостей теплових потенціалів і систем інтегральних рівнянь Вольтерра другого роду. Встановлено, що умови єдності роз'язку відповідних обернених задач складають лише одну з умов, потрібних для існування розв'язку.

  Скачати повний текст

Установлено умови коректної розв'язності n-точкової задачі з двома кратними вузлами інтерполяції для лінійних диференціальних рівнянь зі сталими коефіцієнтами та псевдодиференціальних рівнянь з змінними за t коефіцієнтами. Доведено, що ці умови виконуються для довільного наперед заданого рівняння і майже всіх (стосовно міри Леберга) значень вузлів інтерполяції. Для випадку багатьох змінних для диференціальних рівнянь з частинними похідними зі сталими коефіцієнтами, які мають певні діофантові властивості, установлено однозначну розв'язність багатоточкової задачі з кратними вузлами інтерполяції для майже всіх (стосовно міри Леберга) векторів, компонентами яких є вузли інтерполяції. Визначено умови коректної розв'язності багатоточкової задачі з простими вузлами інтерполяції для лінійних систем рівнянь зі сталими коефіцієнтами довільного порядку та довільного розміру. Доведено метричні теореми про оцінки знизу малих знаменників, що виникають під час побудови розв'язку задачі.

  Скачати повний текст

Розглянуто питання поведінки власних значень та власних функцій задачі Діріхле для лінійних рівнянь другого та високого порядків і нелінійного рівняння другого порядку в послідовності перфорованих областей з неперіодичною структурою. Вивчено характер збіжності власних функцій задачі Діріхле для лінійного рівняння другого порядку в послідовності областей з дрібнозернистою межею до відповідних власних функцій граничної задачі. Досліджено збіжність власних значень і власних функцій задачі Діріхле для лінійного рівняння високого порядку в послідовності перфорованих областей загальної структури до відповідних власних значень і власних функцій усередненої задачі з мірою. Висвітлено проблему усереднення задачі Діріхле на власні значення для нелінійних рівнянь другого порядку в послідовності областей з дрібнозернистою межею.

  Скачати повний текст

  Скачати повний текст

  Скачати повний текст

Наведено результати дослідження для класу операторів Штурма -Ліувілля на півосі з нелокальною граничною умовою та експоненційноспадним комплексно-значним потеціалом. Запропоновано критерій скінченності множини власних значень і спектральних особливостей, а також необхідні і достатні умови розв'язності у випадках, коли спектральний параметр співпадає зі спектральною особливістю. Надано двосторонні оцінки для значень експоненційної функції операторів та її норми, оцінки розв'язків відповідних еволюційних рівнянь. Доведено, що для операторів продовження резольвенти з точністю до одновимірного доданку є псевдорезольвентною в деякому банаховому просторі. Одержано подібність операторів, які мають однакові (з кратностями) набори спектральних особливостей. Розв'язано рівняння теплопровідності на півосі, що зберігають просторову асимптотику.

  Скачати повний текст

Встановлено, що найширшу симетрію серед розглянутих рівнянь має рівняння Ліувілля, яке інваріантне відносно нескінченнопараметричної групи локальних перетворень. Показано, що дані рівняння можуть допускати лише розв'язані алгебри інваріантності. Зокрема, встановлено, що найбільш широка симетрія даних рівнянь визначається п'ятивимірними алгебрами Лі та знайдено всі нееквівалентні класи рівнянь з такою симетрією. Здійснено повну групову класифікацію загального квазілінійного рівняння гіперболічного типу. З використанням знайдених симетрій проведено редукцію та побудовано класи точних розв'язків квазілінійних рівнянь гіперболічного типу.

  Скачати повний текст

Доведено існування стрибка потенціалу подвійного шару для самоспряженого параболічного рівняння на многовиді недодатної швидкоспадної секційної кривизни. Встановлено, що розмір стрибка такий самий, як і в евклідовому випадку. Побудовано розв'язок першої граничної задачі для даного рівняння методом потенціалів та одержано оцінку його збіжності. Наведено фундаментальний розв'язок параболічного рівняння зі зсувом на многовиді, який здійснено методом збурень, виходячи з різних початкових наближень: розв'язку самоспряженого рівняння та такого самого, помноженого на експоненту від роботи поля зсуву. Побудову проведено за різних умов на поле зсуву: сильних (швидкого спадання на нескінченності норми поля зсуву та його першої та другої коваріантних похідних) і слабких (обмеженості поля зсуву та його похідних). Одержано представлення логарифмічного градієнта фундаментального розв'язку параболічного рівняння зі зсувом у вигляді суми двох векторних полів: відомого та обмеженого.

  Скачати повний текст

В дисертації побудовано асимптотичне розвинення розв'язків крайових задач для сингулярно збурених еліптичних рівнянь з швидкоосцилюючими коефіцієнтами високого порядку. Знайдені коефіцієнти граничних поліномів в теоремах типу Фрагмена-Ліндельофа для еліптичних рівнянь високого порядку. Досліджено поведінку на нескінченності періодичних по всіх змінних, крім однієї, розв'язків задачі Діріхле в напівпросторі для еліптичного рівняння з періодичними коефіцієнтами високого порядку. Знайдено коефіцієнти поліному по неперіодичній змінній, до якого на нескінченності прямує цей розв'язок. Аналогічна задача розглянута для суми двох еліптичних операторів. Показано, що порядок поліному визначає оператор меншого порядку. Розглянута третя крайова задача для еліптичного рівняння другого порядку. Знайдено сталу, до якої прямує розв'язок задачі.

  Скачати повний текст

  Скачати повний текст

Побудовано та досліджено розв'язки рівнянь, що описують просторово-часові системи із запізненням. З урахуванням просторової компоненти та запізнення по часу такі моделі досить адекватно описують динаміку складних реальних процесів. Розглянуто крайові задачі для рівняння параболічного або гіперболічного типів із запізнюючим аргументом. Для побудови аналітичних розв'язків таких задач введено спеціальні функції, названі запізнюючим експоненціалом, запізнюючим косинусом і запізнюючим синусом. Доведено теореми про умови існування та єдності розв'язків досліджуваних задач. Розроблено методику дослідження стійкості розв'язку диференціальних рівнянь з розподіленими параметрами із запізненням. Для деяких класів просторово-часових систем із запізненням визначено конструктивні умови стійкості розв'язку. Створено алгоритми побудови фінітного керування для деяких видів досліджуваних задач. Проведено експерименти на моделях ядерного реактора, що описують дифузію нейтронів і підтверджено теоретичні результати дослідження впливу запізнення на стійкість процесу.

  Скачати повний текст

Проаналізовано резонансні явища одновимірного стаціонарного рівняння Шредінгера з гладким квазіперіодичним потенціалом. З використанням методів теорії Колмогорова - Арнольда - Мозера (КАМ-теорії) досліджено рівняння Шредінгера з гладкими потенціалами, що характеризуються певною швидкістю наближення тригонометричними поліномами або швидкістю росту похідних. Визначено межі зон нестійкості й описано множину значень енергії, на якій рівняння має розв'язки у вигляді блохівських функцій. Встановлено аналітичність за малим параметром меж резонансних зон. З'ясовано, що межі зон нестійкості можна визначати у вигляді збіжних розвинень за малим параметром власних чисел оператора Шредінгера, заданого на класі квазіперіодичних функцій з половинним частотним базисом. Для опису зазначених розкладів у випадку потенціалу, що є дійсним тригонометричним многочленом скінченного порядку, використано діаграмну техніку.

  Скачати повний текст

Дисертація присвячена розробці теорії і методів розв'язування оберненої задачі логарифмічного потенціалу зірчастих областей з відомою густиною, близьких до круга або шару постійної товщини. Виведено нелінійні інтегральні рівняння з компактними операторами для визначення контурів збурюючих тіл поблизу заданих. Доведено локальні теореми існування і стійкості розв'язків. Запропоновано ефективний спосіб розв'язку нелінійних інтегральних рівнянь. Глобальний регуляризуючий оператор для кожного з них розшукується у вигляді послідовності локальних регуляризуючих операторів для відповідних лінійних інтегральних рівнянь з компактними невід'ємними операторами. Для визначення правих частин цих рівнянь розроблено спеціальні адаптивні процедури згладжування вихідних даних.

  Скачати повний текст

Встановлено взаємозв'язок між дослідженням достатніх критеріїв стійкості взаємодії нескінченних систем та класичною теорією мінімізуючих мір у теорії потенціалу. Проведено огляд основних результатів у сучасній теорії потенціалу. Одержано нові достатні критерії стійкості, надстійкості та посиленої надстійкості для взаємодії, що визначається двочастинковим потенціалом. Установлено точні значення констант та їх залежності від параметрів, що характеризують потенціал взаємодії. Одержано достатній критерій стійкості, надстійкості та посиленої надстійкості у випадку багаточастинкової взаємодії. Проаналізовано приклад сім'ї багаточастинкових потенціалів, яка визначає надстійку взаємодію та має безпосереднє застосування в молекулярній фізиці. Введено принципово нове поняття квазігратчастої апроксимації неперервних систем для тиску, кореляційних функцій в обмеженому об'ємі та кореляційних функцій нескінченних систем. Доведено, що за умови посиленої надстійкості взаємодії ці нові введені функції з будь-яким ступенем точності наближають класичні тиск, кореляційні функції в обмеженому об'ємі та кореляційні функції нескінченних систем (останній результат - лише для достатньо малих значень хімічної активності z).

  Скачати повний текст

Обгрунтовано метод фіктивних областей у задачах оптимального керування для еліптичних операторів другого, четвертого порядків та варіаційних нерівностей другого порядку з обмеженням усередині області. Для цих задач побудовано різницеві схеми та досліджено їх точність. Запропоновано різницеві схеми для дослідження математичних моделей стаціонарних процесів в областях довільної форми, які описуються крайовими та спектральними задачами для еліптичних операторів другого, четвертого порядків. Досліджено точність нових різницевих схем у крайових та спектральних задачах для еліптичних операторів другого порядку з розривними коефіцієнтами за мінімальних вимог до гладкості розв'язків диференціальної задачі. Одержано нові теоретичні результати стосовно гладкості узагальнених розв'язків крайових задач для еліптичних рівнянь другого та четвертого порядків. Проведено повне обгрунтування екстраполяційного методу Річардсона в крайових та спектральних задачах для еліптичних операторів другого, четвертого порядків у випадку узагальнених розв'язків.

  Скачати повний текст

Проведено теоретичні дослідження в області нескінченновимірного аналізу. Побудовано розв'язки задачі Коші для нестаціонарних параболічних рівнянь з суттєво нескінченновимірними операторами у деякому банаховому просторі функцій, заданих на нескінченновимірному сепарабельному дійсному гільбертовому просторі. Встановлено, що суттєво нескінченновимірні оператори природним чином узагальнюють класичний оператор Лапласа - Леві зі збереженням всіх його основних властивостей. Доведено, що задача Коші для найпростішого нестаціонарного параболічного рівняння з суттєво нескінченновимірними операторами є рівномірно коректною. Знайдено еволюційні сім'ї для рівнянь з суттєво нескінченновимірними операторами, що збурено векторним полем певного класу. Побудовано розв'язки задачі Коші для еволюційного суттєво нескінченновимірного рівняння на обмеженій поверхні скінченної корозмірності.

  Скачати повний текст

Дисертація присвячена дослідженню властивостей загальних параболічних рівнянь, характерною особливістю яких є подвійне виродження. Одержано точні умови наявності інерції та зменшення розмірів носія. Отримано оцінки, які повністю описують стартовий рух носія розв'язку в залежності від локальних властивостей початкової функції. Отримано умови, які гарантують наявність локалізації та обмеженість розв'язків задач Коші-Неймана для параболічних рівнянь загального виду, у випадку, коли гранична функція необмежено зростає зі зростом часу до деякого фіксованого Т. Зменшено умови на регулярність граничної функції. Узагальнено результати про обмеженість розв'язку задачі Коші-Неймана для класичного рівняння теплопровідності майже всюди в будь-якій строго внутрішній підобласті у випадку граничного режиму з загостренням. Результати дисертації можуть бути використані для порівняльного аналізу різних властивостей розв'язків загальних параболічних задач.

  Скачати повний текст

Побудовано теорію лінійних еліптичних операторів і еліптичних крайових задач (ЕКЗ) у гільбертових шкалах просторів Хермандера функцій / розподілів довільної додатної та від'ємної гладкості. Введено шкали просторів Хермандера на замкненому гладкому багатовиді та вивчено їх інтерполяційні властивості. Доведено нові апріорні оцінки розв'язків лінійних еліптичних систем, установлено нетеровість матричних еліптичних операторів у цих шкалах. Доведено нові теореми про розв'язність ЕКЗ у шкалах просторів Хермандера. Знайдено умову на простір правих частин еліптичного рівняння, за якої оператор ЕКЗ обмежений і нетерів у відповідних парах просторів розподілів.

  Скачати повний текст

  Скачати повний текст