Обгрунтовано метод фіктивних областей у задачах оптимального керування для еліптичних операторів другого, четвертого порядків та варіаційних нерівностей другого порядку з обмеженням усередині області. Для цих задач побудовано різницеві схеми та досліджено їх точність. Запропоновано різницеві схеми для дослідження математичних моделей стаціонарних процесів в областях довільної форми, які описуються крайовими та спектральними задачами для еліптичних операторів другого, четвертого порядків. Досліджено точність нових різницевих схем у крайових та спектральних задачах для еліптичних операторів другого порядку з розривними коефіцієнтами за мінімальних вимог до гладкості розв'язків диференціальної задачі. Одержано нові теоретичні результати стосовно гладкості узагальнених розв'язків крайових задач для еліптичних рівнянь другого та четвертого порядків. Проведено повне обгрунтування екстраполяційного методу Річардсона в крайових та спектральних задачах для еліптичних операторів другого, четвертого порядків у випадку узагальнених розв'язків.

  Скачати повний текст

Розроблено нові математичні моделі динаміки вільних магнітно взаємодіючих тіл, запропоновано новітні комп'ютерні технології побудови моделей їх аналізу. Розглянуто різні системи вільних тіл: маятники з магнітною/електричною взаємодією, динамічну систему двох тіл з взаємодією двох довгих циліндричних магнітів, систему надпровідне кільце - диполь з різними варіантами розташування та закріплення одного з них, "гірлянду" вільних тіл з магнітною взаємодією закріплених на них надпровідних кілець. Побудовано математичні моделі динаміки цих систем, досліджено питання стійкості руху, одержано числові розв'язки та їх графіки, а також фазові портрети за різного вибору параметрів і початкових умов. За допомогою системи комп'ютерної математики Maple автоматизовано процедури, які дозволяють будувати математичні моделі, виконувати складні символьні обчислення магнітних сил, а також одержувати результати у графічному вигляді.

  Скачати повний текст

Запропоновано принципово новий метод побудови математичної моделі тривимірної задачі теплопровідності за допомогою операторів інтерфлетації й інтерлінації функцій. Розроблено теоретичні засади розв'язання еліптичних просторових крайових задач у вигляді операторів наближення функції у випадку трьох змінних. Запропоновано загальну методику знаходження розв'язку межових задач з використанням таких операторів. Теоретично та практично підтверджено ефективність запропонованого підходу щодо розв'язання просторових межових задач. На підставі даної методики побудовано математичну модель тривимірної задачі теплопровідності. Удосконалено метод скінченних елементів (МСЕ) напівдискретного типу, що виникає в процесі розв'язання системи методом лінійних інтегро-диференціальних рівнянь (ЛІДР) у випадку двох змінних на підставі врахування структури її матриці. У процесі аналітичного розв'язку системи методом ЛІДР сформовано метод, який дозволяє надати системам інтегро-диференціальних рівнянь вигляду, в якому системи розпадаються на окремі рівняння. Встановлено, що даний ефект, дозволяє записати розв'язок даних систем в явному вигляді без використання матриці Гріна, що під час подальших перетворень сприяє формуванню системи п'яти матричних рівнянь. Доведено, що використання кронекерованого добутку матриць дозволяє явно виписати матриці коефіцієнтів даної системи, що робить доступною числову реалізацію даного методу.

  Скачати повний текст

Розроблено конструктивні засоби методу R-функцій щодо математичного моделювання електромагнітиних процесів в областях, що мають симетрію циклічного типу та містять геометричні сингулярності. Показано, що моделювання процесів відбувається у всій розглянутій області щодо випадків, коли геометрична симетрія області збігається із симетрією фізичного поля, а також за наявності лише геометричної симетрії. Сформульовано та доведено теореми щодо побудови нормалізованих рівнянь границь геометричних об'єктів із симетрією трансляційного та циклічного типу, що дозволяє скоротити число R-операцій і опорних функцій, а також автоматизувати процес побудови таких рівнянь у результаті зведення всієї інформації про геометричний об'єкт лише до задання рівняння границі геометричного об'єкта, який підлягає трансляції, та задання числа елементів трансляції. Побудовано нові повні структури розв'язку з виродженими клиноподібними та Т-подібним включеннями, що враховують характер поведінки розв'язку в околі особливих точок границі області.

  Скачати повний текст

Побудовано та досліджено математичні моделі температурних полів рухомих та нерухомих ізотропних та анізотропних середовищ, в яких діють внутрішні джерела тепла. Враховуючи умови теплообміну, розглянуто моделі у вигляді нелінійних крайових задач для рівняння теплопровідності. Розглянуто математичну модель індукційного нагрівання рухомого середовища у вигляді задачі на спряження двох циліндрів з умовою імпедансного типу. Вперше стосовно розглянутих задач запропоновано замість однієї або двох крайових умов застосовувати нелокальну інтегральну умову. Показано ефективність застосування такої умови в різних задачах. Для розв'язання нелінійних модельних задач застосовано числові та числово-аналітичні методи, такі як метод зведення задачі до відповідного інтегрального рівняння, метод квадратурних формул, метод Роте, різницевий метод. Досліджено збіжність побудованих числових алгоритмів, доведено відповідні теореми.

  Скачати повний текст

Запропоновано узагальнення на випадок багатьох змінних атомарних функцій, які за визначенням є фінітними (з компактним носієм) розв'язками функціонально-диференціальних рівнянь спеціального вигляду. Доведено теореми існування та єдності атомарних функцій багатьох змінних, породжених за допомогою різного виду диференціальних операторів: Лапласа, Гельмгольця, Клейна - Гордона, бігармонічного та полігармонічного. Досліджено характерні властивості одержаних функцій і встановлено їх імовірнісний зміст. Розроблено методику побудови нового класу атомарних функцій, що зображуються у вигляді лакунарних рядів. Показано можливості поєднання методик теорій R і атомарних функцій під час створення геометрично структурованих атомарних функцій. Створено алгоритм побудови базисів просторів wavelet-функцій з використанням атомарних функцій і просторів елементарних wavelet-систем. На базі суттєвого використання атомарних функцій запропоновано новий метод наближеного розв'язування задач нестаціонарної теплопровідності у вигляді узагальненого ряду Тейлора для нескінченно диференційованих функцій. Запропоновано числовий алгоритм розв'язування крайових задач математичної фізики з використанням атомарних функцій багатьох змінних. Наведено приклади розв'язання 2D і 3D крайових задач для неоднорідного рівняння Лапласа в складних областях на основі колокацій і застосування атомарних радіально базисних функцій. Досліджено апроксимаційні властивості структур розв'язків крайових задач математичної фізики за структурно-варіаційним методом з використанням апроксимаційних просторів лінійних комбінацій зсувів стиснень атомарних функцій. Розглянуті атомарні функції багатьох змінних є радіальними базисними функціями з певними властивостями, а саме: вони є нескінченно гладкі; задовольняють функціонально-диференціальне рівняння; ефективно обчислюються; мають явні формули для обчислення перетворення Фур'є. Це надає переспективи їх використанню для моделювання особливостей технологічних прцесів формування машинобудівної відливки складної конфігурації. Розглянуто певні питання використання математичного апарату атомарних функцій для імітаційного моделювання процесів затвердіння відливка та розробки алгоритмів залишкового напруженого стану відливка за умов виникнення кристалізаційних тріщин. Розроблено спеціальні методи розв'язування лінійних і нелінійних задач нестаціонарної теплопровідності у двозв'язних областях. Проаналізовано розвиток систем комп'ютерного моделювання з використанням математичних засобів теорії R-функцій і атомарних функцій.

  Скачати повний текст

Досліджено задачі одностороннього контакту без тертя й ідеального механічного контакту кількох пружних тіл. Розглянуто їх еквівалентні формулювання у формі проблеми мінімуму функціонала Лагранжа й у формі варіаційної нерівності. Доведено збіжність методу простої ітерації для абстрактних варіаційних рівнянь з нелінійним доданком і показано, що швидкість збіжності у деякій енергетичній нормі є лінійною. Розроблено методику числової реалізації даних схем декомпозиції області для плоских контактних задач з використанням скінченно-елементних апроксимацій на лінійних і квадратичних трикутних елементах і межовоелементних апроксимацій на лінійних граничних елементах. Проведено числове дослідження ряду задач, яке показує добре узгодження результатів з теоретичними висновками щодо збіжності даних схем методів декомпозиції області та дозволяє виявити нові механічні ефекти.

  Скачати повний текст

З використанням нерівностей із негативними нормами побудовано теорію оптимізації лінійних систем із впливом з класів узагальнених функцій скінченого порядку. Доведено існування та єдиність узагальнених роз'язків прямої та спряженої задач для параболічних і гіперболічних рівнянь загального вигляду. Досліджено умови існування оптимального керування системою та необхідні умови екстремуму у задачах імпульсного керування. Розроблено двокрокові числові алгоритми, ефективні для розв'язання змішаних крайових задач переносу та систем Нав'є - Стокса. Розглянуто головні властивості даних алгоритмів для скалярних та операторних рівнянь у банахових просторах. Побудовано нові неявні дво- та тришарові ітераційні методи знаходження розв'язку системи рівнянь Нав'є - Стокса для нестислої в'язкої рідини. Запропоновано підхід щодо побудови математичних моделей складних динамічних і кінетичних процесів з не повністю визначеними параметрами рівнянь та початкового стану системи. Доведено, що даний підхід грунтується на декомпозиції головної задачі на систему вкладених агрегованих моделей, у процесі якої використано поняття базової системи фізичних гіпотез. Побудовано моделі процесу візуалізації прихованого голографічного зображення на термопластичних носіях та створення робочого середовища хімічного та фоторекомбінаційного лазерів.

  Скачати повний текст

Побудовано й обгрунтовано числові методи для прямих і обернених задач з використанням інтегральних рівнянь, згідно з якими для наближеного розв'язання початково-крайових задач у необмежених областях спочатку здійснюється їх часткова дискредизація за методом Роте або шляхом перетворення Лагерра, а далі стаціонарні межові задачі редукуються до межових інтегральних рівнянь. За цього повна дискретизація здійснюється за методом квадратур з використанням тригонометричних квадратурних формул. Цей підхід застосовано для розв'язання важливих задач гідромеханіки, механіки суцільного середовища та дифракції пружних хвиль; еволюційні задачі для рівнянь з першою та другою похідними за часом на многовиді розв'язуються шляхом комбінації перетворення Келлі (або перетворення Лагерра) та методу інтегральних рівнянь. Розглянуто задачу поширення гравітаційних хвиль у каналі з вільною поверхнею. Досліджено єдність розв'язків обернених еволюційних задач реконструкції та диференційованість відповідних нелінійних операторів за межею області. Для наближеного розв'язання розвинуто методи регуляризації Ньютона і Ландвебера у поєднанні з методом межових інтегральних рівнянь.

  Скачати повний текст

  Скачати повний текст

Розроблено загальну теорію числового й аналітичного аналізу задач моделювання й оптмізації лінійних розподілених систем, що знаходяться під впливом зосередженого характеру. Створено теорію узагальненої розв'язності лінійних систем, яку використано для визначання оптимізаційних властивостей і ступеня керованості некласичних лінійних моделей математичної фізики (псевдопараболічних, псевдогіперболічних, С.Л.Соболєва, загальних хвильових і параболічних систем з умовами спряження). Розроблено й апробовано комплекс числових процедур для наближеного розв'язання задач оптимального керування лінійними системами з узагальненим впливом.

  Скачати повний текст