Скачати повний текст

Досліджено в комплексному банаховому просторі лінійні однорідні та неоднорідні диференціальні рівняння першого порядку із іррегулярною особливою точкою та оператором за похідної, в якому вироджений головний член розвинення в ряд за степенями незалежної змінної. Розроблено алгоритм побудови частинних формальних розв'язків, виявлено їх асимптотичну поведінку поблизу особливої точки. Доведено їх лінійну незалежність у випадку однорідного рівняння.

  Скачати повний текст

Розглянуто задачу Коші для диференціального рівняння вищого порядку з лінійними замкненими операторними коефіцієнтами, що діють у комплексних банахових просторах. Описано підпростір розв'язків задачі Коші під час степеневих обмежень на зростання резольвенти поліноміального характеристичного жмутка рівняння у правій півплощині. Розкрито зв'язок між різними типами часткової та повнократної коректності, їх ознаки для явних та вироджених рівнянь у термінах обмежень на резольвенту характеристичного жмутка. Проаналізовано умови коректності у термінах обмежень на операторні коефіцієнти рівняння у випадку гільбертового простору. Вивчено ознаки повноти і базисності елементарних розв'язків неявного рівняння порядку n у класах усіх розв'язків та нормальних розв'язків з обмеженнями на показник експоненціального зростання. Сформульовано обмеження в термінах поведінки резольвенти в усій комплексній площині та деякій лівій півплощині.

  Скачати повний текст

Запропоновано новий метод переходу до еквівалентних детермінованих рівнянь у банахових просторах випадкових елементів.

  Скачати повний текст

Досліждено геометричні властивості симетричних F-просторів функцій на безатомних просторах з мірами та лінійних неперервних операторів, визначених на цих просторах.

  Скачати повний текст

Одержано зображення комутанта оператора узагальненого зсуву, що породжений оператором Пом'є, у просторах функцій, аналітичних у довільних однозв'язних областях. У просторі цілих функцій описано комутанти операторів, що є лінійними комбінаціями зсувів. Знайдено зображення комутантів операторів композиції, що породжені еліптичними, гіперболічними та параболічними автоморфізмами одиночного круга. У просторах функцій, аналітичних у довільних областях, одержано опис комутанта довільного оператора, який є лівим оберненим до множення на незалежну змінну. Досліжено умови еквівалентності операторів узагальненого зсуву та операторів композиції, що породжені еліптичними автоморфізмами одиничного круга. Знайдено характеристику циклічних елементів для операторів, що є основними збуреннями до оператора Пом'є. Одержано аналог формули Дельсарта - Ліонса для розв'язків інтегро-диференціальних операторних рівнянь відносно узагальненого диференціювання Гельфонда - Леонтьєва.

  Скачати повний текст

Проведено теоретичні дослідження в області нескінченновимірного аналізу. Побудовано розв'язки задачі Коші для нестаціонарних параболічних рівнянь з суттєво нескінченновимірними операторами у деякому банаховому просторі функцій, заданих на нескінченновимірному сепарабельному дійсному гільбертовому просторі. Встановлено, що суттєво нескінченновимірні оператори природним чином узагальнюють класичний оператор Лапласа - Леві зі збереженням всіх його основних властивостей. Доведено, що задача Коші для найпростішого нестаціонарного параболічного рівняння з суттєво нескінченновимірними операторами є рівномірно коректною. Знайдено еволюційні сім'ї для рівнянь з суттєво нескінченновимірними операторами, що збурено векторним полем певного класу. Побудовано розв'язки задачі Коші для еволюційного суттєво нескінченновимірного рівняння на обмеженій поверхні скінченної корозмірності.

  Скачати повний текст

Досліджено лінійний оператор Т, що діє у гільбертовому просторі. Даний оператор трактується як збурення деякого власного розширення даного додатно визначеного замкненого симетричного оператора в цьому просторі, причому це збурення змінює закон дії оператора й його область визначення. Встановлено умови, які гарантують замкненість і щільну визначеність оператора Т і побудовано спряжений з ним оператор. Визначено деякі критерії максимальної дисипативності та максимальної акретивності даних операторів. Одержано результати, які застосовано для дослідження деяких конкретних класів диференціально-межових операторів з некласичними крайовими умовами.

  Скачати повний текст

Досліджено розвиток методу абстрактних граничних умов у теорії розширень лінійних операторів у гільбертовому просторі. Для секторіального лінійного оператора або секторіального лінійного відношення наведено параметричний опис усіх максимальних акретивних і максимальних секторіальних розширень, їх резольвент та спряжених операторів у термінах абстрактних граничних умов. Абстрактні результати застосовано для опису відповідних граничних задач диференціальних операторів другого порядку. Побудовано функціональну модель простого щільно заданого секторіального оператора. Отримано нові зображення замкнених у термінах резольвент асоційованого оператора та породженої ним однопараметричної підгрупи.

  Скачати повний текст

Досліджено початково-крайові та спектральні задачі про малі рухи системи гіростатів, які послідовно з'єднані один з іншим сферичними шарнірами. Зазначено, що кожен гіростат має порожнину, цілком заповнену ідеальною або в'язкою нестисливою рідиною. Розглянуто початково-крайову та спектральну задачі про малі рухи зчленованих тіл з порожнинами, які повністю заповнені ідеальною рідиною. Доведено теорему існування розв'язків задачі Коші, описано властивості нормальних коливань. Відому теорему М. Є. Жуковського про рух твердого тіла з ідеальною рідиною перенесено на випадок руху n тіл. Описано задачу про малі коливання зчленованих гіростатів з порожнинами, які заповнені в'язкою рідиною. Доведено теорему про існування сильного розв'язку початково-крайової задачі, описано властивості нормальних коливань. Розглянуто задачу про малі рухи та нормальні коливання частково дисипативної гідромеханічної системи із зчленованих гіростатів, доведено теорему про існування сильного розв'язку початково-крайової задачі для цього випадку.

  Скачати повний текст

Досліджено просторові та плоскі задачі про малі рухи та нормальні коливання маятника з порожниною, яка частково заповнена однією або декількома капілярними в'язкими рідинами, що не змішуються. Розглянуто лінійну початково-крайову задачу про малі рухи маятника з порожниною, яка частково заповнена капілярною в'язкою рідиною. Від цієї задачі вдається перейти до задачі Коші для абстрактного параболічного рівняння в гільбертовому просторі. Доведено існування й єдність сильного розв'язку досліджуваної проблеми. Вивчено спектральну задачу досліджуваної гідросистеми за умови статичної стійкості за лінійним наближенням. Доведено, що спектр задачі дискретний, розташований у відкритій правій півплощині, локалізований в околу дійсної півосі та має граничну точку на нескінченності. Доведено, що система кореневих елементів створює базис за Абелем - Лідським у деякому гільбертовому просторі, а також у відповідному просторі з нормою графіка основного оператора, або базис за Абелем - Лідським у цих просторах з точністю до скінченного дефекту. Наведено асимптотику власних значень. Доведено обернення теореми Лагранжа про стійкість.

  Скачати повний текст

Базуючись на теорії операторних блок-матриць, що діють у гільбертових просторах, розроблено підхід, який дозволяє на основі вихідних початково-крайових задач для стратифікованих рідин розв'язувати рівнозначні задач Коші для диференціально-операторного рівняння у гільбертовому просторі. Вивчено задачу про малі рухи та нормальні коливання в'язкої стратифікованої рідини, що частково заповнює нерухому посудину, щільність якої у стані рівноваги має стійку стратифікацію, а також її узагальнення для випадку рівномірно обертової посудини. Одержано умови, за яких існують сильні за часом розв'язки відповідних початково-крайових задач, а також дані про структуру спектра та властивості кореневих функцій. Визначено асимптотичні формули для віток власних значень. Досліджено задачу про малі рухи та нормальні коливання частково дисипативної гідросистеми з двох важких рідин, що не зменшуються та частково заповнюють довільну посудину за умов, якщо нижньою, стосовно дії сили ваги є в'язка стратифікована рідина, а верхня - стратифікована ідеальна рідина. Доведено теорему про сильну розв'язність відповідної початково-крайової задачі. Наведено асимптотичні формули для трьох гілок власних значень.

  Скачати повний текст

Досліджено нелокальні двоточкові та багатоточкові задачі для безтипних лінійних рівнянь та систем рівнянь зі сталими, змінними й операторними (псевдодиференціальними) коефіцієнтами довільного (також і нескінченного) порядку в області, що є декартовим добутком відрізка та бататовимірного тора. Зазначено, що такі задачі є некоректними за Адамаром, а їх розв'язність взаємопов'язана з проблемою малих знаменників. Розроблено методику дослідження нелокальних задач, яка передбачає не лише накладання умов на малі знаменники, що забезпечують розв'язність задачі, але й знаходження оцінок знизу малих знаменників. З використанням метричного підходу одержано такі оцінки знизу майже всіх (стосовно міри Дебега) векторів, складених з коефіцієнтів рівнянь чи інших параметрів задачі. Установлено умови існування та єдності розв'язку двоточкових і багатоточкових задач для безтипних систем рівнянь з частинними похідними у просторах Соболєва періодичних функцій. Для рівнянь нескінченного порядку введено та досліджено відповідні простори Соболєва нескінченного порядку. Розглянуто питання знаходження наближених розв'язків (псевдорозв'язків) нелокальних задач за допомогою методу мінімізації у соболєвських просторах.

  Скачати повний текст

  Скачати повний текст

Одержано умови існування обмежених на всій осі R розв'язків лінійного неоднорідного рівняння в банаховому просторі у випадку, коли однорідне рівняння є експоненціально-дихотомічним на півосях. Одержано умови, коли породжуючий оператор диференціального рівняння може бути нормально-розв'язним. З використанням теорії псевдообернених операторів обмежені розв'язки рівняння представлено за допомогою узагальненого оператора Гріна. Для лінійно слабко збурених диференціальних рівнянь знайдено достатню умову існування множини обмежених на R розв'язків у двох випадках, а саме: коли породжуюче рівняння має обмежені розв'язки; коли породжуюче рівняння не має обмежених розв'язків. Запропоновано спосіб відшукання обмежених на всій осі розв'язків у вигляді частини ряду Лорана та степенями epsilon. Оцінено потужність множини обмежених розв'язків. Одержано умови існування обмежених на R розв'язків слабко нелінійних диференціальних рівнянь у випадку, коли породжуюче рівняння має обмежені розв'язки. Запропоновано збіжні ітераційні алгоритми побудови обмежених на всій осі розв'язків слабко нелінійних диференціальних рівнянь у банаховому просторі.

  Скачати повний текст

Наведено необхідні та достатні умови існування та єдиності обмеженого на осі розв'язку лінійного диференціального рівняння зі зсувами аргументу в банаховому просторі за умови обмеженості правої частини рівняння. Розглянуто й узагальнено деякі факти теорії узагальнених функцій повільного зростання на випадок операторно значних основних функцій. Запропоновано конструкцію регулярних узагальнених функцій зі значеннями у банаховому просторі. Отримані результати застосовано для опису повільно зростаючих розв'язків лінійного диференціального рівняння з одним зсувом аргументу та обмеженим операторним коефіцієнтом у випадку невиконання необхідних і достатніх умов існування і єдиності обмеженого розв'язку. Одержано достатні умови існування обмеженого розв'язку нелінійного диференціального рівняння зі зсувами аргументу у випадках обмеженого та необмеженого операторного коефіцієнта за умови обмеженості правої частини рівняння. Розглянуто функціональну область розв'язку. Наведено умови, за яких існує кілька різних обмежених розв'язків рівняння.

  Скачати повний текст

Отримано необхідні та достатні умови існування та єдиності обмежених розв'язків деяких класів лінійних одно- та двопараметричних різницевих рівнянь з обмеженими операторними коефіцієнтами в банаховому просторі. Досліджено однопараметричні різницеві рівняння з нескінченною кількістю операторних коефіцієнтів на півосі з початковими умовами та без них, для яких встановлено критерії обмеженості розв'язків. Розглянуто випадок періодичного операторного коефіцієнта. Визначено необхідні та достатні умови існування та єдиності обмежених розв'язків для однопараметричного різницевого рівняння з одним операторним коефіцієнтом на всій осі, для двопараметричного різницевого рівняння на півлощині з початковими умовами та для системи Россера з двома періодичними операторними коефіцієнтами.

  Скачати повний текст

Знайдено достатні умови рівномірної резольвентної апроксимації загальних квазідиференціальних операторів довільного порядку операторами того ж класу, зокрема, диференціальними. Одержано параметризацію всіх самоспряжених, максимальних дисипативних і максимальних акумулятивних розширень, а також узагальнених резольвент мінімального квазідиференціального оператора в симетричному випадку. Знайдено регуляризацію повного виразу Штурма - Ліувілля з сингулярними комплексними коефіцієнтами за допомогою квазіпохідмних Шина - Цеттла. Одержано достатні умови рівномірної резольвентної апроксимації регуляризованих операторів звичайними диференціальними. Одержано параметризацію всіх самоспряжених, максимальних дисипативних та максимальних акумулятивних розширень мінімального симетричного оператора Штурма - Ліувілля та його узагальмнених резольвент. Знайдено регуляризацію двочленного диференціального виразу високого порядку з сингулярним комплексним потенціалом за домпомогою квазіпохідних Шина - Цеттла і достатні умови рівномірної резольвентної апроксимації регуляризованих операторів. Встановлено параметризацію всіх самоспряжених, максимальних дисипативних та максимачьних акумулятивних розширень симетричного мінімального двочленного диференціального оператора та його узагальнених резольвент.

  Скачати повний текст

Досліджено певні питання геометрії та теорії лінійних операторів у лінійних просторах з внутрішнім добутком. Досліджено проблеми ортогоналізації систем векторів у лінійних просторах з ідефінітним внутрішнім добутком. Одержано аналог розкладання Вольда напівунітарного оператора у довільному лінійному просторі з внутрішнім добутком. Одержано умови, за яких розкладання Вольда має властивості, схожі з властивостями з розкладанням Вольда у гільбертовому просторі. У випадку правильного рефлексивного банахова простору за допомогою розкладання Вольда наведено опис проекційно повних підпросторів, що приводять напівунітарний оператор. Узагальнено метод дослідження лінійних операторів у просторах Крейна за допомогою елементарних ротацій (операторів Жюліа) для довільних просторів з індефінітним внутрішнім добутком. Доведено теорему про існування у будь-якого оператора категорії з квадратичним розщепленням елементарної ротації тієї ж категорії. На підставі вивчення властивостей елементарної ротації неперервного оператора у лінійних просторах з внутрішнім добутком наведено опис структури всіх максимальних підпросторів, що приводять даний оператор та індукують унітарний оператор.

  Скачати повний текст

Обгрунтовано та розвинуто модифікований метод послідовних наближень (ММПН), призначений для обчислення характеристичних чисел (простих і кратних) лінійного цілком неперервного оператора, що діє у нормованому функціональному просторі, а також відповідних їм власних і приєднаних (якщо такі є) функцій. Запропоновано спосіб апостеріорної оцінки точності одержаних характеристичних чисел. ММПН поширено на узагальнені спектральні задачі з поліноміальними матричними пучками та квадратичними пучками лінійних цілком неперервних операторів, що діють у гільбертовому просторі. Розроблено алгоритми та програми числової та аналітичної реалізації методу. На прикладах розв'язування багатьох задач продемонстровано високу ефективність ММПН, його переваги у порівнянні з іншими методами розв'язування спектральних задач.

  Скачати повний текст