Доведено, що гільбертіан є лівим операторним модулем над алгеброю обмежених операторів (ОО) у ньому. Досліджено, що якщо кількість ідемпотентів більша або дорівнює 5, дана алгебра не може задовольняти поліноміальні тотожності. Доведено доцільність існування точного зображення *-алгебри необмеженими операторами (НО). Запропоновано поняття сумісних гладких векторів для скінченної сім'ї НО та для зображення *-алгебри НО. Розглянуто властивості просторів даних векторів.

  Скачати повний текст

Вивчено асимптотичну поведінку власних значень та власних підрозділів операторів Шредінгера зі сингулярними потенціалами на некомпактних зіркових графах. Одержано асимптотику коефіцієнтів розсіяння на сингулярних потенціалах, що локалізуються у вершинах графа. Як у випадку прямої, так і у випадку графів виявлено явище резонансу для межової поведінки спектра та коефіцієнтів розсіяння.

  Скачати повний текст

У дисертації для операторів із дискретним спектром встановлено ізоморфізм між просторами кореневих векторів і векторів експоненціального типу. Побудовано функціональне числення в інтерполяційних класах символів для повних операторів із дискретним спектром, зокрема, для генераторів аналітичних півгруп. Наведено застосування до теорії еліптичних диференціальних операторів.

  Скачати повний текст

Наведено результати дослідження для класу операторів Штурма -Ліувілля на півосі з нелокальною граничною умовою та експоненційноспадним комплексно-значним потеціалом. Запропоновано критерій скінченності множини власних значень і спектральних особливостей, а також необхідні і достатні умови розв'язності у випадках, коли спектральний параметр співпадає зі спектральною особливістю. Надано двосторонні оцінки для значень експоненційної функції операторів та її норми, оцінки розв'язків відповідних еволюційних рівнянь. Доведено, що для операторів продовження резольвенти з точністю до одновимірного доданку є псевдорезольвентною в деякому банаховому просторі. Одержано подібність операторів, які мають однакові (з кратностями) набори спектральних особливостей. Розв'язано рівняння теплопровідності на півосі, що зберігають просторову асимптотику.

  Скачати повний текст

Побудовано резольвенту диференціально-граничного оператора (ДГО) з інтегральними крайовими умовами у просторі скінченновимірних вектор-функцій на відрізку, а у випадку, коли крайові форми, якими визначаються ці умови, є регулярними за Біркгофом, знайдено асимпотичні формули для власних значень та власних функцій розглядуваного оператора та встановлено умови, які гарантують повноту системи цих функцій. Відомі раніше результати про замкненість та щільну визначеність збурень замкненого оператора, які змінюють не тільки закон дії оператора, а й область його визначення, перенесено на ширші класи операторів. Установлено умови максимальної дисипативності та самоспряженості розглядуваних операторів. Одержані результати застосовано під час дослідження деяких конкретних ДГО з операторними коефіцієнтами. Знайдено розв'язок задачі про мінімум однієї квадратичної форми, яка індукує ДГО типу Штурма - Ліувілля з операторним потенціалом.

  Скачати повний текст

Побудовано теорію лінійних еліптичних операторів і еліптичних крайових задач (ЕКЗ) у гільбертових шкалах просторів Хермандера функцій / розподілів довільної додатної та від'ємної гладкості. Введено шкали просторів Хермандера на замкненому гладкому багатовиді та вивчено їх інтерполяційні властивості. Доведено нові апріорні оцінки розв'язків лінійних еліптичних систем, установлено нетеровість матричних еліптичних операторів у цих шкалах. Доведено нові теореми про розв'язність ЕКЗ у шкалах просторів Хермандера. Знайдено умову на простір правих частин еліптичного рівняння, за якої оператор ЕКЗ обмежений і нетерів у відповідних парах просторів розподілів.

  Скачати повний текст

Знайдено необхідні та достатні умови, за яких ці алгебри попарно рівні. Розглянуто односторонні та двосторонні збіжності за мірою, майже скрізь, локально за мірою, локально майже скрізь і порядкові збіжності послідовностей і сіток операторів з S (M) і LS(M), а також описано співвідношення між ними. Установлено ряд аналогів домінантної ергодичної теореми для послідовностей абсолютних стисків симетричних просторів вимірних функцій на півосі, у яких виконуються різі типи ергодичних нерівностей. Досліджено сильне комутування самоспряжених вимірних і локально вимірних операторів та незображувальність в алгебрах S(M) і LS(M) канонічних комутаційних співвідношень.

  Скачати повний текст

Наведено класифікацію квадратичних *-алгебр з двома твірними та описано структуру пар самоспряжених операторів, що пов'язані невиродженим квадратичним співвідношенням. Для класу співвідношень, що мають місце внаслідок дії динамічної системи на спектрі самоспряженого оператора, доведено теореми, що дають змогу одержувати опис незвідних зображень таких співвідношень. Доведено теореми, які дають змогу описати незвідні зображення для класів операторних співвідношень, одержаних завдяки дії багатовимірної динамічної системи на сумісному спектрі комутативної сім'ї самоспряжених операторів. Дані теореми застосовано до опису зображень конкретних прикладів інфолютивних алгебр: класу квадратичних алгебр з трьома твірними, градуйованих аналогів алгебри sl(2), зображень нестандартної тривимірної сфери, зображень Гейзенберга для квантової групи E(2). Виділено клас інтегрованих зображень співвідношення [a, [a, b]] = 0 та побудовано для них комутативну модель. Введено клас центрованих однопараметричних напівгруп та вивчено їх властивості, установлено зв'язок між центрованими однопараметричними напівгрупами та зображеннями подвійних комутаторів. Доведено загальні теореми про вигляд та властивості комутативних моделей для широкого класу операторних співвідношень. Побудовано явний вигляд комутативної моделі для зображень алгебр Кунца та застосовано її до побудови та вивчення конкретних прикладів та класів цих зображень, зокрема, наведено явні формули для зображень типу III, які пов'язані з КМШ-станом на алгебрі Кунца.

  Скачати повний текст

Розглянуто теореми про повноту систем власних векторів скінченновимірних збурень оператора інтегрування. Доведено теореми про безумовні базиси сімей функцій.

  Скачати повний текст

Для простого симетричного оператора S у просторі Понтрягіна доведено існування його самоспоряженого розширення з заданами регулярними точками. Одержано критерій рівномірної додатності (від'ємності) власних підпросторів самоспряженого розширення. Побудовано операторну модель для бідотичної інтерполяційної задачі Неванлінни - Піка в узагальнених класах Неванлінни та Стілтьєса у невиродженому та виродженому випадках. Установленно взаємно однозначну відповідність між множиною рішень задачі та множиною самоспряжених розширень модельного оператора. У випадку невиродженої матриці Піка одержано опис всіх її рішень. Для однобічної інтерполяційної проблеми одержано достатні умови відсутності виключних параметрів. Досліджено межову індефінітну інтерполяційну проблему Неванлінни - Піка. Для випадку невиродженої матриці Піка одержано опис усіх її розв'язків.

  Скачати повний текст

Розв'язано та досліджено задачі поліноміального операторного інтерполювання Ерміта й Ерміта - Біркхофа в абстрактному гільбертовому просторі. Запропоновано множину операторних поліномів достатньо простої структури, на якій розглянуто побудову нових інтерполянтів, що за певним вибором інтерполяційних умов мають властивості єдиності на цій множині й асимптотичної (у аспекті зростання розмірності підпростору, на якому визначено інтерполяційні умови) точності на поліномах відповідного степеня. Знайдено умови Ерміта й Ерміта - Біркхофа, які забезпечують виконання даних властивостей. Для диференційованого за Гато оператора на вибраній множині конструктивно побудовано відповідні інтерполяційні формули Ерміта та Ерміта - Біркхофа, асимптотично точні на поліномах.

  Скачати повний текст

  Скачати повний текст

Одержано умови, за яких система напівлінійного та напівквадратного співвідношень є ручною. Побудовано спектральний розлад нормального оператора в скінченновимірному гільбертовому кватерніонному бімодулі. Доведено еквівалентність задач про суму R-проектів у скінченновимірному гільбертовому бімодулі та про суму часткових відбиттів у скінченновимірному комплексному просторі.

  Скачати повний текст

Для нещільно визначених симетричних операторів у просторах Крейна одержано опис різних класів узагальнених резольвент. Досліджено множину самоспряжених розширень симетричного оператора, енергетична форма якого має скінченне число від'ємних квадратів, зокрема, його екстремальні розширення (Фрідріхса та Крейна-фон-Неймана) охарактеризовано у термінах функції Вейля. Одержано параметризацію узагальнених резольвент операторів із скінченним числом від'ємних квадратів, істотну роль у даному випадку відіграють нові узагальнені класи функцій Стілт'єса. Розроблено аналог теорії зображень симетричних операторів у просторах Крейна з власним і невласним масштабним підпростором. Зазначено, що дані результати застосовані до повної та зрізаної проблем моментів в узагальнених класах Неванліни та Стілт'єна, абстрактної та інтерполяційної проблеми Шура - Неванліни - Піка в узагальнених класах Шура.

  Скачати повний текст

  Скачати повний текст

Дисертацію присвячено прямим та оберненим спектральним задачам для самоспряжених скінченнорізницевих операторів другого та четвертого порядків. Розв'язано обернену задачу спектрального аналізу про відновлення матриці за її спектральною функцією для скінченних і напівскінченних п'ятидіагональних симетричних матриць. Доведено, що будь-яка монотонна матричнозначна функція другого порядку, в якої існують усі моменти - спектральна для окремої можливо виродженої п'ятидіагональної матриці. Знайдено необхідні та достатні умови, яким повинна відповідати спектральна матриця-функція з метою невиродження відповідної п'ятидіагональної матриці. Введено новий тип спектральних даних для якобієвих матриць з обмеженими елементами, у яких дворазовий спектр відокремлений від одноразового та містить сегмент дворазового абсолютно неперервного спектра. Отримано інтегральне рівняння, що дозволило відновити матрицю за одержаними даними. За допомогою даного рівняння розв'язано задачу Коші для ланцюжка Тоди з початковими даними, що не стабілізуються.

  Скачати повний текст

Введено поняття підпростору типу К та на прикладі задачі Шура розроблено метод конструктивного розв'язку виродженої матричної інтерполяційної задачі. Запропоновано новий метод дослідження матричної інтерполяційної задачі Шура, що грунтується на синтезі теорії J-розтягальних матриць-функцій В.П.Потапова та теорії характеристичних функцій М.С.Лівшиця, Б.С.-Надя і Ч.Фояша. Доведено, що ранги правого радіуса та нормованого лівого радіуса межового круга Вейля у задачі Шура дорівнюють кратностям максимальних зсуву та козсуву відповідного цілком неунітарного стиску. Одержано факторизацію радіусів цього круга у невиродженій матричній задачі Шура й описано структуру множників, які названо дефектними функціями. Запропоновано поняття регулярного розширення шурівської матриці-функції та одержано опис усіх регулярних розширень у термінах зсува та козсува, які породжуються відповідним цілком неунітарним стиском, та показано, що найбільші регулярні розширення відповідають дефектним функціям.

  Скачати повний текст

Знайдено достатні умови рівномірної резольвентної апроксимації загальних квазідиференціальних операторів довільного порядку операторами того ж класу, зокрема, диференціальними. Одержано параметризацію всіх самоспряжених, максимальних дисипативних і максимальних акумулятивних розширень, а також узагальнених резольвент мінімального квазідиференціального оператора в симетричному випадку. Знайдено регуляризацію повного виразу Штурма - Ліувілля з сингулярними комплексними коефіцієнтами за допомогою квазіпохідмних Шина - Цеттла. Одержано достатні умови рівномірної резольвентної апроксимації регуляризованих операторів звичайними диференціальними. Одержано параметризацію всіх самоспряжених, максимальних дисипативних та максимальних акумулятивних розширень мінімального симетричного оператора Штурма - Ліувілля та його узагальмнених резольвент. Знайдено регуляризацію двочленного диференціального виразу високого порядку з сингулярним комплексним потенціалом за домпомогою квазіпохідних Шина - Цеттла і достатні умови рівномірної резольвентної апроксимації регуляризованих операторів. Встановлено параметризацію всіх самоспряжених, максимальних дисипативних та максимачьних акумулятивних розширень симетричного мінімального двочленного диференціального оператора та його узагальнених резольвент.

  Скачати повний текст

Вивчено питання оцінювання похибки наближених розв'язків задачі Коші для диференціально-операторних рівнянь з використаням методу Келі. Для довільного самоспряженого оператора у гільбертовому просторі одержано прямі й обернені теореми, що відображають зв'язок між степенем гладкості та швидкісттю прямування до нуля найкращого наближення цілими векторами експоненціального типу. Доведено непокращуваність сталих, що фігурують у нерівностях типу Джексона. Устанавлено аналог нерівності Бернштейна - Нікольського. Для неквазіаналітичних операторів у банаховому просторі з'ясовано зв'язок цілих векторів експоненціального типу зі спектральними підпросторами таких операторів. Побудовао новий клас інтегральних ядер наближення, з використанням якого одержано пряму теорему наближення (нерівність типу Джексона). Доведено аналоги нерівності Бернштейна в обернену теорему наближення. Досліджено швидкість збіжності наближених розв'язків операторних рівнянь за методом Рітца та диференціально-операторних рівнянь за методом Келі.

  Скачати повний текст

Запропоновано розв'язок сильної матричної проблеми моментів Гамбургера з використанням операторних методів. Встановлено взаємно однозначну відповідність між множиною рішень сильної проблеми моментів Гамбургера та множиною узагальнених резольвент окремого модельного симетричного оператора. Одержано умови розв'язності та єдності розв'язку для сильної матричної (повної та зрізаної) проблеми моментів. Описано ортогональні матричні поліноми Лорана першого та другого роду та супутніх об'єктів: рекурентних рівнянь, блочних матриць Якобі Лорана, формул типу Остроградського Ліувілля та Крістоффеля Дарбу, двоточкових раціональних апроксимацій і резольвентних матриць. Одержано узагальнення теореми Фавара для матриць Якобі Лорана. Досліджено збіжність двоточкових раціональних апроксимацій, які відповідають рішенням сильної зрізаної матричної проблеми моментів. Одержано факторизацію резольвентних матриць сильної проблеми моментів. Знайдено умови збіжності граничної матриці Неванлінни та доведено її приналежність до мінімального експоненціального типу у своїх особливих точках. Знайдено опис усіх рішень сильної зрізаної матричної проблеми моментів, а також усіх рівнянь сильної повної матричної проблеми моментів у цілком невизначеному випадку у формі дробово-лінійного перетворення типу Неванлінни.

  Скачати повний текст