Отримано явні формули для розв'язків лінійних задач у вигляді рядів за системами ортогональних функцій, а для нелінійних випадків вказано як знайти розв'язки методом послідовних наближень. Доведено нові метричні теореми про оцінки знизу малих знаменників, які виникають у розглядуваних задачах.

  Скачати повний текст

  Скачати повний текст

Досліджено дискретно-неперервні крайові задачі для векторних квазідиференціальних рівнянь довільного скінченного порядку з коефіцієнтами-мірами та правими частинами - узагальненими похідними високих порядків від функцій обмеженої варіації. Використано методику, що базується на зведенні даних задач (за допомогою відомої ідеї введення квазіпохідних) до коректних систем лінійних диференціальних рівнянь першого порядку з мірами. Доведено, що застосування даного підходу дало можливість встановити спектральні властивості задач на власні значення, одержати зображення розв'язків неоднорідних крайових задач в інтегральній формі (за допомогою конструктивно побудованої матриці Гріна) та у формі Шмідта, довести теореми про розвинення вектор-функції у ряд Фур'є за певною ортонормованою системою власних векторів на скінченному проміжку, побудувати формули обернення та рівність Парсеваля, що відповідають теоремі про розклад для напівнескінченного інтервалу. Узагальнено теорію граничних точки та кута Вейля на випадок систем диференціальних рівнянь першого порядку та квазідиференціальних рівнянь довільного скінченного порядку з мірами у коефіцієнтах.

  Скачати повний текст

Досліджено інваріантні підмноговиди, їх вкладення до фазових просторів, слабкі та повільні збурення скінченновимірних редукцій цілком інтегровних гамільтонових систем. Вивчено проблему вкладення інтегральних підмноговидів гамільтонових систем на неканонічно симплектичних кодотичних многовидах, розвинуто теорію Пуанкаре - Картана трансвертального розщеплення асимптотичних лагранжевих многовидів для слабко та повільно збурених гамільтонових систем.

  Скачати повний текст

  Скачати повний текст

  Скачати повний текст

Доведено необхідну та достатню умови розв'язаності виродженої лінійної неоднорідної нетерової крайової задачі для систем звичайних диференціальних рівнянь (СЗДР). Встановлено умови біфуркації розв'язків слабкозбуреної виродженої лінійної крайової задачі для СЗДР за припущення, що породжувальна задача не має розв'язків за довільних неоднорідностей. Одержано необхідну та достатню умови існування розв'язків слабконелінійних вироджених СЗДР з нетеровою лінійною частиною в критичному випадку та досліджено зв'язок між необхідною та достатньою умовами. Запропоновано ітераційний алгоритм побудови розв'язків слабконелінійних вироджених СЗДР.

  Скачати повний текст

Запропоновано мінімаксний підхід до проблеми оцінювання параметрів одновимірних крайових задач загального вигляду для лінійних звичайних диференціальних рівнянь n-го порядку та систем таких рівнянь першого порядку за неповними даними. Одержано мінімаксні оцінки значень функціоналів від розв'язків, що є наявні, та правих частин рівнянь, що входять до постановки крайових задач, через розв'язки систем інтегро-диференціальних рівнянь спеціального вигляду. Розроблено метод мінімаксного оцінювання параметрів цих крайових задач, розв'язки яких визначені з точністю до функцій, що є розв'язками відповідних однорідних задач, та існують лише тоді, коли праві частини рівнянь і межових умов, які входять до постановки задач, задовольняють певні умови сумісності.

  Скачати повний текст

Знайдено умови стійкості вироджених лінійних систем диференціальних рівнянь з періодичними коефіцієнтами у випадку їх звідності до центральної канонічної форми, а також необхідну та достатню умову існування періодичних розв'язків виродженої системи диференціальних рівнянь у критичному випадку. Виведено асимптотичні формули для фундаментальної матриці, матриці монодромії та мультиплікаторів сингулярно збуреної системи першого порядку за різних випадків поведінки спектра межової в'язки матриць. Одержано достатні умови стійкості даної системи й існування в неї єдиного omega-періодичного розв'язку. Досліджено питання про існування і єдність omega-періодичного розв'язку та стійкість виродженої лінійної системи диференціальних рівнянь другого порядку у випадку простого та кратного спектра межової в'язки матриць. Побудовано асимптотику періодичних розв'язків сингулярно збурених систем диференціальних рівнянь першого та другого порядків з omega-періодичними коефіцієнтами за виконання знайдених умов їх існування та єдиності.

  Скачати повний текст

Вперше побудовано трикутні оператори перетворення для систем звичайних диференціальних рівнянь. Одержано теореми про єдиність визначення потенціальної матриці системи за матрицею монодромії та частиною стовпців матриці монодромії. Вперше знайдено необхідні та достатні умови повноти системи власних і приєднаних функцій крайових задач для систем звичайних диференціальних рівнянь. Розв'язано обернену задачу за спектральною матрицею - функцією для самоспряжених систем звичайних диференціальних рівнянь на півосі. Визначено теорему про однозначне визначення звичайного диференціального рівняння довільного порядку з аналітичними матричними коефіцієнтами за одним матричним стовпцем чи рядком матриці монодромії. Доведено теорему про необхідні умови існування трикутного оператора перетворення для звичайних диференціальних рівнянь вищих порядків.

  Скачати повний текст