Рассмотрены градиентные векторные поля с импульсным (гладким и непрерывным) воздействием, заданные на гладком компактном многообразии. При исследовании качественного поведения интегральных кривых этих векторных полей доказаны критерий существования замкнутых орбит и условие существования их орбитальной устойчивости.

Побудовано та вивчено градієнтні системи диференціальних рівнянь з імнульною дією в області євклідового простору. Описано поведінку траєкторій такої системи, знайдено достатні умови існування псевдозамкнених траєкторій у таких систем. Крім того, необхідні та достатні умови для того, щоб псевдозамкнені траєкторії були стійкими й асимптотично стійкими за Ляпуновим. Проведено вивчення динамічних систем з імпульсною дією на многовидах. Надано означення динамічних систем з гладкою та неперервною імпульсною дією на гладких многовидах. Побудовано градієнтні динамічні системи з гладкою та неперервною імпульсною дією на гладких многовидах. Досліджено умови існування псевдозамкнених траєкторій у таких систем. Встановлено необхідні та достатні умови стійкості й асимптотичної стійкості за Ляпуновим псевдозамкнених траєкторій у градієнтних динамічних систем з гладкою та неперервною імпульсною дією на гладких многовидах.

Для положения равновесия автономной системы дифференциальных уравнений предложены дискретные условия устойчивости и асимптотической устойчивости по Ляпунову.